Navoiy kon-metallergiya kombinati navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti

2. Roll teoremasi. (Mishel Roll (1652-1719) fransuz matematigi). 1) funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli oraliqda chekli hosila mavjud; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya teng qiymatlarni qabul qilsa, va orasida shunday nuqta topiladiki,

tenglik bajariladi
Geometrik nuqtasi nazardan Roll teoremasi quyidagini bildiradi: funksiyaning chetki ordinatalari teng bo‘lsa, egri chiziqda shunday nuqta topiladiki, undan egri chiziqqa o‘tkazilgan o‘rinma, o‘qiga parallel bo‘ladi (2-chizma).
3. Lagranj teoremasi. (1736-1813y. mashhur fransuz matematigi va mexanigi). 1) funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli ochiq oraliqda chekli hosila mavjud bo‘lsa, va orasida kamida bitta nuqta topiladiki

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Lagranj teoremasini geometrik tomondan quyidagicha ifodalash mumkin (3-chizma): teorema shartlarida

nisbat kesuvchining burchak koeffitsiyenti ekanini, esa egri chiziqqa abssissali nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti ekanini payqaymiz.
Shunday qilib, Lagranj teoremasining tasdig‘i yoyda hech bo‘lmaganda bitta shunday nuqta topiladiki, bu nuqtadan o‘tkazilgan urinma, kesuvchiga parallel bo‘ladi.
yoki
formulaga Lagranj formulasi yoki chekli orttirmalar formulasi deyiladi.
U

3-chizma

Yuqoridagi teoremalarning isbotini matematik tahlilning kengroq dasturlari uchun yozilgan adabiyotlardan topish mumkin (masalan, Soatov YO.U. Oliy matematika. j.I. -T.: O‘qituvchi 1992. 193-197 b.)
4. Teylor teoremasi ((1685-1731y., ingliz matematigi). funksiya nuqtani o‘z ichiga olgan biror oraliqda tartibgacha barcha hosillarga ega bo‘lsa,

formula o‘rinli bo‘ladi, bunda bo‘lgan son. Bu formulaga qoldiq hadi

bo‘lgan, Langranj formasidagi Teylor formulasi deyiladi. Teylor formulasida bo‘lsa,

formula hosil bo‘ladi. Bunga Makloren formulasi deyiladi.
Teylor va Makloren formulalari funksiyalrni ning darajalari bo‘yicha yoyishda va taqribiy hisoblashlarda katta ahamiyatga ega.
1-misol. Ushbu funksiya intervalning ichki nuqtasida o‘zining eng kichik qiymatiga erishsa ham, bu funksiya uchun Ferma teoremasining xulosasi o‘rinli emas. Shuni ko‘rsating.
Yechish. Berilgan funksiya nuqtada o‘zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biroq funksiya shu nuqtada chekli hosilaga ega emas. Bu ushbu

nisbatning da chekli limitga ega emasligidan kelib chikadi.

Demak, Ferma teoremasining sharti bajarilmaydi. Binobarin, teoremaning xulosasi o‘rinli emas.
2- misol. Ushbu funksiya [-1; 2] segmentda Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. Ravshanki, berilgan funksiya [-1; 2] segmentda uzluksiz va intervalda xosilaga ega.
Demak, funksiya [-1; 2] segmentda Lagranj teoremasiga ko‘ra shunday s nuqta (-1 < c < 2) topiladiki,


bo‘ladi. Keyingi tenglikdan ekanini topamiz.