N ta turli elementdan k tadan takrorsiz o`rinlashtirishlar soni

1-Mavzu. Kombinatorika elementlariga doir masalalar
Kombinatorika tarixi. Kombinatorika so`zi lotincha "combinare" so`zidan olingan bo`lib, "birlashtirish" degan ma'noni bildiradi. Kombinatorika, kombinator analiz, kombinator matematika-matematikaning chekli to`plamlar ustida bajariladigan amallarni o`rganadigan bo`limi.
Kombinatorika elementlari. Biror qoida bo`yicha chekli sondagi elementlar2 dan tuzilgan to`plamning mumkin bo`lgan barcha turli xil kombinatsiyalarini hisoblashga doir masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Matematikaning bunday masalarini yechish bilan shug`ullanadigan bo`limi kombinatorika deyiladi.
Qo`shish qoidasi. Agar A ob'ekt m ta usul bilan, B ob'ekt esa boshqa n ta usul bilan tanlanishi mumkin bo`lsa, u holda A yoki B tanlov m + n ta usul bilan tanlanishi mumkin.
Ko`paytirish qoidasi. Agar A ob'ekt m ta usul bilan tanlansa va shunday tanlashdan so`ng B ob'ekt n ta usul bilan tanlanishi mumkin bo`lsa, u holda A va B tanlov mn ta usul bilan tanlanishi mumkin.
O`rinlashtirishlar. n ta elementdan tuzilgan chekli to`plam berilgan bo`lsin. n ta turli elementdan k tadan o`rinlashtirishlar deb, berilgan n ta elementdan olingan k ta elementni o`z ichiga olgan barcha mumkin bo`lgan shunday gruppalarga aytiladiki, ular bir-birlaridan yo elementlarining tarkibi, yo tartibi bilan farq qiladi. n ta elementdan k tadan tuzilgan o`rinlashtirishlar soni orqali belgilanadi.
n ta turli elementdan k tadan takrorsiz o`rinlashtirishlar soni
= n(n − 1)· · ·(n − k + 1)
formula bo`yicha aniqlanadi. Bu formulani quyidagicha ham yozish mumkin: =
n ta turli elementdan k tadan takrorlanadigan o`rinlashtirishlar soni = formula bo`yicha topiladi. Agar k = n bo`lsa, quyidagi A n n = Pn = n! formula hosil bo`ladi.
2-Mavzu. Hodisalar ustida amallar
Tasodify hodisalar va ularning turlari. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri tasodify hodisadir. Bu tushuncha tajriba bilan chambarchas bog`- liqdir. Tajriba − sun'iy ravishda yaratiluvchi va natijasi uni o`tkazuvchi shaxsning ixtiyoriga bog`liq bo`lmagan sinovdan iborat. Masalan: 1) Tanga tashlash tajriba (ba'zi adabiyotlarda sinash ham deyiladi), tanganing gerb yoki raqamli tomoni bilan tushishi hodisa hisoblanadi; 2) O`yin kubini tashlash tajriba, uning 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamli tomonlaridan biri tushishi hodisa hisoblanadi; 3) Bir turdagi asboblarning sifatini tekshirish tajriba hisoblanadi. Tekshirish natijasida asboblarning yaroqsiz yoki sifatli bo`lishi hodisani tashkil qiladi; 4) Lotoreyada yutuq chiqishini tekshirish tajriba, yutuq chiqishi yoki chiqmasligi esa hodisa bo`ladi; 5) Talabaning yakuniy nazoratga kirishi tajriba, uning olgan bahosi esa hodisadir.
Ta'rif. Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi.
Ta'rif. Tajriba natijasida ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalardan tashkil topgan to`plam elementar hodisalar fazosi deb ataladi. Elementar hodisalar fazosi Ω bilan, elementar hodisaning o`zi esa ω bilan belgilanadi.
Ta'rif. Agar elementar hodisalar fazosi Ω chekli yoki sanoqli to`plam bo`lsa, u holda Ω ning har qanday qism to`plami A ga hodisa deyiladi.
Hodisalar 3 turga bo`linadi:
1) muqarrar (ishonchli) hodisa;
2) mumkin bo`lmagan (ishonchsiz) hodisa;
3) tasodify hodisalar.
Ta'rif. Har bir tajribada albatta ro`y beradigan hodisaga muqarrar hodisa deyiladi. Masalan: 1) o`yin soqqasi tashlanganda 7 dan kichik ochko tushish hodisasi; 2) suvga tashlangan bargning cho`kmasligi; 3) SamDU talabasining vazni 5 kilogrammdan kam emasligi; 4) bahor faslidan keyin yoz fasli kelishi; 5) normal sharoitda temperaturasi −5 0 bo`lgan suvning muz holatda bo`lishidan iborat hodisalar muqarrar hodisalardir.
Ta'rif. Tajriba natijasida umuman (biror marta ham) ro`y bermaydigan hodisaga mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi.
Masalan: 1) o`yin soqqasi tashlanganda 7 raqam tushish hodisasi; 2) SamDU talabasining vazni 5 kilogrammdan kamligi; 3) suvga tashlangan bargning suv tubiga cho`kishi; 4) otilgan toshning tezligi sekundiga 300 000 km bo`lishi; 5) normal sharoitda temperaturasi 400 bo`lgan suvning muz holatda bo`lishidan iborat hodisalar mumkin bo`lmagan hodisalardir.
Ta'rif. Tajriba natijasida ro`y berishi ham ro`y bermasligi ham mumkin bo`lgan hodisalar tasodify hodisalar deyiladi. Masalan: 1) tanga tashlaganda gerb tushishi; 2) o`yin soqqasi tashlanganda juft ochko tushishi; 3) talabaning yakuniy nazoratdan 28 ball to`plashi; 4) yangi tug`ilgan chaqaloqning o`g`il bola bo`lishi; 5) sotib olingan mahsulotning sifatli bo`lishidan iborat hodisalar tasodiy hodisalardir. Odatda muqarrar hodisa Ω har bilan, mumkin bo`lmagan hodisa esa ∅ bilan belgilanadi.
Ta'rif. A hodisaning ro`y berishidan B hodisaning ro`y berishi kelib chiqsa, u holda A hodisa B hodisani ergashtiradi deyiladi va A ⊂ B kabi yoziladi. Tajriba o`yin soqqasini tashlashdan iborat bo`lsin. A hodisa "4" ochko tushishidan, B esa "juft" ochko tushishidan iborat hodisa bo`lsin. U holda ravshanki A ⊂ B.
Ta'rif. Agar A hodisa B hodisani ergashtirsa va o`z navbatida B hodisa A hodisani ergashtirsa, u holda A va B teng hodisalar deyiladi va A = B kabi yoziladi. Masalan, tajriba o`yin kubini uch marta tashlashdan iborat bo`lib, A hodisa "har xil toq ochkolar" tushishidan, B hodisa esa tushgan ochkolar ko`paytmasi "15" ga tengligidan iborat bo`lsa, u holda A = B = {1, 3, 5} bo`ladi.
Ta'rif. A va B hodisalardan kamida bittasining ro`y berishidan iborat hodisaga ularning yig`indisi (birlashmasi) deb ataladi va A + B (A ∪ B) bilan belgilanadi. Masalan, tajriba o`yin kubini tashlashdan iborat bo`lib, A = {1, 3, 5} hodisa "toq ochkolar" tushishidan, B = {2, 4} esa "2 yoki 4 ochkodan biri" tushishidan iborat hodisa bo`lsa, u holda A va B hodisalarning yig`indisi A + B = {1, 2, 3, 4, 5} − "5 dan ortiq bo`lmagan ochko" tushishidan iborat hodisa bo`ladi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aα hodisalarning yig`indisi ham shunga o`xshash aniqlanadi: Aα hodisalarning kamida birining ro`y berishidan iborat hodisaga bu hodisalarning yig`indisi deyiladi va bu munosabat ∪ α Aα shaklda belgilanadi.
Ta'rif. A va B hodisalarning bir vaqtda ro`y berishidan iborat hodisaga ularning ko`paytmasi (kesishmasi) deyiladi va A · B (A ∩ B) kabi belgilanadi. Masalan, tajriba o`yin soqqasini tashlashdan iborat bo`lib, A = {1, 3, 5} hodisa "toq ochkolar" tushishidan iborat, B = {3, 4} esa "3 yoki 4 ochkolaridan biri" tushishidan iborat hodisa bo`lsa, u holda A va B hodisalarning ko`paytmasi A · B = {3 } − "3 ochko" tushishidan iborat hodisa bo`ladi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi hodisalarning kesishmasi − T α Aα deb, Aα hodisalarning barchasini bir vaqtda ro`y berishidan iborat hodisaga aytiladi. Hodisalar yig`indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko`ra kommutativ va assotsiativdir, ya'ni A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (2.1) A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (2.2) Bundan tashqari, ular o`zaro distributivlik qonunlari bilan bog`langan (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (2.3) 12 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
3-Mavzu. Ehtimolning ta'rifi
Ehtimolning klassik ta'rifi.
1-ta'rif. A − hodisalar algebrasi, P : A → [0; 1] biror to`plam funksiyasi bo`lsin. Agar A dan olingan va birgalikda bo`lmagan ixtiyoriy A va B hodisalar uchun P(A+B) = P(A)+P(B) (3.1) tenglik o`rinli bo`lsa, u holda A da chekli additiv P o`lchov kiritilgan deyiladi. P(Ω) = 1 shartni qanoatlantiruvchi chekli additiv o`lchovga A da aniqlangan chekli additiv ehtimollik o`lchovi deyiladi.
2-ta'rif. A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar sonining ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar soniga nisbati A hodisaning ehtimoli deyiladi va P(A) = m n ko`rinishda belgilanadi. Bu yerda m − A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni, n − mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar soni. Masalan, tajriba o`yin kubini tashlashdan iborat bo`lsin. A = {ω1, ω3, ω5} toq ochko tushishidan iborat hodisa bo`lsin. U holda Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} va P(A) = 3 6 = 1 2 bo`ladi.
Ehtimolning geometrik ta'rifi. Bizga R n fazoda biror G soha berilgan bo`lib, bu soha g sohani o`z ichiga olsin. G sohaga tashlangan nuqtaning g sohaga ham tushish ehtimolini topish talab qilinadi. Tashlangan nuqta G sohaga albatta tushsin va uning biror g qismiga tushish ehtimoli shu qismning o`lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo`lib, g ning formasiga va g ni G ning qayerida joylashganligiga bog`liq bo`lmasin. G sohaga tashlangan nuqtaning g sohaga tushish hodisasini A orqali belgilaylik. Bu shartlarda A hodisaning ehtimoli P(A) = µ(g) µ(G) (3.1g) formula yordamida aniqlanadi, bu yerda µ(g) orqali g sohaning o`lchovi belgilangan. (3.1g) hodisa ehtimolining geometrik ta'ridir.
3-ta'rif. A hodisa ustida n ta bog`liqsiz tajriba o`tkazilgan bo`lsin. A hodisaning nisbiy chastotasi deb, A hodisa ro`y berishlar sonining o`tkazilgan jami tajribalar soniga nisbatiga aytiladi, ya'ni W(A) = m n . Bu yerda n o`tkazilgan jami tajribalar soni, o`tkazilgan n ta tajribaning m tasida A hodisa ro`y bergan. A hodisaning nisbiy chastotasi uning ehtimolligining taqribiy qiymati sifatida qabul qilinishi mumkin, boshqacha aytganda A hodisasining nisbiy chastotasi uning ehtimoli sifatida qabul qilinadi.
Bu hodisa ehtimolining statistik ta'rifidir.
Hodisa ehtimoli ta'rifidan uning quyida asosiy xossalari kelib chiqadi.
1 ◦ . Mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng, ya'ni P(∅) = 0. 1 ◦ − xossaning isboti. Ω va ∅ birgalikda bo`lmagan hodisalar va Ω = ∅ ∪ Ω tenglik o`rinli. P(Ω) = 1 va P(Ω) = P(∅ ∪ Ω) = P(∅) + P(Ω) tengliklardan P(∅) = 0 kelib chiqadi.
2 ◦ . Agar A hodisa B hodisani ergashtirsa (A ⊆ B bo`lsa, 2.7-ta'rifga qarang), u holda P (B − A) = P (B) − P (A) tenglik o`rinli.
2 ◦ − xossaning isboti. B hodisani birgalikda bo`lmagan A va B\A hodisalarning birlashmasi ko`rinishida tasvirlaymiz B = A∪(B\A). Bu tenglikdan va entimolning additivlik xossasi ga ko`ra P(B) = P(A) + P(B \ A) tenglikni olamiz. Bu tenglikdan 2 ◦ xossaning isboti kelib chiqadi. 2 ◦ xossadan quyidagi tasdiqni olamiz.
3 ◦ . Agar A hodisa B hodisani ergashtirsa, u holda P(A) ≤ P(B) bo`ladi.
4 ◦ . Ixtiyoriy A, B ∈ A hodisalar uchun quyidagi tenglik o`rinli: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Bu xossaning isboti A ∪ B = A ∪ (B\(A ∩ B)) tenglik va 2◦ -xossadan kelib chiqadi: P(A ∪ B) = P(A) + P(B\(A ∩ B)) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 5 ◦ . Qarama-qarshi A hodisa ehtimoli uchun P A = 1 − P(A) tenglik o`rinli.
5 ◦ xossaning isboti A ∪ A = Ω, A ∩ A = ∅ munosabatlar va (3.1) tenglikdan kelib chiqadi.
6 ◦ . Ixtiyoriy An∈A, n = l, 2, . . . lar uchun quyidagi tengsizlik o`rinli: P( [∞ n=1 An) ≤ X∞ n=1 P (An). Bu xossa ehtimol o`lchovning yarim additivlik xossasi deyiladi.