На сигналы в реальных каналах связи влияют помехи

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Пусть по каналу связи передается m - дискретных сигналов - Si (t) (i = 1… .m).
При проектировании оптимальных приемников необходимо определить, по каким критериям необходимо принимать решение о приеме сигнала. Пусть на вход приемника поступит сумма сигнала и помехи.
Z t   S_i t  nt 

Приемник вычисляет следующие апостериорные вероятности для каждой

реализации принятого сигнала Z (t):
P( (t) / Z(t))
P( (t) / Z(t))
P( (t) / Z(t))
P( (t) / Z(t))
Апосторная вероятность - это вероятность, которая рассчитывается после того, как этот эксперимент был проведен. Априорная вероятность - это вероятность, рассчитанная перед экспериментом.
Эти апостериорные вероятности вычисляются одновременно, и для реализации данного сигнала Z (t) определяется какой из них имеет максимальное значение апостериорной вероятности.
PS_i t / Z t   MAX
В зависимости от этой максимальной апостериорной вероятности приемник решает, какой сигнал полуен. Этот критерий называется критерием Котельникова, или критерием идеального наблюдателя, или критерием максимальной апостериорной вероятности. Правило решения приемника принимающее оптимальное решение, работающее по этому критерию, можно записать в виде решающего правила (алгоритма работы) в следующей форме:
S_i


PS_i t / Z t _ P^S _j t / Z t ^
S _j
Применим байесовскую формулу к первой формуле
(1)

PA / B 
PB / A PA PB
S

• 
  формула
  

Байeса


S_i

        ^i ^{       }

• 
     
  

P Z t
/ S_i t  P S_i t
P Z t
/ S _j t  P S _j t
PZ t / S_i t  PS_i t _ P
Z t / S _j t   P
S _j t 

PZ t 

S _j



S_i
  
^{PZ t } S
j



 

i
PZt/ S t 

PZ t / S t  ^
P S _j t
i, j _
 -отношение правдоподобия

i

S _j

j
P^Z t / S
t ^
PS_i
t 
P Zt/ S _j t

j

S_i
 ^ PS t 

i
i , j _
S _j
PS
t 
Правило максимального правдоподобия

PS
t   ¹
P^S t ^
j  1

m _m
S_i

 _1
S_j
PS_i t 

Помимо критерия максимальной апостриорной вероятности,
существуют также критерии Неймана-Пирсона и минимального риска.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ФЛУКТУАЦИОННОГО ШУМА

n
Плотность вероятности случайной величины с нормально распределенным математическим ожиданием n_̅ = 0 определяется следующим выражением:

W (n) 
e
n²

2 ²

Пусть флуктуационный шум - это белый шум с нормальным законом распределения. Чтобы определить закон распределения этого шума, сначала рассмотрим квазибелый шум. Стационарный процесс с равномерно распределенной спектральной плотностью мощности в ограниченном частотном диапазоне называется квазибелым шумом. Его спектральная плотность мощности определяется следующим выражением:

Из-за того что квазибелый шум ограничен сверху частатой F на основании теоремы Котельникова можно взять его отсчеты через интервал Δt=1/2F.

Таким образом, чтобы охарактеризовать квазибелый шум в этом интервале наблюдения, необходимо определить его L-мерный закон распределения. Поскольку мгновенные значения квазибелого шума не связаны друг с другом (незавсимы) , то L- мерный закон распределения квазибелого шума равен произведению одномерных законов распределения шума на временных интервалах «к∆t».

Поскольку эти одномерные законы распределения имеют одинаковое нормальное

распределение, L-мерный закон распределения квазибелого шума имеет следующий

вид:


 L

_L

n

k
_ 2
k 1

^WKL
(n)  ^{ 1 }  e
 



n
2 ²





2
_n G₀  F


^{Бу ерда :} G₀- спектральная плотность мощности квазибелого шума.





2
F – максимальная частота в спектре квазибелого шума.

F  ¹ 2t
n ^G0
_ 1 2t
_ G₀
2t

В этом случае L-мерная плотность вероятности квазибелого шума может быть записана следующим образом:

k
 ₁ L

_L

_
k 1
n²t

^WKL
(n)  ^

^  e ^G0


1

Вывод алгоритма оптимального приема полностью известных
сигналов
Пусть по каналу связи могут передаваться S_i(t) (i = 1… .n) n дискретных сигналов. Сигналы равновероятны. Вся информация о сигнале на приемной стороне известна заранее. Пусть длительность сигналов равна T. Пусть пока на сигналы воздействует аддитивный квазибелый шум.


