Nazariy fizika kursi
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
] = J dt [i(q + Sq,q + S q, t ) - L (с/, = \ d t \ — 8 q + — 8 q J [ d q dq ( 1 . 8 ) Bu yerda yuqori tartibli cheksiz kichiklari tashlab yuborildi. T opilg an kattalik t a ’sirning variatsiyasi deyiladi. Trayektoriya m in im a l t a ’sirga t o ‘g'ri kelishi u c h u n ixtiyoriy Sq u c h u n SS = 0 b o ‘lishi kerak. Integral ostidagi ifodaning birinchisiga Sq kirgan, trayektoriyaning variatsiyasi ni vaqt bo 'y ich a hosiladan chiqarib olish u c h u n shu had b o ‘lak!ab integral- la n a d i (bu a m a ln i b a ja rg a n d a v a ria tsio n hiso b d a isbot q ilin a d ig a n 5 ~-q = ^-Sq m u n o s a b a t d a n foydalandik): dt dt [ d t — S q = f dt — S — = \ d t J d q J d q d t J dq ! N a tija d a dL d dq dl 'h d q = J dt dL r- --T7dq dq -Sq d_ d L d t dq (1.9) S S — —~~Sq dq 4> + J d t S q dL d dL dq d t dq = 0 ( 1 . 10 ) m u n o sab atg a kelam iz. B irinchi h a d (1.7) shart natijasida nolga tengdir, ikkinchi h a d ixtiyoriy S q u c h u n nolga teng b o ‘lishi u c h u n dL d dL _ d q d t d q (1.11) 13 te n g l a m a bajarilishi kerak. O lin g a n te n g la m a E y le r—L a g ra n j t e n g l a m asi deyiladi. Bu te h g la m a g a j i s m n i n g k o o rd in a ta si q, tezligi q va tezlanishi q kirgan. D e m a k , E y ler—Lagranj tenglam asi h arak at te n g la m asi ekan. S iste m a n in g erkinlik darajalari soni s ta b o 'ig a n holga o 'tilsa olingan t e n g l a m a l a r sistemasi dL d dL „ а Г # а Г * ' ..... ' k o 'rin is h g a keladi. Y a ’ni, h a r b ir erkinlik darajasiga b itta E y ler—Lagranj te n g la m a si t o 'g 'r i keladi. B u te n g la m a la r sistemasi 5 ta ikkinchi tartibli differensial te n g la m a la r sistem asini tashkil qiladi. U la rn i yechish u c h u n 2s ta b o s h l a n g 'ic h sh artlar berilgan bo'lishi kerak. Bu b o s h la n g 'ic h s h a r tl a r s is te m a n in g b o s h l a n g 'i c h holati q,{0) = ql0 va b o s h l a n g 'i c h tezliklari я Щ - q d j r ? a) D e k a r t siste m asid a {r/,} = {/;} E y le r—L agranj t e n g l a m a l a r i n in g ko'rinishi: d 6L dL л а Г * - 1.2.1-misol. Quyidagi Lagranj funksiyasi uchun harakat tenglamasini toping (к - o'zgarmas son): . 2 = (1.14) Kerakii hosilalarni topaylik: Э L , dL H arakat te nglam asi: q + k = 0. (1.16) 1.2.2-misol. Quyidagi Lagranj funksiyasi uchun harakat tenglamalarini toping (k — o'zgarmas son): 111 / . 7 . 1 \ , , *2 L ="~X(q{ + q i ) - k (q2 - q \ ) ■ (1.17) 14 S i s t e m a n i n g ik k ita e r k i n l i k darajasi b o r . H a r a k a t t e n g l a m a l a r i n i n g s o n i h a m i k k i t a b o ' l a d i . H o s i l a l a r n i t o p i b , h a r a k a t t e n g l a m a l a r i g a o ' t i l a d i : d L d L . —— = 2k ( q2 - < 7 ,); — = mqx => mq} - 2k(q2 -«?,) = 0 ; dq | dqx = - 2 k ( q 2 - q x ) ; ~ = m q 2 => m q 2 + 2 k ( q 2 ~ q x ) ~ 0 . C/^2 (1.18) 1.2.3-misol. E y ler— Lagranj te n g la m a la rin in g nu q ta v iy d e y ila d ig a n q u y i dagi alm ashtirishlarga nisbatan «,■ = <*,■ ( a , g 2, ' = u , d e t o 'z g a r m a s li g in i ko'r sating. Y angi va eski Lagranj funksiyalarini b o g ‘laylik: d q , Щ ( 1 - 1 9 ) ( 1-20) Eski k o o r d in a t a n in g vaqt b o 'y i c h a h o s i la s i n i t o p i s h d a n bosh laylik : ( 1.21) d Л d q : ■ d q { B u yerdan d q L = d q L Щ Щ ’ e k a n li g in i t o p a m i z . Lagranj h o sila larin i h is obla ylik : d L ' _ Y ^ L ^q i Y — — ' — - X — -Lt- Щ н + ^ dQ, ’ 3(2, " 3 Q i' ( 1 . 22 ) (1 .2 3 ) d q : Oxirgi ten g lik k a o ‘tish u c h u n (1 .2 2 ) d a n va — ~ = 0 e k a n lig id a n fo y d a - 3 Q i lanildi. Y a n g i o 'zg a ru v ch ila r tilida E yle r— Lagranj te n g la m a la r in i y o z ib olish qold i: (1 26) ^ = £ * L = ± J 3 - q 1 + ? 1 L . ,1.25) э Qi Эй-Э/ c/tdQ, t ^ Q ^ Q k Э0.Э; D e m a k , cl dL ' Э L' d q j (l Э/, dL c lt d Q i dQ, f a d Q i d t д g Э д ; V ' J / B u t e n g i ik n i n g o ' n g t o m o n i n o lg a te n g bo 'lsa , c h a p t o m o n i h a m n o lg a t e n g bo'Iadi. 1 .3 . Inersial sanoq sistem alari j i s m n i n g h a ra k a tin i o ‘rganish u c h u n biror bir san o q sistem asini ta n la b olishi kerak. Ixtiyoriy b o ‘lgan san o q sistem asida u m u m i y h o ld a fazo va v a qtning xossalari m u ra k k a b b o 'lishi m u m k in , b u esa h arak at q o n u n la rig a jism h a r a k a tin in g o 'z ig a hos b o'lm agari m u rakka blikni kiritishi aniqdir. M asa la n, v a q tn in g bir jinslimasligi (y a ’ni, v a qtning ikkita m o m e n tla r i t, va t2 ek v iv ale n t em asligi) s h u n g a olib kelishi m u m k in k i, b o sh la n g 'ic h p a y td a tin ch turgan jism vaqt o ‘tishi bilan h arakat qila boshlashi m u m k in . S h u b o is d a n jism larn in g m e x a n ik h a r a katini fa z o b ir j i n s l i va izo tro p , va q t b ir jin s li b o 'i g a n s i s te m a d a o'rganiladi. B u n d a y sistem a in e rsia l sistem a deyiladi. Inersial siste m ada jism ga hec h q a n d a y tashqi k u c h t a ’sir qilm ayotgan b o'lsa, un in g h arak at holati o 'z g a rm a y d i. H a r a k a t h o lati d e g a n d a v tezlik bilan h a ra k a t k o ‘zd a tu tila d i, sh u j u m l a d a n , v = 0 b o 'lis h i h a m m u m k i n . S h u tasd ig 'im iz n i isbot qilaylik. Bunirig u c h u n birinchi n a v b a td a erkin jism n in g inersial sistem adagi Lagranj funksiyasini topish kerak. B u Lagranj funksiyasi na v aqt t ga va na radius r ga b o g 'liq b o 'lis h i m u m k i n — vaqt va fa z o n in g bir jinsliligi natijasida. D e m a k , tezlik u q o la y a p ti. A m m o fa zoning izotrop- ligi (y a’ni, fazodagi y o 'n a lis h la rn in g ekvivalentligi) shunga olib keladiki, Lagranj funksiyasi faqatgina t u n i n g funksiyasi bo'lishi m u m k in : L = I ( i / ) . (1.27) H a r a k a t te n g la m a la rin i yozaylik: d dL dL ^ = э 7 ' I k k i n c h i h a d n o l g a t e n g , c h u n k i i 6 B u t e n g l a m a n i n g o ‘n g t o m o n i n o l g a t e n g : ( 1 . 2 9 ) T ezlikning t a ’rifi bo'yicha: v = r , d e m a k quyidagiga kelinadi: M u ra k k a b funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasi b o 'y ic h a ekanligini ko'rsatadi. Olingan natija N yutonning birinchi qonuni yoki, in ersiya qonuni deyiladi. D e m a k , inersial s an o q sistem asida tashqi kuch t a ’sirida b o 'lm a g a n jism o 'z g a rm a s tezlik bilan h arakat qilar ekan. Berilgan inersial sistemaga nisbatan o 'z g a rm a s tezlik bilan h arak at qilayotgan boshqa sistem a berilgan b o i s i n . Jism bu sistemaga nisbatan h a m o 'z g a rm a s tezlik bilan h arakat qilayotgan b o i a d i , d e m a k , bu yangi sistem a h am inersial sistem a ekan. Inersial sistem alarning soni cheksiz k o 'p bo'lishi m u m k in , ularning h am m asi bir-biriga nisbatan q a n d a y d ir o 'z g a rm a s tezlik bilan h a ra k a t qilayotgan b o i a d i . Tajriba shuni ko'rsatadiki, m e x an ik a q o n u n lari h a m m a inersial sis- t e m a la r d a bir xil k o 'rinishga ega. B uni quyidagicha tu s h u n ish m u m k in : q o 'z g 'o l m a s d a n turgan laboratoriya sistemasiga nisbatan o 'z g a rm a s tezlik bilan h arakat qilayotgan kem ani olaylik (k e m a inersial sistem a bo'lishi u c h u n yetarli darajada k atta bo'lishi kerak, dengiz yoki daryo tin c h bo'lishi kerak, s h u n d a k e m a yetarli darajada inersial sistemaga yaqin b o i a d i ) . S h u kem adagi h a m m a oynalari yop iq bir x o n a d a hec h q a n d a y m ex an ik tajriba orqali k em a h arak at qilay ap tim i-y o q m i degan sa v o lg a j a v o b b e r a o l m a y m i z — h a m m a t a j r i b a l a r l a b o r a t o r i y a sistem asida q a n d a y o 'tsa, s h u n d ay o'tad i. Inersial sistem alarning m e x a nika q o n u n l a r i nuqtayi n a z a r i d a n ten g huquqliligi haqidagi tasd iq G aliley p rin sip i deyiladi. Inersial sistem alar teng h u quqli deg a n im iz ularda m e x an ik a q o n u n lari bir xil k o 'rinishga ega b o i a d i deganim izdir. M ex a n ik a q on u n lari differensial ten g lam alar orqali ifodalanadi, dem ak , = const (1.30) d L ( v 2 ) 3 L ( u 2 ) 3 t r , Э Ц и 2 ) ----------- ----- ----- -— = 2 ----- — v, 3v 3v 3v 3 ir (1.31) Bu esa v = const (1.32) 2 — Nazariy mexanika 17 bu tenglam alarning ko'rinishi h a m m a inersial sistem alarda bir xil bo'lishi kerak. Bir siste m ad an ikkinchi sistem aga o ‘tish m a ’lum bir alm ash - tirishlarni talab qiladi. U la r n i topaylik. Bizga ikkita sistem a berilgan b o ‘lsin, ulardagi k o o rd in a tla r n i r va f deb belgilaylik, sh trix lan g an sistem a birin ch i siste m aga nisbatan У tezlik bilan h a ra k a t qilayotgan bo'lsin. Bu ikki sistem adagi k o o rd in a tla r r' = r + V t (1.33) k o 'r i n i s h d a b o g 'l a n g a n b o 'l a d i . V aqt klassik t n e x a n i k a d a a b s o lu t xarakterga ega: t'= t. (1.34) B u — p o s t u l a t , 1 klassik m e x a n i k a n in g m a t e m a t i k a p p a ra ti shu p o s tu latg a asoslangan. Y u q o r i d a g i f o r m u l a l a r ? (1 .3 3 ) va (1 .3 4 ) G a lile y a lm a s h tir is h la r i d e y ila d i. I n e rs ia l s a n o q s i s t e m a l a r n i n g t e n g h u q u q l i g i m e x a n i k a q o n u n l a r i n i n g m a n a sh u a lm a s h tiris h la rg a n is b a t a n k o v a ria n t b o 'lishi kerakligini bild irad i. K o v a ria n t d egani k o 'r in is h i o 'z g a r m a y d i degani y a ’ni, t e n g l a m a ( r ,t ) o 'z g a r u v c h i l a r d a q a n d a y k o 'r i n i s h g a ega b o 'ls a , ( r V ) o 'z g a r u v c h i l a r d a h a m h u d d i s h u n d a y k o 'r i n i s h g a ega b o 'lis h i kerak. D e m a k , G a li l e y p r i n s i p i h a r a k a t q o n u n l a r i g a k u c h l i talab q o 'y a r e k a n . 1.4. G aliley invariantligi va erkin jism ning Lagranj funksiyasi Bir inersial s i s te m a d a n u n g a n isb atan V o 'z g a r m a s tezlik bilan h a ra k a t qilayotgan ikkinchi sistem aga o 't g a n d a jis m n in g koo rd in atlari va tezliklari quyidagi G a liley alm ashtirishlari orqali b o g 'langa nligini bilamiz: r ' ~ r + Vt, v' = v + V. (1.35) B itta jis m n in g m a n a sh u ikkila sistem alardagi L agranj funksivalari orasidagi t'arq L ( r v > L ( r , v ) + ^ / ( n V ) (1.36) 1 «Vaqt o ‘z-o‘zicha, h sch narsag:1 bog' liq bo‘lma£3n hcJda oquvchi absolut лП5tansiya » ( N y v t o n ). 18 k o ‘rinishgagina ega b o i i s h ig in a m u m k in . Aks h o ld a ikkala Lagranj funksiyalari har xil h arakat tenglam alariga olib kelgan b o ‘lar, bu esa inersial sistem alarning teng huquqliligini buzadi (paragrafga qarang). B u yerdagi ixtiyoriy n o m a ’lum f u n k s i y a / (r,V ), albatta, V ga b o g ‘liq bo'lishi kerak. H a tto k i, kichik К u c h u n / ( r , V ) = V / ( r ) ( 1 . 3 7 ) b o ‘lishi kerak, chu n k i V == 0 b o 'lg a n d a ikkala Lagranj funksiyasi bir- biridan farq qilmasligi kerak. O ddiy y oyilm a (tezlik У ni kichik deb faraz qilaylik) L ( r + Vr,v + V ) = L ( r , v ) + rV • — + V ■ ~ ( 1 . 3 8 ) Эг ov d a n kelib chiqadiki, ,v' ! + v f ' v' i ,(r)- V ning ixtiyoriyligi va o 'z garm asligini h a m d a h a ra k a t teng lam asin i hisobga olinsa: v = 0 ( 1 . 4 0 ) dt kelib chiqadi. E n d i fa zoning bir jinsliligi hisobga olinsa: dL d dL эг л э , = ° - C - 4 1 > D e m a k , ( I -4 2 > f funksiya faqat r ning funksiyasi b o ‘lgani u c h u n u n d a n r b o 'y ic h a hosila h a m faqat r ning funksiyasi bo'lishi m u m k in . A m m o , (1.42) te n g lik n in g c h a p t o m o n i r ga u m u m a n b o g 'liq b o 'l m a g a n i u c h u n u n in g o 'n g to m o n i h a m r ga b o g 'liq b o 'lm a y d i: T J = ~m>r (1-43) o r 1 biz bu y erda qulaylik u c h u n indeksli belgilashlarga o 'td ik , ixtiyoriy tenglik u c h u n indekslar balansi bajarilishi bo'lishi, uning ch a p va o 'n g to m o n la rid ag i o zo d indekslar soni te n g bo'lishi kerak. P aydo b o 'ig a n 19 аи so n lar o 'z in in g kelib chiqishi b o 'y ic h a q andaydir o 'z g a rm a s sonlardir. N a t i j a d a f)L ^ , = ■ (1.44) t en g lik n i o lam iz. A m m o , L = L (v)2 ekanligi h a m m a ’lu m , b u degani, h a q i q a t d a d L j — j = —mv ( ] .4 5 ) d v b o 'lish i k erak degani, y a 'n i m. = m deb olishim iz kerak. Bu s odda ifoda o d d iy integrallanadi: L = ,JY ■ (>-4 6) (L agranj funksiyasidan k o n s ta n ta n i h a m m a vaqt tashlab y u borish m u m k in ) . M u lo h a z a la rim iz d a v o m id a pay d o b o 'lg a n o 'z g a r m a s so n m jis m n in g m a ssa si deyiladi. Y o 'l - y o 'l a k a y k ic h ik tezlikli G a lile y alm a sh tirish la ri u c h u n / = — m r ■ V ekanligini h a m topdik. Lagranj funksiyasida paydo b o 'l g a n va jis m n in g m assasi deyilgan k a ttalik h a m m a vaqt m u sb at so n b o 'lish i kerak, aks h o !d a erkin jism u c h u n en g qisqa t a ’sir prinsipi bajarilm as edi S = ’^ \ y 2dt (1.47) m 2 ifoda m < 0 b o 'lg a n d a h a m m a vaqt m a n fiy b o 'lib tezliklar k atta b o ‘lgan sari q u y i d a n c h e g a r a la n m a g a n , va, d e m a k , m i n i m u m g a ega b o ‘la o lm a y d ig a n b o 'lib q o lar edi. Lagranj funksiyasiga vaqt va k o o rd in a ta n in g b iro r-b ir funksiyasining v aqt b o 'y i c h a t o 'l i q h o silasin i q o 's h i b , y angi L agranj funksiyasiga o'taylik: L ' = L + j f ( q , t ) . (1.48) B u h o i d a t a ’sir integrali f a q a tg in a q a n d a y d ir a n iq s o n g a o ‘za - garadi: 20 l b S ' = J dtL ' = S + f ( q hJ h) ~ f ( q a , ta ). ( 1 .49) h, SS = Ova 8 $ = 0 sh artlar bir-biridan farq q ilm agani u c h u n harakat t e n g l a m a l a r i h a m o 'z g a r m a y d i . S h u s a b a b d a n L ' va L L a g ra n j funksiyalarini ekvivalen t L agran j fu n k siy a la ri deyiladi. / funksiya sifatida biror k o n sta n ta n in g vaqtga k o ‘p aytm asini olsak: / = ct ikki ekvivalent Lagranj funksiyalari m a n a shu k o n sta n ta с ga faqr qiladi. 1 . 4 . 1 - m i s o l . L' = .rsin/ va L = - . x c o s t Lagranj fu nksiyalari ekvivalentdir: L' = i s i n / = - x c o s t + — (x s in t). ( | .50) dt Ikkala Lagranj funksiy asi u c h u n harakat te n g ia m a ia r in i solishtiraylik: L = - x c o s t Lagranj funksiyasi uchun: — = - c o s f , ^ = 0 = > c o s ? = 0 ( L 5 1 ) dx o i L' = . i s m t Lagranj funksiy asi uchun: ^ ^ = 0, = s i n / => cos? = 0 (1 .5 2 ) dx dx Harakat tenglam ala ri bir xil bo'ldi. Lagranj funksiyasining y a n a b ir u m u m iy xossasi b o r un i ixtiyoriy o 'z g a rm a s songa ko'p aytirishim iz m u m k in , harakat tenglam lalari b u n d a o'zgarm aydi. Bu Eyler—Lagranj tenglam alaridan yaqqol ko'rinib turibdi. 1.5. M oddiy nuqtalar sistem asining Lagranj funksiyasi Erkin zarrachalar sistemasidan boshlaylik. Bir n ec h a erkin m oddiy n u q ta la r sistemasidagi h a r b ir n u q ta n in g h arakat tenglam asi boshqa nuqtalam ing holatiga bog'liq bo'lishi m um k in emas. Bu degani, erkin m oddiy nuqtalar sistemasining Lagranj funksiyasi additivlik xossasiga ega: 2 ^ = (1.53) a ~ T ajriba shuni k o 'rsatadiki, m o d d iy n u q ta la r orasidagi o 'z a r o t a ’sir shu m o d d iy n u q ta la rn in g k o ordinatlariga bo g 'liq b o 'l g a n va p o ten sia l en ergiya deb atalgan U (rv r2, . . . , r ) funksiya orqali ifodalanadi. Bu 21 h o ld a siste m an in g Lagranj funksiyasi ( 1 . 5 4 ) a a k o 'r in is h d a olinishi kerak. Y ig 'in d ig a kirgan (1.55) L -i 2 ifoda siste m aning k in e tik energiyasi deyiladi. H a r a k a t t e n g l a m a l a r i n i o lis h u c h u n L a g r a n j h o s i l a la r i h i s o b - D e m a k , sistem aga kirgan a- z a rra c h a n in g h arakat tenglam alari k o 'rin ish g a ega bo'Iadi. O 'n g to m o n d a g i v ek to r a- za rra c h a g a t a ’sir qilayotgan kuch deyiladi: Dekart sistem asida h a ra k a t te n g la m a la ri N y u t o n ten g la m a la ri k o ‘- rinishini oldi: H a ra k a t tenglam asiga p o ten sial energiyaning faqat hosilasi kirdi, d e m a k , potensial energiya o 'z ig a ixtiyoriy k o n sta n ta n i q o 's h ib q o 'y i s h - g ac h a aniqlikda aniqlangan. Bu a w a l g i paragrafdagi ekvivalent Lagranj funksiyalarining m u h o k a m a s ig a m os keladi. Lagranj funksiyasi d e k a rt k o o r d i n a t l a r siste m asida keltirib c h i - qarildi. S is te m a n in g Lagranj funksiyasini u m u m la s h g a n k o o r d i n a t l a r tiliga o 'tk az ib olish qiyin em as. D e k a rt va u m u m la s h g a n k o o rd in a tla r n i b o g 'la y d ig a n eng u m u m i y ifoda ( n u q t a l a r n i n g n o m e ri a y u q o r i d a yozaylik): la n a d i : ?)L _ d u dL Download 132.13 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|