Некорректные задачи линейной алгебры

Пример 3.1.1. Рассмотрим несовместную систему
,
Перейдем к нормальной системе (3.1.2) с

и построим множество псевдорешений системы :

Тогда нормальным псевдорешением системы будет вектор
Возмущенную систему возьмем в виде

где Н — малый параметр. Поскольку эта система имеет единственное решение оно и будет единственным (и, значит, нор­мальным) псевдорешением возмущенной системы. Очевидно, при , т. е. ^ПР^{И что} доказывает неустой­ чивость нормального псевдорешения по отношению к возмущениям эле­ментов матрицы.

2. 
   Метод регуляризации
   

Рассмотрим понятие регуляризирующего алгоритма и связанного с ним понятия регуляризованного семейства приближенных решений, введенного А. Н. Тихоновым [3.19] (см. раздел 2.5). Всюду в данном разделе А — квадратная матрица.
Условимся различать в задаче точные данные , кото­рые нам неизвестны, и приближенные данные ,
с уровнем погрешности . Рассмот­рим способы построения семейства векторов, сходящихся к нормально­му псевдорешению уравнения при . За приближенное решение нельзя, вообще говоря, принимать нормальное псевдорешение возмущенного уравнения
(3.2.1)
поскольку нормальное псевдорешение неустойчиво (см. пример 3.1.1).
Пусть в нашем распоряжении имеется семейство алгоритмов каждый из которых паре однознач­но сопоставляет вектор . Если существует зависимость параметра от погрешностей исходных дан­ных, такая, что ,
(3.2.2)

называется регуляризованным семейством приближенных решений, а алгоритм — регуляризирующим алгорит­мом для задачи . Напомним, что нормальное псевдорешение д_нп системы совпадает с ее точным решением, если эта система од­нозначно разрешима, и с нормальным решением, если система имеет множество решений.
Если существует, т. е. А — невырожденная матрица, то для достаточно малых к обратная матрица тоже существует и решение уравнения (3.2.1) теоретически будет сходиться к решению уравнения при к, Однако, если А — плохо обусловленная матрица, т. е. ее число обусловленности