Z t   S_i t  nt 
На приемной стороне известна вся информация о сигнале, но заранее неизвестно, какой сигнал будет передаваться и какой шум на него повлияет.
Для определения оптимального алгоритма приема этих сигналов воспользуемся
правилом максимальной правдоподобности:
S_i



S
^i, j _¹


(1)


^i, j ^
PZt/ S_i t 



(2)

P Zt/ S _j t
j


S_i

i
PZ t / S t  ^

 ^1
(3)

j
P Z t / S _j t  _S

S_i
PZ t / S t  P^Z t / S
t ^


(4)

i _ j
S _j

Это неравенство также можно записать через плотность вероятности:

W Z t / S_i
S_i



j
t  W ^Z t / S
S _j
t ^


(5)

Принятый сигнал:


Z t  


S_i t  nt 
ёки


Z t  


S _j t  nt 

В этом случае помеху можно записать следующим образом:

nt  
Z t  S_i t 
ёки
nt  
Z t  S _j t 

Единственная разница между отправленным и полученным сигналами - это помехи. Следовательно, неравенство (5) можно записать в виде:
S_i

W Z t  S_i
t  W ^Z t  S


S _j
t ^


(6)

j
Известно, что плотность вероятности квазибелого шума определяется с помощью следующего выражения:

k
 ₁ L
_

L
k 1
n²t


(7)

^WKL
(n)  ^



^  e ^G0


Учитывая формулу (7) -, неравенство (6) можно записать следующим образом:

_L

L

i
_Z t  S_i t ² t _S
_Z t  S _j t ² t

 ₁ L
k 1

• 
   ₁ L
  

k 1

  _{ e} ^G0
 
_ 
^{S j} 


^  e ^G0


L

L

i
_Z t  S_i t ² t _S
_Z t  S _j t ² t

k 1
_e G₀

• 
  k 1
  

_{ e} G₀
S _j



i
 L Z t  S
k 1


G₀
t ² t Sⁱ



S _j
 L Z t  S



j
k 1


G₀
t ² t

j
Умножаем обе части неравенства - G₀:


L Z t 
k 1


S_i t
S_i

² t _
S _j
L ^Z t  S


k 1
t ^2 t
(8)

Переходим от квазиобелого шума к белому шуму:
T

F  ; L
 ; t
 dt;   _;
0

В этом случае неравенство (8) записывается следующим образом:

T
    ²
S_i
 T _
   ^2


(9)

Алгоритм оптимального

_ Z t
0

• 
  S_i t
  

dt _ Z t
^{S j} 0

• 
  S _j t dt
  

приема полностью
известных сигналов

T
    ^{2 2}
Квадрат расстояния

_ Z t
0

• 
  S_i t
  

dt 
^dz,s
между сигналами

i
S_i
d 2 ^_{ d} 2
z ,s_{i S} j z ,s _j

Геометрическая интерпретация алгоритма оптимального приема полностью известных сигналов

S_i

d


2 ^
z ,s_{i S j}
2

d
z ,s _j

На основе алгоритма построим структурную схему оптимального
приемника (демодулятора) полностью известных сигналов:

T
    ²
S_i
 T _
   ²

_ Z t
0

• 
  S_i t
  

dt _ Z t
^{S j} 0

• 
  S _j t dt
  

Вышеупомянутый оптимальный приемник (демодулятор) еще называют приемником Котельникова или оптимальным когерентным демодулятором. В таких демодуляторах используется метод когерентного приема сигналов. При когерентном приеме фаза (время прихода) сигнала Z (t), поступающего на вход демодулятора, должна быть известна заранее. Следовательно, такой способ приема соответствует методу синхронного приема. В этом случае модулятор и демодулятор должны работать синхронно.
Используя алгоритм оптимальной работы приемника
Котельникова, определяем его корреляционную запись

T
    ²
S_i
 T _
   ^2

_ Z t  S_i t dt _{ } Z t

• 
  S _j t dt
  

0 ^{S j} 0

T T
_ Z ²tdt  2_


ZtS_i


tdt 


T
_S_i
S_i
 T
² tdt _{ }


T
Z ²tdt  2_


ZtS


_j tdt 


T
_S _j


² tdt

0 0 0
^{S j} 0 0 0

T
 2_
0
ZtS_i
tdt 


T
_ S_i
0
² tdt
S_i
 T

• 
   2_
  

^{S j 0}
ZtS
_j tdt 


T
_ S _j
0
² tdt

T
_ S_i
0
² t dt
 E_i
T
_ S _j
0
² t dt
 E _j

S_i
T _ T

 2_ Z t S_i tdt  E_{i }  2_
Z t S _j tdt  E _j
разделим
на (: (2))

₀ ^S j ₀

T
   
S_{i
1 } T
    ¹  

_ Z t
0
S_i
t dt 
₂ E_{i
 } Z t
^{S j} 0
 S _j
t dt 
₂ E_j 10