Наука и образование

---

173
Научный журнал "Наука и образование"
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
Векторы
Векторы
Махсуд Тулкин оглы Усманов
[e-mail]
Каршинский филиал Ташкентского университета информационных технологий
Ключевые слова: противоположный вектор, длина или модуль вектора, нулевой вектор,
единичный вектор, обратный вектору, коллинеарные векторы, компланарные векторы,
скользящий вектор.
Сам термин «вектор» был введен в 1845 году Уильямом Роуэном Гамильтоном.
Махсуд Тулкин оглы Усманов
[e-mail]
Каршинский филиал Ташкентского университета информационных технологий
Аннотация: Вектор — относительно новое математическое понятие. Термин «вектор» был
придуман в 1845 году Уильямом Роуэном Гамильтоном. Понятие вектора встречается при работе
с объектами, характеризующимися числовыми значениями и направлениями. Примерами таких
объектов являются физические величины, такие как сила, скорость и ускорение. Вектор
используется в различных разделах математики, таких как элементарная, аналитическая и
дифференциальная геометрия. Векторная алгебра применяется в различных разделах физики и
механики, кристаллографии, геодезии. Не только классическая математика, но и многие другие
науки невозможны без векторов. Предметом векторной алгебры является изучение сложения и
умножения над векторами, операций,
Понятие вектора встречается при работе с объектами, характеризуемыми числовым значением
и направлением. Примерами таких объектов являются физические величины, такие как сила,
скорость и ускорение. Вектор используется в различных разделах математики, таких как
элементарная, аналитическая и дифференциальная геометрия. Векторная алгебра применяется
в различных разделах физики и механики, кристаллографии, геодезии. Не только классическая
математика, но и многие другие науки немыслимы без векторов. Предметом векторной алгебры
является изучение сложения и умножения векторов, операций, скалярного, векторного и
смешанного умножения векторов, подстановки векторов в некотором пространстве,
проектирования векторов и подобных задач.
Аннотация: Вектор — относительно новое математическое понятие.
Machine Translated by Google

---

Научный журнал "Наука и образование"
174
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
Модуль вектора | АБ | или | а |
б
а
а
0
а
Расстояние между началом и концом называется длиной или модулем вектора.
обозначается как
) или противоположное
обозначается как
) может быть. Вектор случая
и
скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, подстановка векторов в некотором
пространстве, проекция векторов и тому подобное.
определяется В этой точке А является началом вектора
Если вектор называется
AB или a , точка B называется его концом.
через
Определение 3. а
определяется по внешнему виду.
записывается как Коллинеарные векторы являются одним
и
Это определение равенства векторов характеризует векторы, называемые произвольными
векторами. Исходя из этого определения, произвольный вектор можно перемещать параллельно
произвольной точке пространства.
Определение 2. Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных осях, называются
компланарными векторами.
не смотри на вектор
Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором и в большинстве случаев
обозначается буквой e .
вектор, обратная сторона вектора, коллинеарные векторы, копланарные векторы, скользящий вектор.
Вектор, начало и конец которого перекрываются, называется нулевым вектором.
направлены в стороны ( коллинеарны
любому вектору ab .
Вектор BA противоположен вектору AB . обозначается встречным вектором
( a ).
если векторы коллинеарны, параллельны и имеют одинаковую длину,
1. Основные понятия
Вектором называется вектор поперечного сечения, имеющий длину и направление.
называются коллинеарными векторами.
единичный вектор с тем же направлением, что и вектор,
обозначается a .
Определение 1. Векторы, лежащие на прямой или параллельных прямых
направлены на (направление, они аб
Используя понятие произвольных векторов, можно дать другие эквивалентные определения
коллинеарности и компланарности векторов: если два ненулевых вектора лежат на одной прямой при
перемещении в одну и ту же точку, то
Ключевые слова: противоположный вектор, длина или модуль вектора, нулевой вектор, единица.
определен. В этом | 0|= 0 будет. Нулевой вектор не будет иметь направления.
называется апостериором вектора и
коллинеарность векторов
они называются равными векторами и записываются как ab = .
0
аб
б
Machine Translated by Google

---

Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
175
www.openscience.uz
Научный журнал "Наука и образование"
а
а
а
Пусть
AB b = вектор. В этом
,
б
б
б
к точке
и
векторы называются коллинеарными векторами; если три ненулевых вектора лежат в одной
плоскости при перемещении в одну и ту же точку, такие векторы называются компланарными
векторами.
взять точку в этой точке
Пусть задан вектор. Желаемый О
OB , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора,
называется суммой векторов, т. е. OB ab vector
a Такой
способ сложения векторов называется правилом треугольника.
вектор проиллюстрирован.
Для нахождения суммы нескольких векторов из равных этим векторам векторов
строится многоугольник (ломаная линия). В этом случае вектор, начало которого
находится в начале первого вектора, а конец — в конце последнего вектора, равен
сумме всех векторов многоугольника. Этот метод добавления нескольких векторов
называется правилом многоугольника (или правилом ломаной линии). Четыре в форме 2
Два вектора также можно сложить по правилу параллелограмма. Для этого
О
Два _
и
и
= + (рис. 1).
делаем параллелограмм. В этом случае OB , проходящий через конец O
параллелограмма, дает диагональный вектор ab + (рис. 1).
Перемещаем вектор OA a = параллельно. в точку А
В некоторых случаях свободная передача вектора может быть ограничена. Если
точка вставки вектора строго фиксирована, такой вектор называется связанным вектором.
Если дана линия, вдоль которой может располагаться начало вектора, то такой вектор
называется скользящим вектором. Связанные и скользящие векторы широко
используются в теоретической механике. Например, радиус-вектор точки M будет
связанным вектором; при круговом движении вектор угловой скорости, расположенный
на оси вращения, является вектором скольжения.
ставим векторы и от них
2. Линейные операции над
векторами Сложение, вычитание и умножение векторов являются
линейными операциями над векторами.
аб +
аб +
abcd ,
сумма векторов s
,
б
ОС = б
б
Рисунок 1
О
О
С
А
Б
А
Б
ОА а
"="
Machine Translated by Google

---

)
"="
О
3
5
6
а
о
о
"="
о
1
б
Рисунок 3
Рисунок 4
фигура 2
о
А
Б
а
ab
— найти разницу a
Из этого определения умножения векторов следуют следующие
свойства:
(a 0)
Свойство 1. а
от конца вектора a
как произведение числа,
a 0 , когда a
а
ОБ б
.
а
а
с
и достаточно, где
а =| а |
0 а ; + =
4 (
.
0
0
- = + -
был ( б) аба ( б). называется векторной суммой, т.е.
-
-
аб
аб
+
+ ааа ;
=
8 или 1 а а.
аб +
абба + = + ;
.
.
Научный журнал "Наука и образование"
www.openscience.uz
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
176
б
б и
(a 0) , то есть с длиной каждого ненулевого вектора
.
.
.
о (а б) а б; 7.
+ =
+
б
б
г
б
как разность векторов, вектор a противоположен
вектору b
Свойство
2. равен произведению
В этом
б (рис. 3).
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
равно и направление
и
должно быть
Доказательство свойств следует непосредственно из правил сложения и
вычитания векторов и определения векторного умножения.
дает вектор
и
называется вектором.
так что векторы коллинеарны
вектор ab в направлении конца вектора
_
_
;
- любой номер;
Когда 0, a противоположно направлению вектора a
и
положим вектор в общую точку О.
коллинеарны вектору, длина
совпадает с направлением вектора,
= диагональные векторы параллелограмма OACB , построенного
на векторах , представляют собой сумму и вычитание этих векторов соответственно
ОА а
"="
о
с
а
-
|
будет (рисунок
4). вектора
| а |
|
а
а + -а =
) 0;
( ) =
(
О
С
+ + = + +
о (а б) ка (б в) 2
Machine Translated by Google

---

Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
Научный журнал "Наука и образование"
177
Н
АС аб = +
Д
1
Д
А
С
.
j через единичные векторы
Отсюда следует абба
+ = + .
в треугольнике
.
и
Согласно свойству треугольника сложения векторов, АЦП находится в треугольнике.
экспресс AB
соответственно .
и
Тогда ABC по свойству треугольника сложения векторов
и
По свойству параллелограмма:
от и
будет
AD направлен через стороны i
В качестве примера докажем первое из свойств 1. AB вектор a
середина стороны, середина стороны N CB (рис. 6). Векторы AM, AN, MN
будет
Пусть BC состоит из вектора b (рис. 5).
аб +
я
б
б
Дж
ба +
н.э. = до н.э.
ДК = АВ
а
АВ = 3, АД = 4.
Пример 6.1. Стороны прямоугольника ABCD равны M DC
М. Коррол. Векторное исчисление. Авторские права. Авторские права. 2011, стр. 1-14.
Б
А
Б
AC AD DC ba = + = +
Рисунок 6
Рисунок 5
а
С
М
Machine Translated by Google

---

Научный журнал "Наука и образование"
178
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
е
"="
л
А
е
Пр
| |.
АВ = A1B1
Основание А1 перпендикуляров АА1 , проведенных из точки М на ось l ,
называется проекцией точки А на ось l (рис. 7).
Пусть AB (AB 0) — произвольный
вектор. Определим проекции начала и конца A1 на ось λ .
O
- единичный вектор и точка
.
Согласно рис. 6
Так,
Вектор A1B1 называется компонентой оси l вектора AB . A1B1 |
число сказано и определение
4. AB — проекция вектора на ось l , образующая Prl
AB A1B1 , и с положительным знаком, если ось l направлена в одну сторону, в противном
случае получается отрицательный знак (рис. 7).
3. Проекция вектора на ось Прямая,
заданная точкой, определяющей счетную головку, и единичным вектором,
называется осью.
l определяет ось как однозначную.
Находим по правилу сложения векторов:
с учетом этого находим:
определяется Это число
АВ = | АБ |
Вектор AB , соответствующий B1
и
3
,
2
1
DM MC DC AB i 2 2
1
= =
О
а =| а |
Решение.
.
Рисунок 7
0
3
я = + = + ; 2
AM AD DM 4 j
А1
В1 л
1 1
= =
= BN NC BC AD j 2 2
"="
"="
2
а
2 Дж
=
MN MC CN MC NC i = + =
3
2
.
я 3i
,
Б
= АД = | ОБЪЯВЛЕНИЕ | 4 Дж .
=
АН АВ БН 3i 2 j;
= + = +
Machine Translated by Google

---

Научный журнал "Наука и образование"
179
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
л
.
О
л
а
1
Если _
Определение 5. а
Свойство 1. а
1
а
= - = -
Мистер А
) | а | потому что
| а1 |
=
| а | потому что (
а
а
|
= =
| потому что
"="
прл 0 | а | cos 2
а
.
Угол между вектором 2 и осью l непрямой
и между осью
Если ,
Угол между вектором и осью λ (два угла α 0 )
называется . Равшанки, (рис. 8).
равен произведению модуля
вектора на косинус этого угла вектора, т.е.
.
Из этого свойства следуют следующие результаты.
Результат 1. Проекция вектора на ось: 1)
положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) если
вектор образует с осью непересекающийся угол, он отрицателен; 3)
если вектор образует с осью прямой угол, он равен нулю. Результат 2.
Проекции равных векторов на одну ось равны.
проекция вектора на ось λ равна
угол а
между вектором и его осью l составляет 1 вектор
0
Угол
между вектором 2 и осью l острый Доказательство.
Если ось l
направлена в одном направлении. Тогда | а | потому что
1 если
В таком случае
если, то
а и 1
Ось l будет направлена в противоположную сторону.
учредительный и
Познакомимся с основными свойствами проекции вектора на ось.
Если
между вектором
учредительный и
прл а =| а | потому что
Рисунок 8
"="
2
.
Пр а | а1 |
= + =
.
Machine Translated by Google

---

б
Рисунок 9
1
л
л
"="
л
л
1
1
Прл а
Прл ( а ) =
Прл (ка + нб) = к
Результат 3. Проекция линейной комбинации векторов на ось — это векторы
В таком случае
Свойство 3. При умножении вектора на скалярное число его проекция на ось также
умножается на это число, т.е.
Доказательство. Согласно свойству 1 проекции вектора на ось
.
.
Рекомендации
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме проекций
векторов на эту ось, например,
Пр + кл
.
Издание 2016 г.
Пр + кл
Доказательство. Пусть
dabc = + + (рис. 9).
nd 5 1. Gilbert Strang "Introduction to Linear Algebra", USA, Cambridge Press,
например
.
равен соответствующей линейной комбинации его проекций на ось,
то есть
0 при Prl ( a) =|
0 при Prl ( a) =|
а | потому что
"="
л
л
1
1
1
а +
Пр
а
Пр а +
л
О
= 0 при Prl (0 a) = 0 = 0 Prl a = Pr a.
с 1
б Прл
б Прл
г
) = -
-
| а |( cos) =
а | потому что (
1
"="
| а | потому что
Пр а.
Научный журнал "Наука и образование"
180
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
| |
аб в
| дд =
+ = + + -
|
|,
|
Пр
|
|
Пр а.
| а | потому что
Прл (а + б + с) =
б
.
Прл (а + б + с) =
nPrl б
г
с
а +
л
Пр
Machine Translated by Google

---

1995.
упражненияx и задачаx. Найдите семерку. - М.: Высшая; школа, 2015.
Издание 2016 г.
2. Гревал Б.С. «Высшая инженерная математика», Дели, издательство «Ханна»,
5. Соатов Ю.Ю. «Высшая математика», Т., Издательство «Учитель», части 1-5,
Университет. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
2. Гревал Б.С. «Высшая инженерная математика», Дели, издательство «Ханна», 42-е издание,
2012.
математика», Минск, Высшая школа, 1-3 части, 1991.
7. Мирзиёев Ш. Мы построим наше великое будущее вместе с нашим смелым и благородным
народом. – Т.: Узбекистан, 2017. – 488 с. 8. Мирзиёев Ш.М.
Обеспечение законности и интересов человека – залог развития страны и благосостояния
народа. - Т.: Узбекистан, 2017.
Технические вузы. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
3. Рахматов Р.Р., Адизов А.А., Таджибаева Ш.Э., Шоймардонов С.К.
6. Рябушко А.П. я доктор "Сборник индивидуальных заданий по высшей."
15. Семенова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Методическое пособие. Ташкент 2020.
10. Адизов А.А., Худойберганов М.О. Прикладная математика. Исследование методическое
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
Издание 2012 г.
3. Рахматов Р.Р., Адизов А.А., Таджибаева Ш.Э., Шоймардонов С.К.
9. Мирзиёев Ш.М. Вместе мы построим свободную и процветающую, демократическую страну
Узбекистан. Т.: Узбекистан, 2017.
16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к
решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Ташкент "Учитель" 1984. 12.
Ильин В. А., Позняк Е.
Г. Линейная алгебра. - 6-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 13. Задорожный В. Н. я доктор
Высшая математика для
технических
1. Гилберт Странг «Введение в линейную алгебру», США, Cambridge Press,
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Методическое пособие. Ташкент 2020.
методическое руководство. ТАТУ, Ташкент 2019.
4. Рахматов Р.Р., Адизов А.А. "Линейное пространство и линейные операторы" Учебное пособие.
руководство. Ташкент. 2014.
Рекомендации
Научный журнал "Наука и образование"
www.openscience.uz
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
181
Machine Translated by Google

---

9. Мирзиёев Ш.М. Вместе мы построим свободную и процветающую демократическую
упражнения и задачи. Седьмое издание. -М.: Высшее; Школа, 2015.
8. Мирзиёев Ш.М. Верховенство закона и защита интересов человека являются залогом
развития страны и благополучия народа. -Т.: Узбекистан, 2017.
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
4. Рахматов Р.Р., Адизов А.А. Исследование линейного пространства и линейных операторов.
10. Адизов А.А., Худойберганов М.О. Прикладная математика. Методическое пособие.
Ташкент. 2014.
16. Макаров Е.В., Лунгу К.Н. Высшая математика: руководство к решению задач: учебное
пособие, ч. 1, Физматлит. 2013.
государство Узбекистан. Т.: Узбекистан, 2017.
15. Семенова Т. В. Высшая математика: учебник для студентов технических вузов. Ч. 1. -
Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
5. Соатов Ю.Ю. «Высшая математика», Т., Издательство «Учитель», части 1-5, 1995.
12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - 6-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Гид. ТАТУ, Ташкент 2019.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Ташкент "Учитель" 1984г.
Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
7. Мирзиёев Ш. Мы построим наше великое будущее вместе с нашим смелым и благородным
народом. – Т.: Узбекистан, 2017. – 488 с.
13. Задорожный В.Н. и соавт. Высшая математика для технических вузов. Часть I.
6. Рябушко А.П. и другие. "Сборник индивидуальных заданий по высшей математике", Минск,
Высшая школа, 1-3 части, 1991.
182
Научный журнал "Наука и образование"
Август 2021 г. / Том 2, выпуск 8
www.openscience.uz
Machine Translated by Google