Не удается отобразить рисунок. Не удается отобразить рисунок


tenzori komponentalarini almashtirish


Download 158.82 Kb.
Pdf ko'rish
bet3/3
Sana08.01.2022
Hajmi158.82 Kb.
#237238
1   2   3
Bog'liq
MIKROIQTISODIYOTDAN MUSTAQIL ISH

tenzori komponentalarini almashtirish. Faraz 

qilaylik yevklid fazosida 1 2 3 oх х х ortogonal Dekart 1 

х koordinatalari sistemasi va uning i э ρ -ortonormal 

bazisi hamda o‘qlari 1 2 3 oх х х sistemaning o‘qlariga 

nisbatan biror burchakka burilgan 1 2 3 oх′х′ х′ 

ortogonal koordinatalar sistemasi va uning i э ρ 

ortonormal bazasi berilgan bo‘lsin (2.8-rasm). Yangi i 

oх′ o‘qi bilan eski j oх o‘qlari orasidagi burchak 

kosinusini αij bilan belgilaymiz. Ma’lumki, ushbu kosinus 

i э ρ va j э ρ bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasiga 

teng bo‘ladi, ya’ni α ij = i э ρ ⋅ j э ρ chunki ( ) ( ) i j i j i j 

i j ij э′ ⋅ э = э′ ⋅ э cos x′, x = cos x′, x = α ρ ρ ρ ρ эi ′ = э′ 

j = 1 ρ ρ x3 z a) σ 33 b) σ zz σ 31 σ 32 σ 23 σ zx σ zy 

σ

 yz σ13 σ 22 σ xz σ yy oσ12 σ 21 x2 oσ xy σ yx y σ11 



σ

 xx x1 x 2.6-rasm. 23 Qaralayotgan αij kosinus i э ρ 




birlik vektorining j э ρ birlik vektori yo‘nalishi-dagi 

proyeksiyasiga va ikkinchi tomondan α ji = α ij bo‘lgani 

sababli j э ρ birlik vektorining i э ρ birlik vektori 

yo‘nalishidagi proyeksiyasiga teng bo‘lgani uchun i э ρ 

birlik vektorining eski j э ρ bazis bo‘yicha yoyilmasi i i i i 

ij j э э э э э ρ ρ ρ ρ ρ = α 1 1 +α 2 2 +α 3 3 = α (2.9) 

ko‘rinishga ega boladi. Aksincha j э ρ vektorining yangi i 

э ρ bazisdagi yoyilmasi j j j j ji i э = э′ + э′ + э′ = э′ ρ ρ ρ 

ρ

 ρ α 1 1 α 2 2 α 3 3 α (2.10) Yuqoridagi (2.9) 



formuladagi αij koeffitsientlar bir ortonormal bazisdan 

ikkinchisiga o‘tish matritsasini tashkil etadi. Ushbu 

matritsa ortogonal bo‘lishini ko‘rish qiyin emas, buning 

uchun [ ] [ ] T αij = α ij −1 tenglikni tekshirib ko‘rish 

yetarli. Bu yerda [ ] −1 α ij - teskari [ ] T α ij - 

transpokirlangan matritsa. Ortogonal matritsa 

elementlari quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: ik jk ij α 

α

 =δ va i j i j ki kj ij ij ≠ = = = 0, 1, α α δ , δ (2.11) va 



orthogonal matrisa determinant α ij = ±1 bu yerda 

musbat ishora i э ρ va j э ρ bazis vektorlari bir xil chap 

yoki o‘ng sistemalar bo‘lsa qo‘yiladi, agar ular har xil 

sistemalar bo‘lsa, ya’ni ulardan biri chap, ikkinchisi o‘ng 

sistemalar bo‘lsa manfiy ishora qo‘yiladi. Endi ixtiyoriy а 

ρ

 vektori komponentalarini almashtirish formulasini 



chiqarish qiyin emas: i i j j а а э a э ρ ρ ρ = ′ ′ = lekin 

(2.10) ga asosan i i j ji i j ij i a′э′ = a ⋅ ⋅ э′ = a э′ ρ ρ α α 

bundan i j ij a′ = a α (2.12) Ushbu formula eski 

koordinat sistemasidan yangisiga o‘tishda vektor 

komponentalarini almashtirish formulasidir. Xuddi 

shunday yangi koordinat sistemasidan eskisiga o‘tishda 




vektor komponentalarini almashtirish formulasini ham 

topish qiyin emas. Haqiqatan (2.9) ga asosan , j j i j i ij 

j а э a э a э ρ ρ ρ = ′ ′ = ⋅α ⋅ ya’ni j ij i a = α a′ (2.13) 

Endi qaralayotgan koordinat sistemalarida kuchlanish 

tenzorining komponentalarini almashtirish formulasini 

chiqaramiz. Тσ ning eski koordinat sistemasidagi 

komponentalarini σ ij lar bilan. Yangi koordinat 

sistemasida esa σ rs ′ lar bilan belgilaymiz. U holda 

tenzorning invariant ob‘yektligidan foydalanib 3 x′ x3 2 

x′ 3 э′ ρ 3 э ρ 2 э ρ o 1 э ρ 1 э′ ρ 2 э′ ρ x2 x1 1 x′ 2.8-

rasm. 24 ij i j rs r s э э = ′ э′э′ ρ ρ ρ ρ σ σ ekanligini 

ko‘rish qiyin emas. Ushbu ifodaning chap qismiga (2.10) 

ni ikki marta qo‘llab rs r s ij i j ij ri r js s ri sj ij r s ′ э′э′ = 

э э = ⋅ ⋅ э′ ⋅ ⋅ э′ = э′э′ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ σ σ σ α α α α σ 

tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan izlanayotgan σ rs α ri α 

sj σ ij ′ = ⋅ ⋅ (2.14) formulaga ega bo‘lamiz. Burilgan 

o‘qlarning yo‘naltiruvchi α ri va α sj kosinuslari uchun 

ko‘p ishlatiladigan quyidagi 2.1.- jadvaldagi 

belgilashlarini kiritamiz. Yuqoridagi (2.14) qonu-

niyatdan foydalanib kuchlanish tenzori komponentalarini 

koordinat o‘qlarini burganda almashtirish formulalarini 

yoyib yozamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslarning 

(2.11) xossalaridan hamda 2.1-jadvaldan foydalanamiz: 

2 2 2 ; 12 1 1 23 1 1 31 1 1 2 33 1 2 22 1 2 11 11 1 σ′ 

 λ +σ m +σ n + σ λ m + σ m n + σ n λ 2 2 2 ; 12 2 2 



23 2 2 31 2 2 2 33 2 2 22 2 2 22 11 2 σ′ =σ λ +σ m +σ 

n + σ λ m + σ m n + σ n λ 2 2 2 ; 12 3 3 23 3 3 31 3 3 

2 33 3 2 22 3 2 33 11 3 σ′ =σ λ +σ m +σ n + σ λ m + σ 

m n + σ n λ ( ) ( ); ( 23 1 2 2 1 31 1 2 2 1 12 11 1 2 22 




1 2 33 1 2 12 1 2 2 2 λ λ λ λ λ λ m n m n n n m m n n 

m m + + + + ′ = + + + + + σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ); ( 23 2 3 

3 2 31 2 3 3 2 23 11 2 3 22 2 3 33 2 3 12 2 3 3 2 λ λ λ 

λ

 λ λ m n mn n n mm n n m m + + + + ′ = + + + + + σ σ 



σ

 σ σ σ σ (2.15) ( ) ( ); ( 23 3 1 1 3 31 3 1 1 3 31 11 3 

1 22 3 1 33 3 1 12 3 1 1 3 λ λ λ λ λ λ m n mn n n m m 

n n m m + + + + ′ = + + + + + σ σ σ σ σ σ σ Koordinat 

o‘qlari ixtiyoriy ravishda burilishi mumkin bo‘lganligidan 

(2.15) formulalar normal σ ii (I bo‘yicha yig‘indi 

olinmasin) va urinma (i j) σ ij ≠ kuchlanishlarni jismning 

qaralayotgan nuqtasidan o‘tuvchi istalgan maydonchada 

hisoblash imkoniyatini beradi. Yangi 1 2 3 оx′x′ x′ 

koordinat sistemasidan eski 1 2 3 оx′x′ x′ koordinat 

sistemasiga qayta o‘tish formulasi quyidagi ko‘rinishga 

ega bo‘ladi: 2 2 2 ; 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 

2 11 11 1 σ =σ′ λ +σ′ λ +σ′ λ + σ′ λ λ + σ′ λ λ + σ′ λ λ 

2 2 2 ; 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 2 σ22 =σ11′ 

m1 +σ′ m +σ′ m + σ′ mm + σ′ m m + σ′ m m 2 2 2 ; 12 

1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 2 33 11 1 σ =σ′ n +σ′ n 

+σ′

 n + σ′ n n + σ′ n n + σ′ n n ( ) ( ); ( 23 2 3 3 2 31 3 



1 1 3 12 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 2 2 2 m m m m m m 

m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ + ′ + + ′ + = ′ + ′ + ′ + ′ + + σ σ 

σ

 σ σ σ σ ( ) ( ); ( ) 23 2 3 3 2 31 3 1 1 3 23 11 1 1 22 



2 2 33 3 3 12 1 2 2 1 m n m n m n mn mn m n m n mn 

m n + ′ + + ′ + = ′ + ′ + ′ + ′ + + σ σ σ σ σ σ σ (2.16) ( ) 

( ). ( ) 23 2 3 3 2 31 3 1 1 3 31 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 

1 3 3 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ n n n n n n n n n + ′ + + ′ + = ′ 

+

 ′ + ′ + ′ + + σ σ σ σ σ σ σ Ushbu o‘tish formulasining 



tenzori ko‘rinishi σ ij σ rsαri α sj = ′ ⋅ (2.17) kabi 


yoziladi. Agar (2.14) bilan (2.15) hamda (2.17) bilan 

(2.16) formulalari solishtirilganda tenzor tilidagi 

yozuvning afzalliklari yaqqol namoyon bo‘ladi. Chunki 

qariyb yarim sahifalik (2.15) yoki (2.16) formulalarni 

juda qisqa (2.14) yoki (2.15) ko‘rinishida yozish mumkin 

bo‘ladi. Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori 

invariantlari. Kuchlanishlarning deviatori va sharsimon 

tenzori. 25 Yuqorida qattiq jismning normali n ρ bo’lgan 

ixtiyoriy qiya tekisligidagi n q ρ kuchlanish vektorini 

koordinat tekisliklaridagi uchta q (i =1,2,3) i ρ 

kuchlanish vektori (2.4) ufoda orqali ifodaladik va bu 

vektorlar Тσ kuchlanish tenzorining σ ij komponentalari 

(2.5) formula yordamida i ij j q э ρ ρ = σ ⋅ (2.18) kabi 

ifodalandilar. Ikkinchi tomondan normal n ρ bo’lga 

ixtiyoriy maydonchadagi n q ρ vektori nn q ρ -normal va 

nτ q ρ - urinma kuchlanish vektorlarining geometric 

(2.9-rasm) yigindisi sifatida tasvirlanadi, ya’ni n nn nτ q 

q q ρ ρ ρ = + Urinma kuchlanishlar nolda teng bo’lgan 

maydonchalar bosh maydonchalar deyiladi. Bosh 

maydonchalardagi kuchlanishlar bosh kuchlanishlar 

deyiladi va ularning yo’nalishlari kuchlanish tenzorining 

bosh yo’nalishlari deyiladi va ular doimo uchta 

bo’ladilar. Yuqoridagi formuladan ko’rinadiki bosh 

maydonchalarda n nn q q ρ ρ = , ya’ni kuchlanish 

vektori faqat normal kuchlanishdangina iborat bo’ladi. 

Kuchlanish vektori n q ρ ning koordinat tekisliklarida 

ta’sir qilayotgan i q ρ kuchlanish vektorlarining har biri 

bitta mos o’q bo’ylab yo’nalgan normal va ikkita urinma 

komponentalarga ega bo’ladilar. Agar koordinat tekisligi 



bosh maydoncha bo’lsa, ya’ni bu tekislikda urinma 

kuchlanishlar nolda teng bo’lsa, i q ρ vektori 

komponentalaridan faqat qaralayotgan tekislikka 

perpendikulyar yo’nalgan o’q bo’ylab yo’nalgan normal 

komponentasigina noldan farqi bo’ladi. U holda 

qaralayotgan i q ρ vektor o’zining shu tekislikdagi 

normal komponentasi bilan unga mos i э ρ bazis 

vektorining ko’paytmasiga teng, boshqacha aytganda i 

q ρ vektori mos i э ρ bazis vektoriga karrali bo’ladi. Ana 

shu karralilik ko’payturuvchisi bo’lgan skalyar miqdorni 

σ

 bilan belgilaymiz. U holda yuqorida aytilganlardan 



kelib chiqib i i q э ρ ρ = σ ⋅ (2.19) deb yozish mumkin 

(2.18) va (2.19) formulalardan ij j i э э ρ ρ σ = σ lekin i 

ij j э э ρ ρ = δ bo’lganligi uchun ij j ij j э э ρ ρ σ = σ ⋅δ 

tenglikka va bundan ( − ⋅ ) = 0 ij ij j э ρ σ σ δ (2.20) 

tenglamaga ega bo’lamiz. Kuchlnish tenzorining bosh 

yo’nalishini ko’rsatuvchi i э ρ vektorlarning hammasi, 

ya’ni 1 2 3 э э э ρ ρ ρ lar bir vaqtda nolga teng 

bo’lishlari mumkin emas. Demak, (2.20) tenglamalar 

sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun 

uning determinanti nilga teng bo’lishi kerak, ya’ni σ ij 

−σ

 δ ij = 0 (2.21) Bu esa tutash muhitlar mexanikasi 



kursidan bizga ma’lum bo’lgan arsiy tenglamaning xuddi 

o’zidir. Ushbu tenglamaning yoyilib yo’zilishi 

quyidagicha ko’rinishga ega n q ρ τ ρ n ρ nτ q ρ nn q ρ 

ds 2.9- rasm 26 ( ) ( ) ( ) 0 31 32 33 21 22 23 11 12 3 = 

 − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.22) va u kuchlanish 



tenzorining xarakteristik tenglamasi deyiladi. 

Determinantni hisoblab σ ga nisbatan kubik tenglamaga 




ega bo’lamiz: ( ) ( ) ( ) 0, 2 3 2 1 3 σ − I σ ij σ + I σ ij σ 

 I σ ij = (2.23) buyerda ( ) 1 σ ij = σ11 +σ 22 +σ 33, I 



(

 ) ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 13 11 33 31 32 33 

22 23 21 22 11 11 2 , σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 

σ

 σ σ σ σ σ σ = = + + ij ij I I (2.24) Kuchlanish 



tenzorining birinchi ikkinchi va ychinchi invariantlari deb 

ataluvchi I1,I2,I3 invariantlarni aniqlovchi (2.24) 

tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin ( ) ( ) ( ) 

(

 ) [ ( ) ] ( )( ). 2 1 3 1 , 2 1 , 3 3 2 1 ii jj ij ij ss ij ij ij ik 



jk ss ij i jj ij ij ij ii I I I σ σ σ σ σ σ δ δ σ σ σ σ σ σ σ σ 

σ

 σ + − = = − + = − = (2.25) Kubik (2.23) tenglamaning 



ildizlarini, ya’ni Тσ kuchlanish tenzorining bosh 

qiymatlarini σ i lar orqali belgilaymiz. Odatda bosh 

kuchlanishlarning raqamlar ularning aldebraik ma’noda 

kamayib borishi tartibida qabul qilinadi . σ1 >σ 2 >σ 3 ( 

)

 Tσ = σ ij kuchlanish tenzorining biror bosh o’qi bi’ylab 



yonalgan birlik vektori n ρ ning yo’naltiruvchi 

kosinuslariga teng bo’ladilar va ( − ) = 0 ij ij j σ σ δ n 

(2.26) hamda ⋅ = 1 j j n n (2.27) tenglamalardan 

aniqlanadilar. Kuchlanish tenzori ( ) σ ij ning 1 2 3 σ ,σ 

,σ bosh qiymatlarini birin-ketin (2.26) da σ ning o’rniga 

qo’yib va olingan uchta guruh tenglamalarini har safar 

(2.27) bilan birga ycchib uch guruh j j j n n n 1 2 3 , , 

yo’naltiruvchi kosinuslarni topamiz. Xuddi shu kosinuslar 

kuchlanish tenzorining uchta bosh o’qlari yo’nalishlarini 

aniqlaydilar. Agar koordinat o’qlari ( ) σ ij tenzorining 

bosh o’qlari bo’ylab yo’naltirilsa, unung normal 

komponentalari 1 2 3 σ ,σ ,σ bosh kuchlanishlar 

bo’ladilar, urinma (i j) σ ij ≠ kuchlanishlar nolga 



aylanadilar. Demak, bu holda kuchlanish tenzorining 

(2.7) matrisasi diogonal matrisadan iborat bo’ladi: ( ) 3 

2 1 σ σ σ σ σ o o o o o o Т = ij = (2.28) 27 Koordinat 

o’qlari shunday yo’naltirilganda ( ) σ ij tenzorning 

invariantlarini aniqlovchi (2.25) formulalar quyidagi 

ko’rinishni oladilar ( ) ( ) ( ) . , , 3 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 1 1 

2 3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = = + + = + + ij ij ij I 

I I (2.29) Endi kuchlanish tenzorining simmetrik tenzor 

ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy v hajmli 

jism harakat miqdori momenti tenglamasining 

differensial shaklidan foydalanamiz [Sedov] Q ( ) . i ij i j 

i h э э dt dk ρ ρ σ ρ ρ ρ ρ ρ = + ∇ + ⋅ (2.30) Bu yerda k 

ρ

 -ichki kuchlar momenti, Q ρ -jism sirtida ta’sir etuvchi 



taqsimlangan juftlar momenti; h ρ ρ -massaviy (hajmiy) 

kuchlar momenti; ( ) ij i j э э σ ρ ρ ⋅ ichki kuchlanish 

vektori momenti. Elastiklik klassik nazariyasi doirasida 

ichki, hajmiy va taqsimlangan sirt juftlarining 

momentlari nolga teng. U holda (2.30) dan ( ⋅ ) = 0 ij i j 

э э σ ρ ρ (2.31) tenglikka ega bo’lamiz va uni ( ⋅ ) + ( ⋅ ) 

=

 0 < > ij i j ij i j j i j i э э σ э э σ ρ ρ ρ ρ ko’rinishda 



yo’zib olamiz. Bu yerda I = j holda ( ) i j э э ρ ρ ⋅ =0 

bo’lganligi sababli (2.31) tenglama aynan 

qanoatlantiriladi va shuning uchun bu hol qaralmagan. 

Oxirgi tenglikning ikkinchi yig’indisida (I va j lar gung 

ekanligini e’tiborga oling) yig’indilar hisoblanuvchi 

indekslar j ni I ga, I ni esa j ga almashtirib ( ⋅ ) + ( ⋅ ) = 

0 < < ij i j ij i j j i j i э э σ э э σ ρ ρ ρ ρ (2.32) tenglikka 

ega bo’lamiz. Lekin vektorlari ko’paytmalarning 

xossasiga asosan ( ⋅ )( − ) = 0 < ji ij j i i j э э σ σ ρ ρ 



bundan σ ij = σ ji (2.33) Buyerdan kuchlanish tenzori 

Tσ ning simmetrikligi ko’rinadi. Unung deviator va 

sharsimon qismlariga yoyish mumkin. Ana shunday 

amaliyotni kuchlanish tenzori uchun amalga oshiramiz, 

ya’ni ( ) Tσ = σ ij kuchlanish tenzorini, simmetrik tenzor 

bo’lganligidan, sharasimon kuchlanish tenzori va 

kuchlanish deviatoriga yoyamiz: , ~ ij o ij σ ij σ = σ δ + 

(2.34) buyerda o ij σ δ -kuchlanishlar sharsimon tenzori 

komponentalari; σ ij ~ -kuchlanish deviatori 

komponentalari; σ o -o’rtacha normal kuchlanish, ya’ni ( 

)

/ 3 3 1 ij kk o I σ σ σ = = (2.35) Kuchlanishlar 



sharsimon tenzorining birinchi, ikkinchi va uchinchi 

invariantlari (2.29) ga asosan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 27. 3 / 

3; 3 ; 3 1 3 3 2 1 2 2 1 1 o ij o ij o ij o ij o ij o ij I I I I I 

I σ δ σ σ σ δ σ σ σ δ σ σ = = = = = = (2.36) tengliklar 

bilan aniqlanadilar. Kuchlanish deviatori ) ~(σ ij ning 

birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari quyidagicha 

aniqlanadi: 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 27 2 ( ) ( ) ( )/3 ~ ; 3 

~ 1 0; ~ 3 3 3 1 2 1 2 2 2 1 1 ij ij ij ij ij ij ij ij ij I I I I I I 

I I I σ σ σ σ σ σ σ σ σ = − + = − = (2.37) Kuchlanish 

sharsimon tenzorining matrisasi ( ) o o o o ij o o o o o o 

σ

 σ σ σ δ = (2.38) va kuchlanish deviatorining matrisasi 



(

 ) о o o ij 31 32 21 23 12 13 ~ σ σ σ σ σ σ σ = (2.39) 

ku’rinishlarga bo’ladilar. Amalda kuchlanishlarning 

sharsimon tenzori va deviatorining (2.38) va (2.39) 

ko’rinishlari ko’proq ishlatiladi. Elastiklik nazariyasi 

tadbiq qilinadigan sohalarning ko’pchiligida bosh 

kuchlanishlarni hisoblash muhit rol o’ynaydi. Shuning 

uchun bu masalani yo’ritishga bob oxiri

da alohida paragraf 

bag’ishlanadi. 



Download 158.82 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling