Nazariy fizika kafedrasi

Kubik nochiziqli muhitda nochiziqli Shredinger tenglamasini keltirib chiqarish.
Uchinchi tartibli nochiziqli effektlar qutblanish vektrorining yoyilmasi (1) da elektr maydon kuchlanganligi bo’yicha uchinchi darajali hadlar bilan bog’liq.Izotrop muhitlar uchun =0 ikkinchi tartibli effektlar kuzatilmaydi.Bu holda induksiya vektorini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
(2)

Yuqoridagi ifodani Maxwell tenglamalariga qo’yamiz:
(2’)
(3)
Bu tenglamalarning (yassi monoxramatik to’lqin ) ko’rinishidagi aniq yechimi mavjud.Bu yechimni (2’) tenglamaga qo’yib va vector analizdan quyidagilarni eslab:
dan
Quyidagicha tenglama olamiz:

Bu yerda
(4)
Chiziqli masaladagi yassi to’lqin ko’rinishidagi yechimdan bu yechimning farqi shundaki, to’lqinning faza tezligi dielektrik singdiruvchanlik bilan bir qatorda to’lqin amplitudasi ga ham bog’liq.
Agar bo’lsa, faza tezligi amplituda ortishi bilan kamayadi.Bunda muhit fokuslovchi bo’ladi.Agar bo’lsa amplituda ortishi bilan tezlik ortadi va muhit defokuslovchi (yoyuvchi) deyiladi.
Shu bilan birga (3) tenglamadan ekanligini tekshirish qiyin emas.Demak bu holda ham, chiziqli nazariyadagi kabin maydon ko’ndalang ekan.
Maxwell tenglamalaridan uchinchi darajali nochiziqlikga ega bo’lgan muhitda yorug’lik to’lqinining elektr maydoni uchun to’lqin tenglamasini olish mumkin.Buning uchun (2) va(3) tenglamalarning yechimini amplitudasi rovon o’zgaruvchi yassi to’lqin ko’rinishida qidiramiz:
(5)
Bu yerda to’lqin tarqalish yo’nalishidagi koordinataning va vaqtning rovon o’zgaruvchi funksiyasi (5) ni Maxwell tenglamalariga qo’yamiz va hisob kitobni boshlaymiz:

Bu tenglikdan birinchi had =0 bo’ladi, sababi dan bunday yaqinlashish o’rinli ekanligini ko’ramiz:

Bundan

Ya’ni judayam kichik son.Biz bu yerda vector analizning

formulasidan foydalandik.Bu kattalik ikki sababdan judayam kichik birinchidan nochiziqli,ikkinchidan rovon o’zgaruvchi funksiyaning hosilasi ishtirok etadi.
Natijada quyidagicha tenglamani olamiz:
(6)
Bu yerda -Laplas operatori.
Har bir hadni alohida hisoblab chiqamiz:

Bu hadni hisoblashda (5) formuladan 2 martta vaqt bo’yicha hosila olingan.(6)-ifodani chap tomonini ham hisoblaymiz:

Bu yerda ekanligini yana eslatib ketamiz. Bu yerda rovon o’zgaruvchi funksiya dan vaqt bo’yicha va z bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilali hadlar juda kichik bo’lganligi uchun tushurib qoldirdik.Bu soddalashtirishlarni (6) tenglamaga qo’yib sekin o’zgaruvchi amplitude uchun parabolic tipdagi to’lqin tenglamasini olamiz:
(7)
Bu tenglamani standart ko’rinishda yozish uchun va almashtirish bajaramiz.BUndan tashqari, belgilash va o’lchsamsiz o’zgaruvchilarni kiritamiz:

difraksion uzunlik (Reley uzunligi), muhitga kirishdagi yorug’lik dastasining kengligi.Yangi o’zgaruvchilar tilida (7) tenglama quyidagicha ko’rinishni oladi.
(8)
Bu yerda ( ni yana mos ravishda (x,y,z) ga almashtirildi.Bu tenglama (2+1) o’lchamli nochiziqli Shredinger tenglamasidir.Bunda “2” ko’ndalang o’lchamlar soni (x,y)ni ko’rsatsa “1” esa to’lqin tarqalish yo’nalishi (z) ni belgilaydi.
Yassi to’lqin o’tkazgichlar uchun (8) tenglamani (1+1) ko’rinishga keltirish mumkin.Buning (8) tenglamani ko’ndalang yo’nalishlardan birini yassi to’lqin o’tkazgichning xususiy modasi bo’yicha o’rtachalaymiz:

Odatda bu tenglama nochiziqli Shredinger tenglamasi deb yuritiladi.
Quyidagi rasmda kirishdagi va chiqqishdagi intensivlik keltirilgan.Ko’rib turganingizdek solitonlarni ko’rinishi o’zgarmagan.



Difraksiya hisobiga yassi yorug’lik dastasi(1-rasm –1) x o’qi bo’yicha yoyiladi(1-rasm –2).
Shu vaqt ichida nochiziqlilik uni lokalizatsiyalaydi.Ikkala effekt o’zaro bir-birini to’la kompensatsiyalaganda yorug’lik dastasi statsionar tarqaladi.