Nazariy fizika kursi


Download 132.13 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/23
Sana03.02.2018
Hajmi132.13 Kb.
#25911
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
25911

NAZARIY FIZIKA 
KURSI
Professor A.A.  Abdumalikov  umumiy  tahriri ostida
I JILD

0 ‘Z B E K IS T 0N   RESPUBLIK ASI  OLIY  VA 
( ) ‘RTA  M A XSU S  TA’LIM   VAZIRLIGI
В .A.  FAYZULLAYEV
NAZAR1Y  MEXANIKA
0  
'zbekiston  Respublikasi  Oliy  va  о ‘rta  maxsus  ta  lim  vazirligi 
tomonidan  5 1 4 0 2 0 0   —  «Fizika»  t a l i m   yo'n alishi  talablari  uchun  darslik 
sifatida  tavsiya  etilgan
Cho ‘Ipon  n om idasi nashrivot-m atbaa  ijodiy uyi 
Toshkent  - 2 0 1 1

UDK:  531(075) 
BBK  22.21ya73 
F20
Taqrizchilar:
A.  B oydedayev  — fizik a - m a te m a tik a  fa n la ri  nomzodi,  professor, 
K.A .  Tursunmetov  — f izik a - m a te m a tik a  fanlari  doktori,  professor.
Fayzullayev  B.A.
F20 
Nazariy mexanika:  universitetlar va pedagogik universitetlar uchun 
darslik  /   B.A.  Fayzullayev.  —  Т.:  C h o ‘lpon  nomidagi  nashriyot- 
m atbaa  ijodiy  uyi,  2011.  --  312  b.
IS B N   978-9943-05-419-6
U sh b u   darslik  universitetlar  uch u n   yozilgan  4-jildlik  «N azariy  fizika 
knrsi»ning  birinchi  jildi  bo'lib,  kiassik  nazariy  mexanikaga  bag'ishlangan. 
U n d a   nazariy  fizika  u ch u n   m u h i m   bo'lgan  l.angraj  h a m d a   G a m i l t o n  
form alizm la rinin g  asosiari,  tebranishlar  nazariyasi,  qattiq  jism   harakati 
va  irosikllar  mexanikasining  elem entlari  keltirilgan
Mazkur  darslik  universitetlarning  fizika  fakultetlari  talabalari  uchun 
m o'ljallan gan   bo'lib,  u n d a n   m a t e m a ti k a   va  m u h a n d i s   talabala r  ham  
fovdal an i sh 1 a ri  ni u m k i n .
U D K :  5 3 1 ( 0 7 5 )  
B B K  
2 2 . 2 1 y a 7 3
ISBN   9 7 8 - 9 9 4 3 - 0 5 -4 1 9 -6
©   B .A .  F a y z u lla e v ,  2 0 1 1
©   C h o ‘Ipon  n o m id a g i  n a s h r iy o t- m a tb a a   ijo d iy   u y i,  2 0 1 1

S O ‘Z B O S H I
Klassik  m e x an ik a  fani  u ch   yuz  yildan  ortiq  tarixga  ega.  M ex a n ik a  
fanini  rivojlantirishga  Galiley,  N y u t o n ,   Eyler,  Y akobi,  G a m il t o n   va 
b o s h q a   buyuk  o lim lar  k atta  hissa  q o 'sh ish g an .  A lbatta,  m exanika  fa- 
nining  rivojlanishi  hali  h a m   davom   e tm o q d a ,  a m m o   u n in g   prinsipial 
asoslari  X IX   asrning  ikkinchi  yarm iga  kelib  a n iq lan g a n   desak  b o ‘ladi. 
Klassik  m ex an ik a ju d a   keng  va  c h u q u r  fan.  H a r  xil  soha  mutaxassislari 
u n d a   o'ziga qiziqarli va  m u h im  b o 'lg a n  y o 'na lishlarni topishi  m um k in . 
Fiziklar  sifatida  biz  m a n a   shu  fa nning  fizika  u c h u n   m u h im   b o 'lg a n  
qismlarini ta n la b  oldik.  Birinchi  navbatda  bu  nazariy fizikaning h a m m a  
sohalarida  keng  q o 'llan iiad ig an   t u s h u n c h a l a r   —  Lagranj  formalizm i, 
G a m i l t o n   form alizm i,  t a ’sir  integrali,  eng  qisqa  t a ’sir prinsipi,  h arak at 
integrallari,  tashqi  m a y d o n la rd a   h arak at  va  sochilish  va  h.k.  TJniver- 
sitetlar u c h u n   nazariy fizika  kursi  s h u n d a y  qurilganki,  yu q o rid a aytilgan 
fu n d a m e n ta l  tu s h u n c h a l a r   birinchi  b o'lib  nazariy  m exanika  kursida 
kiritiladi.
Kichik  tebranishlarga  h am   katta  a h a m iy a t  berilgan  —  tebranish 
jara yonlari  fizikaning  deyarli  h a m m a   so h alarid a  u chraydi  va  kichik 
tebra n ish la rn in g   q o n u niyatlari  h a m m a   s o h alard a  h am   bir  xildir.  Real 
fizik  sistem alar  ayniqsa  elektrotexnik  q u rilm a la rn in g   xossalarini  o 'rg a - 
nishda  k o 'p i n c h a   nochiziqli  teb ra n ish la r  nazariyasini  qo'llashga t o 'g 'r i  
keladi.  N o c h iz iq li  te b ra n ish la r  sohasi  b i r m u n c h a   m u ra k k a b   bo'lganligi 
u c h u n   kito b im izd a  un in g   faqat  asoslari  yoritilgan.
Q a ttiq   jism   harak ati  m asalasi  klassik  m a t e m a t ik   fizikaning  eng 
m u k a m m a l   ishlab  c h iq ilg an   q is m la rid a n   biri  sifatida  e ’tib o rim iz n i 
o'z ig a   tortadi.  Klassik  m e x an ik a n in g   bu  sohasi  bilan  real  h ayot  orasida 
k o 'p i n c h a   bevosita  b o g 'lan ish larn i  to pish  m u m k in .
D arslik fiziklar u c h u n   universitet  dasturiga m o s  ravishda suyuqliklar 
m exanikasiga  bag'ish lan g a n   bob  h a m   bor.
Bu  b o b d a   berilgan  m a i u m o t l a r   talabalarga  suyuqliklar  va  gazlar 
m exanikasiga  d o ir  asosiy  q o n u n la rn i  o 'z la shtirishga  im k oniya t  beradi 
degan  u m id d a m iz .
5

Klassik  m ex an ik a  fizik  siste m alarn in g   fazodagi  m e x a n ik   h arakatini 
o 'r g a n a d i ,  bu  q o n u n la rn i  v e ktorla r  tilida  ifoda  qilish  ju d a   qulaydir. 
V e k to rla r  algebrasining  asosiy  qoidalari  Ilovada  berilgan,  u la r  kitobni 
t u s h u n ish   u c h u n   yetarlidir  deb  o'y lay m iz.  K ito b   d a v o m id a   m a n a   shu 
ilovada  tu sh u n tirilg a n   soqov  in dekslar  b o 'y i c h a   yig'indi  qoidasi  keng 
foydalanilgan.  Agar  o 'q j v c h i   v e k to rla r  bilan  ishlashda  q iy inchiliklar 
sezsa  m a n a   shu  [lovaga  m u ro jaa t  qilishi  kerak  b o 'lad i.
0 ‘2:bek  tilida  N a z a riy   fizika  kursi  birinchi  b o r  y a ra tilm o q d a .  Ajab 
em as,  s in ch k o v   o 'q u v c h ila r  darslikda  b a ’zi-b ir  nosozliklarni  u c h r a tib  
qolsa.  B u n d a y   o ‘q u v ch ilarn in g   t a n q id iy   m u lo h a z a la ri  kito b im izd a g i 
k a m chilikiarni  kam aytirishga  xizm at  qilgan  b o 'l a r   edi.  Tegishli  fikr  va 
m u lo h a z a la rn i  quyidagi  m anzil  b o 'y i c h a   yu b o rish in g izn i  s o ‘raymiz: 
T o s h k e n t,  M.  LHug'bek  nom li  0 ‘zbekiston  Milliy  universiteti,  fizika 
fakulteti,  Y a d ro   va  nazariy  fizika  kafedrasi.
U s h b u  darslik  0 ‘zbekiston  Respublikasi  Vazirlar  M a h k a m a si  qoshi- 
dagi  F a n v a  texnologiyalarni  rivojlantirishni  muvofiqlashtirish  q o 'm ita s i 
to m o n id a n   t a ’m inlangan  « О И Д -3 - 9 »   sonli  innovatsion  loyiha  doirasida 
yaratilgan.
Y a n a   bir  m u a m m o g a   to 'x t a b   o'taylik.  D u n v o   ilmiy  ad a b iy o tlarid a 
olim larn in g   n o m i  uiarning  o ‘z  o n a  tilida  q a n d a y  yozilsa  b o sh q a tillarda 
h a m   o 'z g a rtirilm a s d a n   sh u n d ay iig ich a  qoladi.  A m m o   biz  tarixan  kirill 
alifbosiga  m oslashtirilgan  rus  tilidagi  talaffuzga  o 'r g a n i b   q o lganm iz. 
Ikkinchi  t o m o n d a n ,   o 'q u v c h i  ilmiy  ad a b iy o tn i  o 'r g a n a   b o sh la g a n d a  
bizning darslikdagi  ruscha talaffuzga  m oslashtirilgan  n o m la rn in g   haqiqiy 
sh ak lig a  d u c h   kelib  o 'y i a n i b   q o lm a s lig i  u c h u n   q u y id a g i  j a d v a ld a  
n o m la rn in g   qiyosiy  shakllarini  keltiramiz:
6

Ona tilida
Ushbu  kitobda
Rus adabiyotida
Newton
Nyuton
Ньютон
Hamilton
Gamilton
Гамильтон
Lagrange
Lagranj
Лагранж
Euler
Eyler
Эйлер
D'Alambert
Dalamber
Даламбер
Coulumb
Kulon
Кулон
Navier
Naviye
Навье
Stokes
Stoks
Стокс
Jacobi
Yakobi
Якоби
Maupertuis
Mopertyui
Мопертюи
Poincare
Puankare
Пуанкаре
Poisson
Puasson
Пуассон
Cartan
Kartan
Картан
Noeter
Nyoter
Нетер
Liouville
Liuvi!
Лиувилль
Routh
Raus
Раус
Coriolis
Koriolis
Кориолис
Rutherford
Rezerford
Резерфорд
Huygence
Guygens
Гюйгенс
Legendre
Lejandr
Лежандр

1 -b o b . 
H A R A K A T   T E N G L A M A L A R I
1.1 .  Erkinlik  darajasi.  Um um lashgan  koordinatalar
J ism la rn in g   fazodagi  m e x a n ik   h a ra k a tin i  o ‘rganish  u c h u n   sa n o q  
sistemasiga ega b o i i s h im i z  kerak.  S a n o q  sistemasi  tushunchasiga m a ’lum  
bir  y o 'l  bilan  t a n la b   olin g an   k o o rd in a ta la r  sistemasi  va  s o a t  kiradi. 
U l a r  y o r d a m i d a  jis m n in g   ixtiyoriy  vaqt  m o m e n tid a g i  h olatini  a n iq lash  
m um kin.
Jism   h o la tin in g  vaq t  b o ‘y ic h a   o ‘zgarishini  uzliksiz  belgilab  borsak, 
shu  jis m n in g   fazodagi  trayektoriyasini  olgan  b o ‘lamiz.
B u  ishni  bajarish  u c h u n   b ir  m u h i m   t u s h u n c h a  
m o d d i y   n u q t a  
tu s h u n c h a s id a n   foydalaniladi.  Jism n in g   o i c h a m i   k o'rilayotgan  m asala - 
dagi  b o s h q a   o ‘lc h a m la r g a   n i s b a ta n   j u d a   k ich ik   b o ‘lsa  u n i  m a ssa g a  
ega  b o 'l g a n   b ir  n u q t a   sifatida  k o 'r is h   m u m k in .  B u  a l b a tta   m a ’lu m  
b ir  y a q i n l a s h u v ,   i d e a l l a s h t ir i s h ,   a m m o   u ,  o d a t d a .   y a x s h i  y a q i n -  
lashuvdir.  M a sa la n ,  otilgan  o 'q y o k i   sn ary a d n in g   trayektoriyasi j i s m la r ­
n in g   t o 'q n a s h u v i d a   im p u ls   va  e n e rg iy a n in g   saqlanish  q o n u n l a r i n i   va 
h a t t o   Y e rn in g   Q u y o s h   a trofida gi  h a r a k a tin i  o 'r g a n g a n d a   bu j is m la r n i 
m o d d iy   n u q t a   sifatida  k o 'r is h   m u m k in .  H a t t o   q a ttiq  j i s m n i n g   h a r a ­
k a tin i  o 'r g a n g a n i m i z d a   h a m   un i  m o d d i y   n u q t a l a r d a n   i b o r a t  d e b  
q a r a s a k   q u lay   b o 'la d i.
F iz ik a  fani  tajribaga  asoslangan  fandir.  B u n d a n   keyin  g ap iriladigan 
k o 'p g i n a   ta s d iq la r o lim larn in g   k o 'p   asrlik  tajribasiga  asoslangan  b o 'lib , 
u la r  o 'z i d a n   so d d aro q   b o 'lg a n   b o sh q a   tu s h u n c h a la rg a   keltirilm aydi. 
D a rslik d a bir n e c h a   m a rta  u c h r a b   t u ra d ig a n   «tajriba shurti  ko 'rsa tad ik i»  
d eg a n   ibora  o lim la rn in g   k o ‘p  asrlik  tajribasi  asosida  keltirib  c h iq a ril- 
gan   tasdiqlarga  tegishlidir.
Fizik  siste m an in g   fazodagi  holatini  a niqlash  u c h u n   h a r  xil  k o o rd i- 
natala rd an   foydalanish  m u m k in .  K o 'p   m asalalarda  D ekart  k o o rd in a ta la r 
sistem asi  qo'llan ilad i.  B u  h o id a   m o d d iy   n u q ta n in g   ra d ius-vektori  r  ni 
va  tezligini  v  = d r/d t = r   deb  belgilanadi.  K o ‘p   h ollarda  v e k to rla rn in g
k o m p o n e n t a la r i   г = {л\у,г}  va    =   { v r, v y, v j   d an   h a m   foydalaniladi. 
A gar  m o d d i y   n u q ta la r  soni  bir  n e c h ta   b o 'l s a   u larn in g   n o m e ri,  o d a td a ,
8

a  harfi  bilan  belgilaymiz.  Bu  h olda  a  m o d d iy   n u q ta n in g   radiusi  va 
tezligi  r a,  v g  h a rfla r  bilan   belgilanadi.  R a d iu s  va  te z lik n in g   argu- 
m entlarini  o d a td a   k o ‘rsatib  o ‘tirm aganim izga  q a r a m a s d a n   shuni  esda 
saqlash  kerakki,  u m u m iy   h o ld a  u lar vaqtga  b o g ‘liq  b o ‘lgan  kattaliklar: 
r   =   r(t)  =   {x(t),  y (t),  z(r)}  va  v   —  v (t)  =   \b x{ t),  u ( t ) ,  г>,(0}-  Quyidagi 
n iu n o s a b a tla r
x = x ( t ),  y = y ( ( ) ,   z = z ( t )  
(1.1)
m o d d iy   n u q ta n in g   x ,y   va    koord in ata la rin in g   vaqt  b o ‘y ic h a   o 'z g a- 
rishini  ifodalaydi,  y a ’ni,  u la r shu  n u q ta n in g   trayektoriyas'm i  ifodalaydi. 
Bir  n e c h a   m o d d i y   n u q t a li   s is te m a   h a q i d a   g a p   k e t g a n d a   h a r   bir 
n u q ta n in g   k o o rdinatlarini  h am   shu  m a ’n o d a   tushuniladi.
M as a la d a   sferik  sim m e triy a   b o ‘lsa,  sferik  k o o r d i n a t  sistem asini 
q o ‘llash  qulayroqdir.  B oshqa  holatlard a  k o ‘rilyotgan  m asala  u c h u n  
boshqa  k o o rd in a tla r  qulay  b o ‘lishi  m u m k in .  F a n n in g   m u h im   to m o n i 
s h u n d a n   iboratki,  harakat  q o n u n la rin i  u m u m i y   k o ‘rinishda  konkret 
k o o rd in at  sistemasiga  b o g ‘lam aga n  h olda  um um lashgan  ko ord in a ta la r 
tilida  ifodalash  m u m k in .  M a n a   shu  u m u m la s h g a n   k o o rd in a ta la rn i  q t, 
£/„  ...,  qs  deb belgilaylik.  U la r h a m  u m u m iy  h o ld a v a qtning funksiyalari 
b o ‘ladi:  q ^ t),  q2{t), 
cjs{t),  a m m o   buni  h a r  gal  yozish  shart  emas. 
U m u m l a s h g a n   k o o rd in a tla rg a   o ‘tishga  tnisol  sifatida  sferik  k o o rd i- 
natlarga  o ‘tishni  k o ‘raylik:
, v ~    sin в  coscp,  v  =   r s m O s i n q ) ,   z  —  r c o s 0 .  
( 1 - 2 )
Bu  m u n o s a b a t l a r   o rqali  yangi  k o o r d in a tla r   {r ,0   ,cp]  kiritiladi.  Agar 
sistem ada  A 4 a  m o d d iy   n u q ta   b o ‘lsa  va  u larn in g   d e k a it  koord in atlarin i 
xa,  y a,  z a,  a  =   1,  .  .  .  ,   deb  belgilansa,  u m u m la s h g a n   koordinatlarga 
o 'tish n i
f I (qI , - , q s ),
У , =   f 2 { 4 n - ^ s ) ,
(1.3)
form u lala r  orqali  k o ‘zda  tu tu sh   m u m k in .  S iste m a n in g   h olatini  t o ‘liq 
aniqlash  u c h u n   yetarli  b o ‘lgan  k o o rd in a tla r  soni  siste m aning  erk in lik  
d a ra ja si  deyiladi.  Y u q o rid a   erkinlik  darajasi  s  harfi  bilan  belgilangan,
9

s h u n c h a   u m u m la s h g a n   k o o r d in a ta   kiritildi.  E rk in lik   darajasi  soni  3 N  
d a n   karn  b o i i s h i   m u m k in .  B itta  m o d d iy   n u q ta n in g   fazodagi  holatini 
a n iq lash   u c h u n   u n in g   u c h t a   k o o rd in a ta sin i  a n iq la s h im iz   yetarlidir. 
D e m a k ,  bitta  m o d d iy   n u q ta n in g   erkinlik  darajasi  u c h g a   teng.  Ikkita 
m o d d iy   n u q ta n in g   erkinlik  darajasi  esa  oltiga  tengdir.  A m m o   u ia rn in g  
orasidagi  m asofa  o 'z g a r m a s  b o 'lsin  desak,  siste m an in g  erkinlik darajasi 
beshga  teng  b o 'la d i  —  sh u   sistem adagi  ixtiyoriy  bir  n u q ta n in g   holatin i 
a niqlash  u c h u n   3  ta  so n   kerak,  ikkinchi  n u q ta n in g   h o latini  a niqlash 
u c h u n   ikkita  s o n   yetarlidir.
Tekisiik  ustid a  h a ra k a t  qilayotgan  jis m n in g   erkinlik  darajasi  2  ga 
t e n g d ir  tekisiik  ustidagi  ixtiyoriy  nuq tan i  unin g   ikkita  k o o rd in a ta si 
orqali  aniqlashi  m u m k in .
Oxirgi  ikki  m isolda  h a q iq a td a   yana  b itta  t u s h u n c h a   kiritildi.  y a ’ni 
b o g 'l a m l a r   soni  tu s h u n c h a s i.  O 'z a r o   masofasi 
o 'z g a rm a y d ig a n   ikki 
nu qtali  s i s te m a d a   b itta   b o g 'la n is h   b o r  —-  sh u   ikki  n u q t a   orasidagi 
m asofaning  o'zgarm asligi  sharti.  Buni  m a te m a tik   ko'rinishga  keltirayiik, 
u n in g   u c h u n   b irin c h i  n u q t a   k o o rd in ata la rin i  x ]T y^, 
va  ikkinchi  n u q ta 
k o o rd in a ta la ri  esa  xv   y v   z2  deb  b elgilanadi.  U n d a   s h u   ikki  n u q t a  
orasidagi  m aso fa n in g   o 'z g arm aslik   sharti
(.v2  -  A, )  +  (>4  -   y\ У  +  (z 2  -   M )“  = / '  
(1 .4)
k o 'rin ish n i  oladi,  b u n d a   /  berilgan  o 'z g a rm a s   m asofa.  Bu  y erda  h a r 
bir  k o o rd in a ta  v aq tn in g   funksiyasidir  (sistem a  h arak at  qilishi  m u m k in ) , 
a m m o   m asofa  o'z g a rm a sd ir.
H a r  bir sh art  siste m a  erkinlik  darajasini  bitta g a  kam ay tira d i.  M a s a ­
lan,  ixtiyoriy tekisiik  ustida  bir-biriga  uzunligi  o 'z g a rm a y d ig a n   ingichka 
ip  bilan  b o g 'l a n g a n   ikk ita  m o d d iy   n u q t a   berilgan  b o 'ls in .  Bu  siste ­
m a n in g   e rk in lik   d arajasin i  topaylik.  H a r   bir  n u q t a   sirt  u s tid a   y o tibdi
—  bu  ikkita  shart.  U la r  orasidagi  m aso fa  o 'z g a r m a y d i   —  y a n a   b itta  
shart.
D e m a k ,  siste m ad ag i  erk in lik   d a ra ja la r  soni  6  —  3  =   3  ga  te n g  
ekan.  H a q ia ta n   h a m ,  siste m aning  holatini  a niqlash  u c h u n   n u q ta la r n in g  
b ittasining  sirt  ustidagi  ikkita  k o o rd in a ta sin i  b e ris h im iz  va  u larni  b o g '-  
lab  t u r g a n   o 'q n i n g   x   y o k i  у   o 'q i g a   n i s b a t a n   b u r c h a g i n i   a n i q la s h  
y etarlidir.
1 . 1 - m i s o l .   O ' z a r o   m asofala ri  o 'z g a r m a y d ig a n   u c h t a   m o d d i y   n u q ta   siste- 
m a s i n i n g   erkin lik   darajasini  to p in g .
U c h t a   m o d d i y   nuqta li  si s te m a n i  ifodala sh  u c h u n   3 - 3   =   9  ta  k o o r d in a t a  
kerak.  A m m o   u i a r n i n g   bir  q is m i  m u s ta q il  e m a s .   U c h t a   n u q t a   o r a s i d a g i
10

m a s o fa la rn in g   o 'zgarm asligi  3  ta  shartni  beradi,  d e m a k ,  s i s te m a n in g   erkinlik 
darajasi  9  —  3  =   6  ga  teng,
1.2-misol.
  C h iz iq   b o 'y l a b   harakat  q il a y o t g a n   q u y id a g i  s i s t e m a la r n in g  
erkin lik   darajalarini  toping:
1)  o 'z a r o   masofa si 
o 'z g a r m a y d ig a n   ikkita  m o d d i y   nuqta;
2)  o'zaro  masofalari  o'z garm aydig an  N   ta  m o d d i y   nuqtadan  iborat  sistema.
Javobi. 
Ikkala  h o id a   h a m   erkinlik  darajalari  so n i  birga  t e n g ,  ch u n k i  bu
s i s t e m a la r n in g   h o la t in i  aniq la sh   u c h u n   ulardagi  ixtiyoriy  bitta  n u q t a n i n g  
h o la t in i  aniq la sh   yetarlidir.
1 . 3 - m i s o l .   T ekislik da  harakat  q ilayotgan   sistem a la rn in g   erkinlik  darajasini 
toping:
1)  3  ta  o 'z a r o   b o g ‘langan  m o d d i y   nuqtalar;
2)  3  ta  k e tm a -k e t  b o g 'la n g a n   m o d d i y   nuqtalar;
3)  ikkita  o ‘zaro  b o g 'la n g a n   m o d d i y   nuqtalar,  ula rning  biri  faqat  berilgan 
c h iz i q   ustida  harakatlanadi.
Javobi. 
1)  H ar  bir  nuq tan in g 
  k oordinatasiga  shart  bor: 
=   0, 
z-,  =   0, 
г3  =   0,  bu  —  u c h t a   shart. 
O ' z a r o   b o g ' l a n g a n l i k   shartlari  h a m   u c h t a ,  
d e m a k ,  s i s te m a n in g   9  —  3—  3 = 3 t a   erkinlik  darajasi  bor.
3)  C h i z i q   u s t id a   h a r a k a t l a n a d ig a n   n u q t a n i n g   e r k in l ik   darajasi  birga 
t e n g ,   ik k i n c h i   n u q t a n i n g   h a r a k a tin i  a n i q l a s h   u c h u n   u n i  b ir i n c h i  n u q ta  
bila n   b o g 'l a y d ig a n   c h i z i q n i n g   tekislikdagi  x~~  (y o k i  у   —)  o ' q i g a   nis b a ta n  
b u r c h a g in i  to p i s h   m u m k i n .   D e m a k ,   s i s t e m a n i n g   erk in lik   darajasi  ikkiga 
t e n g .
1 .4 - m is o I .  F a z o d a   harakatlanayotgan  siste m a la r n in g   erk inlik  darajalarini 
toping:
1)  2  ta  bir-biri  bilan  b o g 'la n g a n   m o d d i y   nuqtalar;
2)  3  ta  k e t m a - k e t   b og'lan gan   m o d d i y   nuqtalar;
3)  2  ta  o 'z a r o   b o g 'la n g a n   —  biri  te kislikda,  ik kinchisi  esa  fazod a  hara­
ka tla n a y o tg a n   m o d d i y   nuqtalar.
Javobi. 
I.  5:  fazodagi  n u q ta n i n g   erkin lik   darajasi  3  ga  ten g ,  ik k in c h i 
n u q ta n in g   holatin i  to p i s h   u c h u n   n uqtalarni  b o g 'l a y d ig a n   c h iz i q n in g   tekislikka 
perp en d ik u lar  г  —  o 'q i  bilan  hosil  qilgan  burchagi  va  sh u  c h iz i q n in g   (x,  y ) 
tek islik ka  proyek siyasin in g  г  —  o'q i  bilan  h o s i l  qilgan  burch akla ri ni  aniq lansa 
b o'ldi:
2.  5;
3.  4.
T a j r ib a   s h u n i   k o ' r s a t a d i k i ,   j i s m n i n g   h a r a k a t   t r a y e k t o r i y a s i   u n i n g  
b o s h l a n g ' i c h   h o la t i  r ( t 0)  va  b o s h l a n g ' i c h   t e z l i g i     (t0)  bila n   a n iq l a n a d i. 
Bu  d e g a n i ,  harakat  te n g l a m a s i  v a q tg a   n is b a ta n   ik k in c h i  tartibli  dif ferensial 
t e n g l a m a   b o ' l i s h i   kerak.  K o o r d i n a t a d a n   v a q t   b o ' y i c h a   ik k i n c h i   tart ib li 
h o s i l a   t e z l a n i s h   d e y i l a d i ,   d e m a k ,   h a r a k a t   t e n g l a m a s i   u m u m i y   h o i d a  
te z l a n i s h ,  tezlik   va tr ayektoriy a  o r a sid a g i  m u n o s a b a t   k o 'r i n is b ig a   e g a  b o ' l i s h i  
kerak  e k a n .
11

1.2.  Lagranj  funksiyasi  va  ta ’sir  integrali
Tajriba s h u n i  k o 'rsa ta d ik i,  fizik siste m an in g   h a m m a  xossalari  u n in g  
L a g ra n j fu n k siy a si  L(q,q,t)  va  t a ’sir   in tegrali
'b
S [ q ) = \ d t  L( q , q , t )  
(1.5)
’a
d a   m u jassam lan g an d ir.
Lagranj  funksiyasini  q a n d a y  topish  masalasi  alohida  k o ‘rib  chiqiladi, 
bu  y erd a  esa  t a ’sir  integrali  bilan  s h u g ‘ullaniladi.
B izning  m a q s a d im iz   5[^]  ga  q o ‘yilgan  talab  orqali  h arak at  ten g la- 
m a la rin i  keltirib  ch iq arish .  Keltirib  c h iq a r is h n i  soddalik  u c h u n   bir 
o 'l c h a m l i   h o ld a n   boshlaylik.  M o d d iy   n u q t a   ta vaqt  m o m e n t id a   q(t i) = q a 
n u q t a d a n   h a ra k a tn i  b oshlab,  th  vaqt  m o m e n t i d a   q ( t b)  =   qb  n u q ta g a  
k elgan  b o 'ls in .  T u s h u n a r lik i ,  jis m   qa  n u q t a d a n   qb  n u q ta g a   q a n d a y  
tray e k to riy a  b o 'y i c h a   borishi,  y a ’ni,  q(t)  tray e k to riy an in g   k o 'rin ish i 
(1.5)  integ ra ln in g   so n   qiym atiga  t a ’sir  qiladi.    [q]  m a n a   shu  h a ra k a t 
tra y e k to riy a sin in g   fu n k sio n alid ir.  Bu  d e g a n i,  tray e k to riy a 
o 'z g a rs a  
t a ’sirning  son  q iym ati  h a m  
o 'z g a ra d i.  B uni  t u s h u n ish   u c h u n   en g  
od d iy   bir  o ’lcham li
I [ f ]  =   ] f { x ) d x  
( 1 . 6 )
(7
integral  olaylik.  In te g ra l  ostidagi f  (x)  funksiya  o 'z g a rtirils a   integral 
/   n i n g   s o n   q i y m a t i   h a m   o 'z g a r a d i ,   s h u n i n g   u c h u n   u  I   If) 
d e b  
b elgilandi.  In teg ral  q iy m a tin in g   integral  ostidagi  funksiyaga  b o g 'l i q -  
ligini  f u n k s i o n a l   b o g 'l a n i s h   d e y ila d i,  q i s q a c h a   a y t g a n d a ,  b u n d a y  
integrallar funksional  deyiladi.  T a ’sir  integrali  (1.5)  albatta trayektoriya 
q(t)  n in g   fu n k s io n alid ir.
Eng  qisqa  t a ’sir p rin sip i  b o 'y ic h a   haqiqiy  trayektoriyaga  t a ’sirning 
eng  kichik  q iym ati  t o 'g 'r i  keladi.  B uni  b o s h q a c h a   h a m   aytish  m u m k in
—  t a ’sir  integralining  m in im a l  qiym atiga  olib  keladigan  funksiya  q(t) 
h a q iq iy   h a r a k a t   tr a y e k to riy a s ig a   m o s   k e la d i.  M a n a   sh u   p r i n s i p n i  
m a te m a tik   k o 'rin ish g a   keltirayiik.
B u n in g   u c h u n   t a ’sir  integralini  quyidagi  ikkita  trayektoriya  u c h u n  
solishtiriladi:  q(t)  +   bq{t)  va  q(t).  Bu  yerdagi  5q(t)  funksiya  tr a y e k to ­
riyan in g  va ria tsiya si  deyiladi.  U  b irin c h id a n   t  —  ta  va  t  —  th  vaqt 
m o m e n t la r i d a   n olga  teng  bo'lsin:
12

Sq(ta)  =   5q(1b)  =   0, 
(1.7)
va,  ikkinchidan,  cheksiz kichik qiym atlarnigina  qabul  qilsin.  Bu degani, 
birin ch id an ,  q(t)  +   8q(t)  va  q(t)  trayektoriyalar b ir  n u q ta d a   b o sh lan ad i 
v a   bir  n u q t a d a   tugaydi  va  ik k in c h id a n ,  ixtiyoriy  t a  <  t  <  t b  vaqt 
m o m e n t id a   son jih a td a n   bir  biridan  cheksiz  kam   farq  qiladi.  S h u   ikki 
trayektoriya  u c h u n   t a ’sirning  farqi  topiladi:

Download 132.13 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling