Nazariy mexanika (2). pdf


Download 67.14 Kb.
bet2/2
Sana18.06.2023
Hajmi67.14 Kb.
#1590390
1   2
Bog'liq
Nazariy mexanika lotin


(5)

Bu yerdagi F funksiya almashtirishning hosilaviy funksiyasi deyiladi. (5) ni quyidagicha yozamiz

(6)

Bundan biz F funksiyani F = F (q, Q, t ) deb topamiz:

(7)

F funksiyaning berilgan qiymatida (7) formulalar yeski (p, q) va yangi (P, Q)
o’zgaruvchilar o’rtasida, shuningdek Gamilton funksiyalari o’rtasida bog’lanishni ifodalaydi.
Ayrim hollarda hosilaviy funksiyani o’zgaruvchilarda ifodalash qulay
bo’lishi mumkin. Buning uchun (6) Pi dQi hadni boshqacha qilib yozamiz:
Pi dQi = d PiQi QidPi
va (6) ni qayta yozamiz:



Yangi
d (F + Pi Qi ) = pi dqi + Qi dPi + (H '−H )dt
Ф(q, p,t) = F + Pi Qi

hosilaviy funksiya kiritib,
Pi
= ∂Φ ,
qi
Q = ∂Φ ,

i
pi
H ' = H + ∂Φ
t

kabi kanonik almashtirishlarni olamiz. Shu yo’l bilan har xil hosilaviy funksiyalar kiritish yordamida yangidan yangi kanonik almashtirishlar olish mumkin.
Kanonik almashtirishlarga misol tariqasida garmonik ossillyatorni qaraymiz.
Ossillyator uchun (m = 1)

x˙2 ω2 x2
L = ,
2
q = x,
p = L
x˙
= x˙,
p 2 +ω2q 2
H =
2

Yangi impuls va koordinata kiritaylik:
P iA* = i p + iωq ;
Q = A = p iωq


(8)



P, Q dan tashkil topgan Puasson qavsini hisoblaylik:

(P,Q) = i( A*, A) = P Q P Q =

= (i


p q
i 1
q p
) =

2ω 2ω


= i( iω iω ) = i − 2= 1

2ω 2ω
Demak,
2ω
(A* , A) = −i,


(P, Q) = (P, A) = 1

bajariladi va (8) almashtirishlar kanonik almashtirishlar bo’ladi. yangi o’zgaruvchilarda

PA = i
p + iωq
p iωq = i
p 2 +ω2 q2


2ω


ω

H
= i p 2 +ω2 q 2 = i
ω 2


Bundan


=
ω


H PA = −iωPA = −(iA*
, A) = ωA* A

i


Harakat tenglamalari


A* , A

lar uchun quyidagicha yoziladi:



dA* *
A*H
A*
H

= ( A
dt
, H ) =

PQ
Q
P =



= 1ωA = −ωA

i
 
 
Bu tenglamalar yechimi


dA A H A H ωA



dt = ( A, H ) =  P Q Q
P = i
= iωA



hisoblanadi.
A = aeiωt ,
A* = a*eiωt
(9)

Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmagani uchun bo’ladi va energiya saqlanuvchan bo’ladi.
H = 0
t

p2 + ω2 q2
H =

2


= −ωA*
A = ωa*a

(9) yechimda
a, a*
larni
A, A*
lar orqali ifodalash ham mumkin:

U holda




a* , a
a = eiωt A , a*
lar uchun Puasson qavsi
= eiωt A*

(a*, a) = eiωt eiωt ( A*, A) = −i

Ya’ni
(a*, a)
ning qiymati
( A, A* )
ning qiymati kabi bo’ladi. Lekin
a* , a

larning vaqt bo’yicha o’zgarishi Haqiqatan
A, A*
larning o’zgarishidan farq qiladi.

da = a ≠ (aH ) = −iωa + a H
a H =

dt t
P Q
Q P

= −iωa + (0 − eiωt ωA) = −iωa + iωa = 0
i


Nazorat savollari



  1. Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasini yozing (umumlashgan koordinata, Lagranj tenglamasi, Gamilton tenglamasi, almashtirish, yangi o’zgaruvchilar).

  2. O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish ifodasini ko’rsating. (hosilaviy funksiya, kanonik almashtirish, garmonik almashtirish, garmonik ossillyator)

  3. Yangi kanonik almashtirish formulasini yozing. (yangi kanonik almashtirish Gamilton funksiyasi, Puasson qavsi)

Download 67.14 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling