Nazariy fizika kursi

  va  v f £
2
[ r n | l   =   i -  
dr 
dt
 
L  1 
iJ 
I d t
ekanliklari  hisobga  olinsa saqlanish  qonuniga  kelinadi:
'  
va  v-[£2 [rQ]] = - y[Q rJ" 
(6.195)
I ( 
Л 
\
a  nr
dt
Qavs  ichidagi  ifoda  —  energiya:
= °- 
(6.196)

£  = ^ L .- | [ Q r ] 2 +t/. 
(6.197)
Kinetik  va  oddiy  potensial  energiyalardan  tashqari  unga  markazdan
1 r
qochma  potensial  energiyasi  —  --[QrJ  —  ham  kirgan.  Bu  ifodani
bevosita (6.184)  Lagranj  funksiyasidan  ham  olish  mumkin  edi.
Koriolis kuchi ish bajarmaydi — hamma vaqt tezlikka perpendikular 
yo'nalgari  bo'lgani  uchun  (huddi  magnit  maydonidek).  Shu  sababdan 
unga  mos  keluvchi  had  energiyning  ifodasida  paydo  bo‘lmadi. 
Umumlashgan impulsni  (6.188) dan olamiz:
p = |  = mv + m[Hr]. 
(6.198)
U m um lashgan  impuls  ilgarilanma  va  aylanma  qismlardan  iborat 
ekan.
6.7.1-m isol.  Boshlang'ich  tezligi  v0  va  boshlang‘ich  holati  r(1  bo'lgan 
jism   Y er  m aydo nida  harakat  q ilm o q d a.  Jism   trayektoriyasining  K oriolis 
kuchi  orqali  o'zgarishini  toping.  Yerning  burchak  tezligini  o'zgarmas  deb 
qarang.
Y e r   u c h u n   b u r c h a k   t e z li k n i n g   so n   q iy m a t i  j u d a   k ic h ik lig i  -
I ^  I= 
sek  '  = 7.27  10  5sek  1  - 
Q 2
  ga  proporsional  bo'lgan  markazdan 
л о 4 \ Ю
q o c h m a   k u c h n i  hisobga  o lm a s lig im iz   k e ra k lig in i  b ik lira d i.  P ote nsial 
cnergiya 
U =-m g-r
  ekanligidan  harakat  tenglamasi  quyidagicha  bo'lishi 
kclib  chiqadi:
v = g + 2[vQJ. 
(6.199)
Tenglama  Q   bo'yicha  iteratsiyalar  bilan  yechiladi.  B uning  uchun
V 
= v <0, + 
v (1) 
(6.200)
deb  o lin a d i  va  v (0)  had  f t   ga  bogTiq  b o 'lm a y d i,  v (l)  had  esa  £1  ning
birinchi  darajasiga  proporsional  bo'ladi  deb  olinadi,  Natijada
v(0) =g,  v(:) = 2 [v(0)£2] 
(6.201)
tenglamalar  sistemasi  olinadi.  Bu  sistema  oson  yechiladi:
v(0)  =gf + v0,  v(" =[gQ]r2 +2 [v0Q]r, 
(6.202)
yoki
186

V =  v 0 +g? + 2 [ v 0Q ] f  + | g Q ] r .
(6.203)
H a r a k a t  t e n g l a m a s i d a   £22  ga  p r o p o r t s i o n a l   bo'Jgan  h a d n i   ta s h la b   y u b o r g a -  
n i m i z   u c h u n   it e r a tsiy a   j a r a y o n i n i  sh u   y e r d a   t o ' x t a t i s h i m i z   kerak. 
R a d iu s- v e k to r n i  to p is h   u c h u n   te zlik n i  vaqt  b o ‘y ic h a   integ ra llaymiz:
6.7.2-misol. 
B o s h l a n g ‘ic h   tezligi  n o lg a   te n g   b o ‘lgan  jism   h  bala n d lik d an  
Y erga  tu shish  d a v o m i d a   vertikaldan  q a n c h a g a   o g ‘adi?
M asalani  ko nkret  bir k englikka b o g i a y l i k ,   bu  kenglikni  Q  deb  b e lg i la y m iz  
( T o s h k e n t   u c h u n   0   = 4 1 ° ) .   K o o r d i n a t  o ‘qlari  t a n l a y m iz . 
x - o ‘qi  m e r id ia n  
b o ' y i c h a   j a n u b d a n   s h i m o l g a   q a r a ta m iz .  z - o ‘qi  y u q o r i g a   y o ‘n a lt ir ila d i.  у  
o ‘qi  g'arb ga  y o ‘nalg an  bo'Iadi.
Bu  h o ld a  
g   =   { 0 , 0 , - g }  
va 
Q  
=  { Q c o s 0 , O ,  Q s i n 0 }   b o i a d i   va  y e c h i m d a g i
v e k t o r   k o ' p a y t m a n i n g   b i r d a n - b i r   n o l d a n   farqli  k o m p o n e n t a s i   u n i n g   у  
k o m p o n e n t a s i   b o i a d i :
[g £ 2 ]   =  
{
0
, 
- g  Q
 cos 
0
,
0
}.
D e m a k ,   b o s h l a n g 'i c h   k oordin atla ri  r0  = { 0 , 0 ,  h] 
b o ‘lgan  j i s m   yerga  tu s h - 
g a n d a   ( 6 . 2 0 4 )   b o 'y i c h a
k o o r d i n a t l a r g a   e g a   b o ‘lar  e k a n .  M i n u s   is h o r a   o g ' i s h n i n g   sh a r q   t o m o n g a  
r o ‘y  b c r i s h i n i   k o ‘rsa t a d i.  г  ~   k o m p o n c n t a   u c h u n   i f o d a n i   n o l g a   t e n g l a s h -  
ti r ib
r(;)  =   r0  +  v 0  ? + - g f ;-  + f v 0n ] / 2  + - [ g Q ] r \
( 6 .2 0 4 )
(6 .2 0 5 )
z  =   h
—  
%t2  =
  0
2
tu sh ish   vaqtini  ( 6 . 2 0 5 )   ga  q o ‘yamiz:
( 6 . 2 0 6 )
y  =  —   —  
g!Q c o s S .
H «
( 6 . 2 0 7 )
S o n   q iy m a tla rin i  q o ‘y ib   chiq aylik :
у   -  - 2 , 1 9   10~5 h3/2 cos в.
T o s h k e n t   k en gligi  u c h u n
y  =  - 1 . 6 5 - 1 0 “V /2.
( 6 .2 0 8 )
187

Agar 
h
  = 1 0 0 m   deb  olinsa,  y = - l , 65-10  2 m  = - L 6 5 s m   bo'ladi.  Agar  jism
Toshkent  telem inorasining  u c h id a n   tushib  ketsa  (/i=340m ),  uning  vertikal- 
dan  sh a rq q a   og'ishi 
у
  = —10,3  sm   ekanligini  to p am iz.  A lbatta,  h a y o td a  
sham olning  ta'siri  b u n d a n   kuch liro q   bo 'lad i.
6.7.3-m isol- 
B o s h la n g ' ic h   v 0  tezlik   b ila n   Y e r   sirtidan  o ti lg a n   j i s m   Y erga 
qaytib   tu s h g a n d a   o ' z i n i n g   b o s h l a n g ' i c h   tezlig i  y o tg a n   tekislikdan  q a n c h a g a  
c h e t l a s h a d i ?
K o o r d i n a t   o 'q l a r in i  avvalg i  m i s o l d a g i d e k   t a n l a y m i z .  E ffek t  m a k s im a !  
b o ' l i s h i   u c h u n   t e z l i k n i   x ,   г  t e k i s l i g i d a   y o t i b d i   d e b   o l a m i z .   Bu  h o l d a  
( 6 . 2 0 4 )   dan
ek a n lig in i  to p ila d i.  Jism  Y erga  q aytib  t u s h g u n i c h a   t  -   2 v 0J g   vaqt  ketadi. 
D e m a k .
T o ' p d a n   va  m iltiq d a n   o 'q   o t i s h d a   a n iq   n is h o n g a   olish   u c h u n   sh u   natijalarni 
h a m   h is o b g a   o li s h   kerak.
6 - b o b g a   m a s h q   va  s a v o l l a r
1.  Erkin  jism  uchun  Eyler  tenglamalaridan  (K
  -- 
0)
—  Jism  energiyasining  harakat  integrali  ekanligini;
-  Impuls  momentining  kvadrati  M 2  harakat  integrali  ekanligini  keltirih 
chiqaring.
2.  Energiya  E'  ning  ((6.82) ga  qarang)  harakat  integralligidan foydalamb 
(6.89)  tenglamani  keltirih  chiqaring.  Buning  uchun  boshlang'ich  в  burchakda 
energiyaning  qiymati  ixtiyoriy  boshqa  в  burchakdagi  qiymatiga  teng  ekanli- 
gulan  foydalaning.
3.  Tekislikda  sirpanmasdan  harakat  qilayotgan  shar  masalasini  Lagranj 
k o ’paytuvchiiari  metodi  bilan  yeching  ((1.6)-paragrafga  qarang).
4.  6.18-b  rasmda  ko'rsatilgan  2a  tomonli  kvadratning  uchlarida joylashgan 
massalar  sistemasi  uchun  inersiya  tenzorining  komponentalarini  toping.  Bu
ishni  (x.  y)  va  (x’,y ')  sistemalarda  bajaring.
5.  6 .18-rasmda  ko'rsatilgan  katetlari  2a  va  4a  bo'/gan  to'g'nbiirchakii 
uchburchak  uchlarida  joylashgan  m  va  2m  massalar  uchun  bosh  inersiya
о ‘qlarini  va  bosh  inersiya  momentlarini  toping.
6.  Faraz  qilaylik,  Yertiing  radius!  1%  ga  kamaydi,  massasi  o'zgarmadi. 
Uning  burchak  tezligi  qanchaga  o'zgam di?  Energiyasichi?
( 6 . 2 0 9 )
(
6
.
2 1 0
)

У,  а  М
6.18~rasm.
  Moddiy nuqtalar sistemalari.
Т 777Т Т Т Т 7 7 Т Т Г Т Т ,
m
6.19-r
asm.
  Tebranayotgan  hoda
7.  Uzun/igi  L  va  massasi  m  bo ‘igan  hoda  bikirlikfari  к  bo ‘Igan  ikki 
prujinaga  6.19-rasmda  koYsatilganidek  o'rnatilgan.  Bir uchini kichik  masofaga 
pastga  qarab  siijitib  harakatga  kehirildi.  Hodaning  tebranish  chastotalarini 
toping.
8.  Shimoliy  yarim  shardagi  daryo  janubga  qarab  oqmoqda.  в  kenglikda 
daryoning  kengligi  H  ga  teng.  Sharqiy  va  g'arbiy  qirg'oqlardagi  suvning 
balandliklarining  farqini  toping.
9.  a  radiusli  bir jin sli  silindr  Я  radiusli  katta  bo ‘shliqli  silindrning 
ichida sirpanmasdan  harakat qilmoqda  (6 .1 Я-d rasmga  qarang).  Uning  Lagranj 
funksiyasini  toping.  Kichik  silindrning  barqaror  muvozanat  holati  atrofidagi 
kichik  tebranishlar  chastotasini  toping.

7-bob.
  K A N O N IK   F O R M A L I Z M
7.1  Gam ilton  tenglam alari
Lagranj  fo rm a liz m i  klassik  m exan ik a d ag i  y a g o n a   fo r m a liz m i  em as. 
U s h b u   b o b d a   k o ‘rib  c h iq i l a d i g a n  
kanonik
  y oki 
Gamilton  metodi 
m e x a n ik a n m g   y a n a   bir  eng  u m u m i y   m etodi  b o 'lib   Lagranj  m e t o d i d a n  
b a ’zi  b ir j i h a tla r d a   h a tt o   ustunligi  h a m   bor.  S h u   m e to d n i  o 'r g a n is h g a  
o'taylik.
Lagranj  m e t o d i d a   u m u m la s h g a n   k o o rd in a ta la r  va  u m u m la s h g a n  
tezliklarning  funksiyasi  b o 'lm is h   Lagranj  funksiyasini  topish  kerak  edi 
va  shu  funk siy ad a n   foydalanib  vaqtga  nisbatan  ikkinchi  tartibli  diffe- 
rensial  te n g l a m a la r   b o ‘lgan  harak at  te n g la m a la rin i  to p ish   kerak  edi. 
(2.2)  paragrafda  (2.17)  fo rm u la orqali  u m u m la s h g a n   im puls tu s h u n c h a -  
sini  kiritgan  edik.
B u  bobdagi  m e t o d   u m u m la s h g a n   k o o rd in a ta la r  va  u m u m la s h g a n  
im pulslar  tilida  ifodalanadi.
V aqtga  o s h k o ra   b o g 'liq   b o ‘lm ag an   Lagranj  funksiy asin in g   toMiq 
differensialini  yozaylik:
(7.1)
U m u m la s h g a n   im p u lsn in g   t a ’rifi
d l
(7.2)
E yler—Lagranj  h a r a k a t  ten g lam alari
dL 
.
Л  
=  
P,
(7.3)
va
(7.4)
d a n   foydalanib  yuqorid ag i  fo rm u la n i
190

k o ‘r i n i s h g a   k e l t i r a y l i k .   B u   m u n o s a b a t n i n g   o ‘n g   t o m o n i g a   a h a m i y a t
berilsa,  c h a p   to m o n d a g i 
2 ^ P , ch ~ L
  kom binatsiya 
q
  va 
p
  a rg u m e n t-
la m in g   funksiyasi  ekanligini  k o ‘ramiz.  S h u   boisdan 
2
^ p q   - L
  u c h u n
l
yangi  belgilash  kiritaylik:
Kiritilgan  funksiya 
Gamilton  funksiyasi
  deyiladi.  Lagranj  funksiya- 
sidan  G a m ilto n   funksiyasiga o'tish  u c h u n  bajarilgan  almashtirish  Lejandr 
alm ashtirishi  deyiladi.
Olingan
fo rm u lad a n   darh o l  quyidagi  fo rm u la la r  kelib  chiqadi:
O l i n g a n   t e n g i a m a l a r n i n g   n o m i   — 
Gamilton  tenglamalari.
  U l a r  
k o ‘p in c h a  
kanonik  tenglamalar
  h a m   deyiladi.
G a m i l t o n   funksiyasining  t a ’rifi  (7.6)  ni  energiyaning  t a ’rifi  (2.5) 
bilan  taqqoslansa,  ularning  bir xil  ekanligini  k o 'r a m iz ,  faqat  G a m i l t o n  
funksiyasi energiyani  um um lasgan  impuls va koordinatalarning funksiyasi 
sifatida ifodalanadi.  Bu  ikkala  ifodalarning son  qiym atlari  (k o o rd in a tla r 
va  im pulslar  h a ra k a t  teng lam alarin in g   yechim lari  b o ‘lgan  ho id a)  bir 
hildir.
7 .1 .1 - m is o l .  Bir 
oMchamli  g a r m o n i k   o s s illa to r n in g   Lagranj  funksiy asi
(7.6)
(7.7)
L
 =  m q 1 
k q 2
2 
2
( 7. 9)
U m u m l a s h g a n   im puls:

Bu  yerdari  g   ni  p   n in g   funksiyasi  sifatida  t o p ib   oiam iz:
p
g  =  — . 
(7 .1 1 )
m
G a m i l t o n   funksiy asi:
■
 
P 
m  p “ 
k q ‘ 
k q ‘
H ( q , p )   =   p q  —1-  =   p -  
— 
H 
—   — 
-7
 
^  t - ' 
(7 .1 2 )
in 
2  n r  
2 
2
m  
2
I k k i n c h i   t e n g l i k   b e l g i s i d a n   s o ‘n g   ( 7 . 1 1 )   f o r m u l a   q o ' l l a n i l d i .   G a m i l t o n  
t e h g l a m a l a i i :
P   =   ~ k q .   q   =  
— . 
(7 .1 3 )
m
Bu  ik kita   b ir i n c h i  tartibli  t e n g i a m a d a n   b itta   i k k i n c h i   tartibli  ( o ‘z i m i z g a  
yaxsh i  m a ’lu m   b o 'i g a n )   te n g l a m a g a   o ' t i s h   m u m k i n :
, 
к
q +  (o~q  ~ 
0
.  co~  — 
. 
( 7 . 1 4 )
m
7 . 1 . 2 - m i s o l .   Sfe rik  k o o r d in a t a  s i s t e m a s id a   ixtiyoriy  p o te n s ia l  U d a  harakat 
q il a y o t g a n   jLsm ning  G a m i l t o n   f u n k s iy a sin i  t o p i n g .
Lagranj  funksiy asi:
L  =   — ( / • ’  +  r t i :  +  г 2а\п 2в ф 2 ' } - и ( 1 \ в , ( р ) .  
(7 .1 5 )
Q o i d a   b o  "yicha  u m u m l a s h g a n   im p u lsla r n i  kir itam iz:
d L 
d L 
-,a  
<)L 
-. 
.  .
P,  = t -  =  mr ,   р в  =  — г  =   m r   в .   p   =  ——  =   m r   s i n ~в(р. 
( 7 .1 6 )
d r  
d d  
dtp
G a m i l t o n   fu n ksiy asiga  o 't is h   u c h u n   bu  t e n g l a r n a la m i  u m u m l a s h g a n   tezlik lar 
( r . O . t p )  ga  nisbat.au  y e c h i b   to p i lg a n   ifodala rni  G a m i l t o n   funksiy asi  t a ’rifi
(7 .6 )   ga  q o ' y i s h   kerak.  S h u   islini  bajaraylik:
H ( r , 6 . 0   p , . Р в , />.,)  =   n r r  г  р „ в  +   p v (j>- 1.  =
=   •—  +  
-4------- г
1
 —  + l l ( r , 0 , ( p )  
( 7 .1 7 )
2m 
2>;ir~ 
h r , r '  s i r r #
t:.ndi  Lagranj  funksiyasi  vaqtga  oshkora  bog‘liq  bo'igan  holni  ko'raylik  -
I  -   L ( q , q .  
1 )  .  Bu  lioida
192

dL =
dL
d L
(
7 1
S)
va  G a m ilto n   funksiyasining  t a ’rifida  h a m   q o 's h i m c h a   h a d   pay d o   b o ‘ladi:
dL
dH
  = 
^ g , d p ,
  ~ 
' У  P,dq,
dt
-dt.
Ko‘rinib  turibdiki,
Э
H_
dt
dL
' d t '
Ikkinchi  tomondan,
dH  _  dH 
dt 
dt
V  ЭЯ  .  V 1
dq,  q ,+ Z L t
dH  .  _  dH 
di t p i ~~di
(7.19)
(7.20)
(7.21)
chunki  ikkinchi  va  uchinchi  hadlar  yig‘indisi  (7.8)  natijasida  nolga  tengdir. 
Demak,
dH
dt
dL 
' d t'
(7.22)
Biz  y a n a   b ir  b o r   e n e rg iy a n in g   sa q la n is h   q o n u n ig a   keldik  —  L agranj 
funksiyasi  vaqtga  o shkora  b o g i i q   b o ‘lm asa  yuqoridagi  tenglikning  o ‘ng 
t o m o n i  nolga  teng  b o i a d i ,   d e m a k ,  energiya  h a ra k a t  integrali  b o i a d i :
H
  = const. 
(7.23)
G a m ilto n   va  Lagranj  funksiyalarining  vaqt  b o ‘yicha  hosilalari  haqidagi 
natijani  u m u m a n   ixtiyoriy  p a ra m e tr  tiliga  o ‘tkazishim iz  m um kin.  Faraz
q ilaylik, 
L -  L(q,q.X)
  b o ‘lsin,  b u n d a   A  —  sis te m a n i  yoki  u n g a   t a ’sir 
qilayotgan  kuchni  xarakterlovchi  bir  p aram etr b o is in .  Lagranj  funksiyasining 
t o i i q   differensiali
dL  . 
M T d L   ,. 
dL 
%  
/&
ш
ш
^ ^4,
„ 
dL  J
 
V "  
dL  .. 
dL  ..
d L= L ^ d,h+ L , ^ dlli*T?.d l
(7.24)
ni  olib,  uning  ustida  Legandre  almashtirishi  bajarilsa
d
munosabatga  kelinadi.  Bu  degani  ixtiyoriy  param etr  uchun
dL
! 3 -  Nazariy  mexanika
193

^ э я
ЭЯ
J P -Ч
d i
ЧЭЯЛ/.(7.26)
bo'lishi  kerak.
Lagranj  va  G am ilto n   funksivalarini  bog'laydigan  yana  bitta  xossa  bor, 
bu  xossa  g'alayonlanish  nazariyasida  m uhim   rol 
o'ynaydi.  Agar  Lagranj 
funksiyasiga  kichik  q o 's h i m c h a  
L '
  q o 's h ils a,  G a m ilto n   funksiyasi  ham  
o'zgaradi,  (7.6)  t a ’rifidan  bevosita  ko‘rinib  turibdiki  bu  cvzgarish
H '
 = 
- L '
ko'rinishga  ega  bo'ladi.
Agar  ftzik  sistcmaning  G am ilto n   funksiyasi  berilgan  bo'lsa.  unga  mos 
keluvchi  Lagranj  funksiyasini  ham   topish  m u m k in .  Buning  u c h u n   (7.6) 
formulaga  teskari  to m o n d a n   qarashimiz  kerak:
1 =
i
7 .1 .3 - m is o l.  
Quyidagi  G a m ilto n   funksiyasi  berilgan:
(7.27)
(7.28)
U n g a  m os  keluvchi  Lagranj  funksiyasini  topish  u c h u n   te zliklar  va  im - 
pulslarni  kanonik  tenglam alar  orqali  bog'laymiz:
ЭЯ
x = —
=  / V + / V  
у 
dP>
ЭЯ
др.
!>-<■
 
(7.29)
Bundan  topilgan  Ял  = 
У< P*
  = 
x - y t
  formulalar  (7.27)  ga  olib  borib  qo'yiladi:
j
 
■
  , 
■
 
P ?
 
1 -2 ,
L
 = 
pxx + p
, 
у  
— -—  
p f p у  =  xy -  -
 
у 
t.
(7.30)
7 . 1 . 4 - m i s o l .  
Q uyidagi  Lagranj  funksiyasiga  m os  keluvchi  G a m i l t o n  
funksiyasini  toping:
T 
2  I,
L
 = 
-m e
  J 1 ---- -
\  
с
bunda 
m
  va 
с  —
  konstantalar  (jismning  massasi  va  yorug'lik  tezligi). 
U m u m lash g an   impulsni  topaylik:
(7 .3 i;
p =
dL
dv
! 
i
-
h
:
V 
<2
(7 .3 2 )
194

Tezlik  impulsning  funksiyasi  sifatida  aniqlanadi:
P
 
1
i +
1  -> 
m"c~
(7.33)
G a m ilto n   funksiyasi: 
P2
H
  = 
p v - L ( v )  = ■
" + m e '
P~
p~
  + 
m  c"
/ 
1  2 
= c'yj»rc  + p   .
(7.34)
m  с
Agar  jismning  tezligi  (impulsi)  nolga.  teng  bo'lsa,  G am ilton  funksiyasi 
o'zgarmas  songa  tenglashadi: 
H
  =  
me2.
7.1.5-misol. 
Quyidagi  Gamilton  funksiyasi  uchun  G am ilton  tenglama- 
larini  tuzing  va  ularni  yeching:
H  =
( p - r ‘ Y
G a m ilto n   tenglamalari:
K o ‘rinib  turibdiki,
yoki
Dem ak.
p
  =   2
r ( p -  r
); 
r
  =  
p - r
p
 = 
2
 
rr.
~ ( P ~r-)  =
 
0
. 
dt
р - r '
  =  q .
Natijada  harakat  tenglamalari  osongina  yechiladi:
2 .2
2
r = c{t + c2,  p -  C{t"
  + 
2
c,
c2t + с
i 
+ c2. 
с
  , 
c1
  —  boshlang'ich  shartlardan  aniqlanadigan  konstantalar.
7.1.6-misol. 
G am ilto n   funksivasi
2
 
2
 
2 
P 
0)nX
+ Я
( 
2
 
2
 
2
  \ 
P
  , 
M0X
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
(7.39)
k o ‘rinishga  ega  b o ‘lgan  sistemaning  harakatini  aniqlang.
195

Agar
2 
2  1
2 
2
deb  belgilab  olinsa,  G am ilton  funksiyasining  vaqtga  bog‘liq  emasligidan 
u n in g  
o 'z g a r m a s   songa  tengligi:  H 
=
 
£ 0
 + A£„ 
=
 const  va  n a tija d a , 
ekanligi  olinadi.  Kanonik  tenglamalar:
(7.40)
E
0
  = const
0
Э//
P
  = 
= -<Ч) (1 + 2Я£
0
)х, 
dx
x
 =
Э H
dp
(l + 
2
A£
0
)p.
Agar  ty = (1 + 2Я£п)(Оо  belgilash  kiritsak,  sistemaning  yechimi
(7.41)
(7.42)
a* = A cos cor, 
p = -cty A sin 
cot
ko‘rinishda  ekanligi  topiladi,  bunda  A 
—
  ixtiyoriy  konstanta.
7.1.7-misol.  Tajriba  shuni  ko'rsatadiki,  zaryadi 
e
  va  massasi 
m
  bo'lgan 
zarrachaning  tashqi  elektromagnit  maydondagi  Lagranj  funksiyasi
1 
7 
С
L = —mr  -e(p(r,t)
 + — i- ■
 A(r.f)
2 
c
(7.43)
ko‘rinishga  ega.  Bu  yerda  kiritilgan 


  va  A 
(r.t)
  funksiyalar  elektro­
magnit  maydonning  skalar  va  vektor  potensiallari  deyiladi.  Shu  Lagranj 
funksiyasiga  mos  keluvchi  Gamilton  funksiyasi  topilsin.
Umumlashgan  impulslar:
p = 
mv
 н— A. 
с
Gamilton  fuksiyasi:
H = p - r - L  = -
Gamiiton  tenglamalariga  o‘taylik: 
•  -  
dH
  -  
!
^ 
Эг 
m 
_ 
dH
 
1 
( 
Эр
In
e
i> ;  -
 -  Л 
с
e
■
 e(p.
VA,  -  eV 
(7.44)
(7.45)
(7.46)
Bu  birinchi  tartibli  tenglamalar  sistemasi,  tenglamalar  soni  oltita.  Ularni 
uchta  ikkinchi  tartibli  tenglamalar  sistemasiga  aylantirish  mumkin.  Buning
196

uchun  ikkinchi  tengiamadan  yana  bir  marta  vaqt  bo'yicha 
hosila  olinadi:
€  • 
С
mr = —
 eV(p
 —  A + —r VA  . 
(7.47)
с 
с
Ikkita  oxirgi  hadlarni  bir  oz  o'zgartiraylik.  Ikkinchi  had- 
dagi  vaqt  bo'yicha  to ‘liq  hosilani  murakkab  funksiyaning 
hosilasini  hisoblash  qoidasi  bo'yicha  ochamiz:
A  =  —  A fr  
,t) =
 —
+  ( r - V ) A   =  —  A +  r;  —  A. 
dt 
dt 
di 
1 dr,
(7.48)
Natijada  harakat  tenglama  indekslar  orqali  yozilganda 
quyidagi  ko'rinishni  oladi:
Э 
e 
e
  . 
mr
  = 
—e
 —  
ф
 
1
- — 
r;
dr
  V  г 
dt 
■■  J
ЭА; 
ЭД-
Odatda
dA
E = - V < p - ^ : , 
В 
= rotA 
cdt
7.1-rasm.
M agnit
m aydonda
zaryad.
(7.49)
(7 .5 0 )
formulalar  orqali  elektr  E  va 
В  
magnit  maydon  kuchlanganliklari  kiritiladi. 
Ularning  tilida  yuqoridagi  tenglama  (tezliklarga  o'tilganda: 
i- 
= 
v   )
m\
 = eE + —
[vBJ
с
(7.51)
ko'rishni  oladi.  0 ‘ng  tomongagi  ifoda  Lorentz  kuchi  deyiladi.
7 .1 .8 - m is o l. 
Massasi 
m
  va  zaryadi 
e
  bo'igan  zarracha  tashqi  bir  jinsli 
o'zgarmas 
В  
=   (0,0,5)  magnit  maydondagi  harakatini  Gamilton  tengla­
malari  orqali  o ‘rganing  (7.1-rasmga  qarang).
Tashqi  magnit  maydondagi  zarrachaning  Gamilton  funksiyasi
H  =
(7.52)
2m
ko‘rinishga  ega  bo'Iadi  (awalgi  misolga  qarang).  Bu  yerda  paydo  bo‘lgan 
vektor  A  magnit  maydon  bilan  quyidagicha  bog‘langan:  B=rotA.  Magnit 
maydoni  o'zgarmas  va  faqat  z-komponentaga  ega  bo'lishi  uchu  vektor 
potensial  A=(0,xB,0)  komponentalik  vektor  bo'lishi  kerak.  Shuni  hisobga 
olib  zaryadining  Gamilton  funksiyasini  ochib  yozib  olamiz:
197

Ikkita  siklik  koordinataga  egarniz: 
у
  va 
z-
  Ularga  ikkita  harakat  integrali 
mos  keladi:  p 
=
 const 
va 
P.
 
= const.  Quyidagi  belgilashlar  kiritilsa:
_ 
cB_ 
_
 
Ф у
Ш ~  me ’
 
A°  ~ 
eB
Gamilton  funksivasi
H = £ i . + ^ l (x. xti)2 + b _
 
(
7
.
54
) 
2m 
2 
2m
ko'rinishga keladi.  Bu  — muvozanat  nuqtasi x
0
 bo'lgan  bir o'lchamli garmonik 
ossillatorning  o'zi.  Uning  yechimlari  m a’lum:
x
  =   .v 
+  a cos( cot  +  

  ), 
p 
= —m a o J s i n ( ( Q t +  Ф  ).
 
Г7  5 5 )
0
 
O 
' 
0
 
\ 
/
у
  va 
z
  koordinatalar  bo'yicha  harakat  tenglamalarini  ham  yozaylik:
- c mc o s ( c o t  
+  tpQ),
  -  
( 7   5 6 )
. 
ЭЯ 
i  / 
e
v  =   —
  =   —  | 
p
  —
xB
op 
m
Bulardati
v  =  -« sin (w / + <р
0
) + у 0, 
z  = — t + z0
 
(
7
.
5 7
)
m
ekanligi  topiladi.
Demak,  zarracha  В  maydonga  parallel  yo'nalgan 
(x  =  x(l,  у
  =   0)-o ‘q 
bo'yicha  o'zgarmas 
p./m
  tezlik  bilan  harakat  qilmoqda,  shu  bilan  bir 
vaqtda  u 
(x,  y)
  tekisligida  shu  o ‘q  atrofida  burchak  tezlik  bilan  avlan- 
moqda.
7 .3 .  Raus  funksiyasi  va  siklik  koordinatalar
L agranj  fo r m a liz m i  h a q i d a   gap   k e ta y o tg a n id a   siklik  k o o rd in a ta  
tu s h u n c h a s i  kiritilgan  edi.  Siklik  deb  Lagranj  funksiyasida  ishtirok 
e tm a g a n   u m u m la s h g a n   k o o rd in a ta n i  aytilgan  edi.  U n g a   m o s   kelgan 
u m u m l a s h g a n   t e z l i k   L a g r a n j   f u n k s i y a s i d a   i s h t i r o k   e t a d i :
L = Ь(дь ...,ц,_ь   cii+x,...,qn,qx, . . . ,qn).
  B u  siklik  k o o r d i n a t a   G a m i l t o n  
fu n k siy asid a  h a m   ishtirok  e tm a y d i.  B u n i  k o 'r is h   qiyin  em as:  m o s

keluvchi  um um la sh g an   impuls
E yler—-Lagranj  ten g lam asi  b o ‘y ic h a   s a q la n u v c h a n   kattalik: 
p,  =
 0 .  
K a n o n ik   ten g lam alar  b o ‘yicha
dem ak , 
H
  h a m  
q'
  ga  b o g i i q   em as  ekan: 
H  = H{ql,...,qi_],qi+l,...,qn,
p u . .. , p n).
  Bu  nuqtayi  n az ard a n   Lagranj  va  G a m ilto n   funksiyalari  bir- 
biriga  o ‘xshash.  A m m o   G a m ilto n   funksiyasining  bir  ustunligi  b o r  — 
/?/=const  b o ig a n lig i  sababli  G a m ilto n   funksiyasiga  im pulsning  o ‘rniga 
m a n a   shu  ko n stan ta  kiradi.  Bu  ko n stan tan i 
a
  deb  belgilaylik,  uning 
son  qiymati  b o s h l a n g i c h   shartlardan  aniqlanadi.  G a m ilto n   funksiyasi
b u   h oida 
H(ql,...,qi_b qi+u...,qn, p i, . . . , p i- b a , p M ,...,p„)
  k o ‘rinishga 
ega  b o ‘ladi.  N a tijad a  G a m i l to n   funksiyasi  u m u m a n  
k a n o n ik   juftlik 
( qn  p
) g a   b o g ‘liq  b o ‘lm a y d i.  D e m a k ,   k a n o n i k   s i s te m a g a   k irg a n  
te n g lam alar  soni  h am  
2
  taga  kam  b o i a d i :
■
 к 
" 'I
 
■
 
dH 
.
.
.
 
.

■  / ’. 
7 7
  A 
1...... k 4 ‘ ........( 7 . 7 1 )
6pk 
dqk
U m u m la s h g a n   k o o rd in ata 
q‘
  ni  s h u n d a  
q  =oH/dpi
  tenglam ani  oddiy 
integrallash  y o i i   bilan  topish  m um kin:
Agar  /  ta   k o o rd in a ta   siklik  b o i s a ,   u n d a   k a n o n ik   te n g la m a la r  siste- 
m asining  tartibini 
21
 ga  tushurish  m u m k in .
Siklik koordinatalarning mavjudligida k o ‘p in c h a  G a m ilto n  funksiyasi 
o ‘rniga  R a u s   funksiyasi  kiritiladi.  U m u m la h s g a n   ko o rd in ata la rn i  ikki
qism ga  b o i a m i z :  
b u n d a   — 
{q‘,i
 
ta  siklik  b o i g a n
k o o r d i n a t a la r
q o lg a n   u m u m l a s h g a n   k o o r ­
dinatalar.  Bu  h o id a 
к
  ta  birin ch i  integralga  egamiz:
199

dL
 
. 
,
Pi  ~   ~^7i  =   c i  =   const,  l  =   \ , . . . , k .  
( 7 . 7 2 )
R a u s  funksiyasi  q u yidagicha  t a ’riflanadi:
к
R  =   5 j > i4 i - I ' -  
( 7 . 7 3 )
/ = 
1
U n i n g   to 'l i q   differensialini  topaylik:
i
=1 
i = l 
i=\ 
i =1 
г~1
Э1 
( 7 . 7 4 )
/»-£ 
A
- 
л-А'
M 
/=1 
/-1 
/-1 
/=1
D e m a k ,
Э R 
dR 
,
= 
—  = -р,-.г  = 
1
,...,£
Ф/ 
"9,
Э/?  __ 
Э7?  _ 
3Z. 
__^ + j 
(7-75)
э с Г ' э ^ ’ 
д С , ~ ~ д £ : ' 1=  +
B u  s is te m a g a   kirgan  b i r i n c h i   t e n g l a m a l a r   G a m i l t o n   t e n g l a m a l a r i  
k o ‘rinishiga  ega,  G a m ilto n   funksiyasi  rolini  R aus  funksiyasi  o ‘ynaydi.
Ik k in ch i  q atorda gi  te n g la m a la r  esa  £,■  o ‘zgaruvchilar  u c h u n
d   Э R 
d R
I t   э £ _ э £  
^7 ’7 6 )
te n g la m a la rn i  olishim izni  k o ‘rsatadi.  Bu  -   Lagranj  funksiyasi  rolini 
R au s funksiyasi  o ‘ynaydigan  Eyler-Lagranj tenglam alari. 
q.
 ko o rd in atlar 
siklik  b o ‘lgani  u c h u n   u la r  R au s  funksiyasiga  h a m   kirm aydi.  U larg a 
m o s   keluvchi  im pulslar 
p.
  o ‘z g a rm a s  sonlar: 
p.  =   с
.,  d e m a k ,   R a u s
f u n k s i y a s i  
R = R($l ,...,i;n_k£ l , . . . £ n_k,cb ...,Ck,t)
 
k o ‘r i n i s h g a   ega
b o 'I a d i .   A g a r 
£ ь ...,^п_кХ\т--,Сп-к
  o 'z g a r u v c h i l a r   u c h u n   L a g ra n j 
ten g lam alari  yechilgan  b o ‘lsa,  siklik  o 'z g aru v ch ilarn i
200

d R .
q , = — , i   = \ X . . . , k
 
(
7
.
7 7
)
tenglamalardan  to'g'ri  integrallash  y o ‘li  bilan  topish  m um kin,  chunki  bu 
tenglamaning o ‘ng tomoni faqat  o ‘zgarmas sonlar va vaqtning funksiyasidir. 
Energiyani  Raus  funksiyasi  orqali  ifodalab  olish  m um kin:
7 .4 .  Puasson  qavslari
Klassik dinam ikaning h a m m a  sohalarida quyidagicha t a ’riflanadigan
i f - ^
1
(7.79)
Э/ 
dg 
d f  dg
dp,-  dq, 
d q d p ,
1 = 1 
4
va 
Puasson qavslari
 deb  a tala d ig a n   kattalik j u d a   m u h i m   rol  o 'y n a y d i. 
Bu  yerdagi 
s  —
  k o ‘rilayotgan  siste m an in g   erkinlik  darajasi,  /  va 
g 
funksiyalar  esa  u m u m la s h g a n   k o o rd in a ta la r  va  i m p u lsla r d a n   tu zilg an  
va  shu  siste m an in g   b iro r  xossalariga  tegishli  b o 'l g a n   funksiyalardir. 
P uasson  qavslarini  G a m i l t o n   funksiyasiga  va  k a n o n ik   te n g la m a la rg a  
b o g ‘lab  kiritish  m u m k in .  B uning u c h u n   qaralayotgan biro r sistem aning 
u m u m la s h g a n   k o o rd in a tla ri  va  im p u lslarin in g   funksiyasi  b o ‘lm ish  bir 
f u n k s i y a / (
q
, 
p,  t)
  ning  vaqt  b o 'y i c h a   t o ‘liq  hosilasi  hisoblaymiz:
d f 
d f 
d f  . 
d f  .
dt 
dt 
\ dpj 
dqi
i~
 1  ^
G a m ilto n   tenglam alari  hisobga  olinsa
dt 
dt 
dpt  dqi 
dqt
  3
pt 
dt
(7.80)
(7.81)
ifodaga  kelamiz.  Agar / funksiya  vaqtga  osh k o ra  bog'liq  b o 'lm a s a
| -  = { я , / } .  
(7.82)
B u n d a n   k o 'rin ib   t u r i b d i k i , / h a r a k a t   integrali  b o 'lishi  u c h u n
201

{ я , / }  = О
(7.83)
b o i i s h i   kerak.  P u a sso n   qavslarining  fu n d a m e n t a l  a h a m iy a ti  birinchi 
n a v b a td a  sh u   dalilga  kelib  taqaladi.
P u asso n   qavslarining  asosiy  xossalarini  sanab  chiqaylik:
6
.  {/>{#>
h} }+{ g- {h,f} }+{ h,
{ / , g}}~ 
0
 -   Yakobi  ayniyati.
B irinchi,  ikkinchi  va  u c h in c h i  m u n o s a b a tla r  o so n g in a   tekshiriladi. 
T o ‘rtinchi  m u n o s a b a t   L eibnitz  qoid asin in g   natijasidir:
va 
q.
  u c h u n   h a m   h u d d i  shu n d ay .
B e s h i n c h i   m u n o s a b a t   h a m   L e i b n i t z   q o i d a s i n i n g   va  a n a l i z d a n  
m a ’lu m   b o 'lg a n   xususiy  hosilalarn in g   tartibini  o ‘zgartirish  m u m k i n -  
ligining  natijasidir:
va 
p.
  u c h u n   h a m   h u d d i  shu n d ay .
b l t i n c h i   m u n o s a b a t 
Yakobi  ayniyati
  deyiladi,  u n i n g   isboti  oz  m o z  
hisobni  talab  qiladi.
Quyidagi  m u n o s a b a tla r n i  h a m   keltiraylik:
!•  { / : Я } = - { ^ / }   ;
2
.  {с, / } = 
0
, b u n d a  
с
—  o ‘zga rm as  son;
3- 
[ f
  + / 2 ^ } = { / i - g } + { / 2 . g }   ;
4. 
{ f\ f2, g} = { f \ , s ] f 2 + f \ { f i , g }
  ;
Э 
d f  
d  dj
dt  dq' 
dq  dt
(7.85)
(7.86)
b u n d a  
qi  —
  u m u m la s h g a n   k o o rd in ata ;
(7 .8 7 )
202

b u n d a  
p -
  u m u m l a s h g a n   i m p u ls.  J u d a   m u h i m   rol 
o 'y n a y d ig a n  
m u n osabatlarga  quyidagi 
fundamental  Puasson  qavslari
  kiradi:
{