Nisbiy chastotaning o'zgarmas ehtimollikdan chetlanishning ehtimolligi

Nisbiy chastotaning o'zgarmas ehtimollikdan chetlanishning ehtimolligi.
Nisbiy chastotaning o'zgarmas ehtimollikdan chetlanishning ehtimolligi.
Yana har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas va p ga teng bo‘lgan n ta erkli sinash o‘tkazilmoqda deb hisoblaymiz. nisbiy chastotaning o‘zgarmas p ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha avvaldan berilgan sondan katta bo‘lmaslik ehtimolini topishni o‘z oldimizga maqsad qilib qo‘yaylik. Boshqacha qilib aytganda,
(*)
Tengsizlikning ro‘y berish ehtimolini topamiz. Bu ehtimolni bunday belgilaymiz:
. (*) tengsizlikni unga teng kuchli
yoki
Tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu tengsizliklarni musbat ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, dastlabki tengsizlikka teng kuchli tengsizliklarni hosil qilamiz:

Laplasning integral teoremasining eslatmada (52-bet) ko‘rsatilgan ko‘rinishidan foydalanamiz:

va deb, quyidagini hosil qilamiz:

N ihoyat, qavs ichidagi tengsizliklarni ularga teng kuchli bo‘lgan dastlabki tengsizlik bilan almashtirib, uzil-kesil quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

t engsizlikning ro‘y berish ehtimoli taqriban Laplas funksiyasining

dagi ikkilangan qiymatiga teng.
1-misol. Detalning nostandart bo‘lish ehtimoli . Tasodifan olingan 400 ta detal ichida nostandart detallar bo‘lishi nisbiy chastotasining ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta bo‘lmaslik ehtimolini toping.
Y echilishi. Shartga ko‘ra
ehtimolni topish talab qilinadi

f ormuladan foydalanib

(2)
munosabatni hosil qilamiz.
Jadvaldan (2-ilova) ekanligini topamiz. Demak, .
Shunday qilib, izlanayotgan ehtimol taqriban 0,9544 ga teng. Hosil qilingan natijaning ma‘nosi quyidagicha: agar yetarli darajada ko‘p marta tekshirish o‘tkazilib, har bir tekshirishda 400 tadan detal olinsa, u holda bu tekshirishlarning taxminan 95,44% ida nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 da katta bo‘lmaydi.
2-misol. Detalning nostandart bo‘lish ehtimoli .
0,9544 ehtimol bilan (olingan detallar ichida) nostandart detallar chiqish nisbiy chastotasining o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta emas deya olish uchun qancha detal olinishi kerak?
Y echilishi. Shartga ko‘ra
n ni topish talab qilinadi.

formuladan foydalanamiz.

Demak,

Jadvaldan (2-ilova) ni topamiz.n sonni topish uchun quyidagi tenglamani hosil qildik:

Bundan, izlanayotgan detallar soni:
Hosil qilingan natijaning ma‘nosi quyidagicha: agar har birida 400 tadan detal olib, yetarli darajada ko‘p tekshirishlar o‘tkazilsa, u holda shulardan 95,44% ida nostandart detallar chiqishi nisbiy chastotasining o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta bo‘lmaydi, ya’ni nisbiy chastota quyidagi chegaralarda yotadi: dan gacha.
Boshqacha qilib aytganda, tekshirishlarning 95,44% ida nostandart detallar soni 28 dan (400 ning 7% i) 52 gacha (400 ning 13%) bo‘lgan chegaralarda yotadi.
Agar 400 detal olinib, bitta tekshirish o‘tkazilsa, u holda tekshirishda nostandart detallar 28 tadan kam emas va 52 tadan ko‘p emasligini katta ishonch bilan kutish mumkin. Nostandart detallar soni garchi kichik ehtimol bilan bo‘lsada, 28 tadan kam yoki 52 tadan ko‘p bo‘lishi mumkin.
Masalalar
Sexda 6 ta motor bor. Har bir motorning tayin vaqti ishlab turgan bo‘lish ehtimoli 0,8 ga teng. Shu tayin vaqtda a) 4 ta motor ishlab turgan bo‘lish, b) hamma motorlar ishlab turgan bo‘lish, v) barcha motorlar ishlamasdan turgan bo‘lish ehtimolini toping.
Agar har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,3 ga teng bo‘lsa, beshta erkli sinashda hodisaning kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
A va B hodisa kamida ikki marta ro‘y bergan holda ro‘y beradi. Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lgan oltita erkli sinash o‘tkazilgan bo‘lsa, B hodisaning ro‘y berish ehtimolini toping.
Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,1 ga teng bo‘lgan, sakkizta erkli sinash o‘tkazilgan. A hodisaning kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
Tanga olti marta tashlangan. Gerbli tomon a) ko‘pi bilan bir marta tushish, b) kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
To‘pdan bitta o‘q uzishda nishonga tegish ehtimoli . Nishonga ta o‘q tekkanda uning yakson bo‘lish ehtimoli ga teng. Agar ikkita o‘q uzilgan bo‘lsa, nishonning yakson bo‘lish ehtimolini toping. K’orsatma. Bernulli formuasi va to‘la ehtimol formulasidan foydalaning.
Agar sinashning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, 400 ta sinashda shu hodisaning 104 marta ro‘y berish ehtimolini taqriban toping.
Merganning bitta o‘q uzishda nishonga tekkizish ehtimoli 0,75 ga teng, 100 ta o‘q uzilganda nishonga tekkan o‘qlar soni a) 70 dan kam emas va 80 da ko‘p emas, b) 70 dan ko‘p emas bo‘lish ehtimolini toping.
10000 ta erkli sinashning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli . Hodisa ro‘y berish nisbiy chastotasining hodisa ehtimolidan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,001 dan kata bo‘lmaslik ehtimolini toping.
Erkli sinashlarning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng. 5000 ta sinashda 0,9128 ehtimollik bilan hodisa ro‘y berishi nisbiy chastotasining hodisa ehtimolidan qanchalik chetlanishini kutish mumkin?
Tanganing gerbli tomoni tushishi nisbiy chastotasining ehtimolidan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,01 dan katta bo‘lmasligini 0,6 ehtimol bilan kutish uchun tangani necha marta marta tashlash kerak.

Ehtimollar nazariyasi fanining dastlabki tushunchalari shakillangan davr XVI-XVII asrlar bo’lib, Kardano, Gyuygens, Paskal, Ferma va Yakov Bernulli kabi olimlarning nomi bilan bog’liqdir. Ehtimollar nazariyasining paydo bo’lishiga qimor o’yinlarining matematik modellarini va nazariyasini yaratish yo’lidagi izlanishlar turtki bo’ldi.

Ehtimollar nazariyasining keyingi yutuqlari Muavr, Laplas Puasson kabi olimlarning nomlari bilan bog’liq.
Ehtimollar nazariyasining yangi samarali rivoji Chebishev, Markov, Lyapunov kabi rus olimlarining ilmiy izlanishlari bilan bog’liq bo’ldi. Fanning mustaqil fan bo’lib ulg’unlashishida va keyingi rivojida Bernshteyn, Ramonovskiy, Kolmogorf, Xinchin, Gnedenko, Smirnov va boshqalarning xizmati katta bo’ldi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining rivojida S.X.Sirojiddinov, T.A.Sarimsoqov kabi zabardas o’zbek olimlarining ham munosib hissalari bor. Hozirgi kunda bu ikki olimning shogirdlari tomonidan O’zbekistonda ham ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani bo’yicha ham nazariy, ham amaliy tatqiqotlar davom ettirilmoqda.
Ehtimollar nazariyasining dastlabki tushunchalari –tajriba, hodisa, elementar hodisa, ehtimollik, nisbiy chastota kabi tushunchalar bo’lib, ularni bayon qilishga o’tamiz.
Tajriba hodisani ro’yobga keltiruvchi tayin shartlar to’plami S ning bajarilishidan iboratdir. Hodisani esa tajriba natijasi sifatida qaraymiz.
Masalan, tangani muayyan sharoitda tashlashdan iborat bo’lsin. Tanga va uni tashlash S satirlar to’plamini tashkil etsa,tajriba natijalari tanganing “gerb” yoki “raqam” tomonlari bilan tushishi hodisalaridir.
Biz kuzatgan hodisalrni uch turga ajratish mumkin: muqarrar, ro’y bermaydigan va tasodifiy hodisalar.
Muqarrar hodisa deb, tajriba natijasida albatta ro’y beradigan hodisaga aytiladi va biz bu hodisani Ω (omega) harfi bilan belgilaymiz.
Mumkin bo’lmagan hodisa deb tajriba natijasida ro’y bermaydigan hodisaga aytiladi va biz bu hodisani ∅ belgi bilan belgilaymiz.
Tasodifiy hodisa deb, tajriba natijasida ro’y berishi ham, ro’y bermasligi mumkin bo’lgan hodisaga aytiladi. Tasodifiy hodisalarni A, V, S, … katta lotin harflari bilan belgilaymiz.
Misol:O’yin kubigi bir marta tashlanadi. Bu holda
Ω={Tushgan ochko 6 dan katta emas } –muqarrar hodisa;
∅={Tushgan ochko 10 ga teng }-mumkin bo’lmagan hodisa ;
A= {Tushgan ochko juft son }-tasodifiy hodisalardir.
Albatta bu tajribaga mos bo’lgan boshqa ko’plab hodisalarni tariflashimiz mumkin.
Elementar hodisa deb, tajribaning har qanday natijasiga aytiladi, hamda ω harfi bilan belgilanadi. Tajriba natijasida ro’y bershi mumkin bo’lmagan barcha elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deyiladi. Elementar hodisalar fazosi Ω kabi belgilanadi.
Misollar:
1.Tajriba tangani ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bunda elementar hodisalar quyidagicha bo’ladi.
ω₁=(gg), ω₂=(gr), ω₃=(rg), ω₄=(rr).
Elementar hodisalar fazosi Ω to’rt elementdan iborat׃
2.Agar tanga uch marta tashlansa, u holda
ω₁=(ggg), ω₂=(ggr), ω₃=(grr), ω₄=(rrr), ω₅=(rrg), ω₆=(rgg), ω₇=(rgr), ω₈=(grg).
3.Tajriba o’yin kubigini ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bu holda ωij=(i,j) bo’lib, i-birichi tashlashda tushgan ochko’ni bildiradi.
Ω={ωij}, i=1,6 j=1,6
va elementar hodisalar soni n=36 ga teng.
4.Tajriba nuqtani [a,b] kesmaga tashlashdan iborat bo’lsin. Bunda Ω=[a;b] to’plamidan iboratdir.
Biz yuqorida hodisalarni uch turga bo’lgan edik. O’z navbatida tasodifiy hodisalarni ham quyidagi turlarga ajratamiz.
Birgalikda bo’lmagan hodisalar deb, bitta tajribada ro’y berishi qolganlarining ro’y berishi yo’qqa chiqadigan hodisalarga aytiladi.
Agar tajriba natijasida bir nechta hodisalardan bittasi va faqat bittasining ro’y berishi muqarrar hodisa bo’lsa, u holda bu hodisalar yagona mumkin bo’lgan hodisalar deyiladi.
Agar bir nechta hodisalardan hech birini boshqalariga nisbatan ro’y berishi mumkinroq deyishga asos bo’lmasa,ular teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaning ro’y berishiga olib keladigan elementar hodisalarni bu hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi deb ataymiz.
Ehtimol tushunchasi asosiy tushunchalardan biri bo’lib, uning bir nechta ta’rifi mavjud.
Umumiy qilib aytganda, ehtimol –tasodifiy hodisaning ro’y berish imkoniyatini miqdoriy jihatdan xarakterlovchi sondir. Quyidagi ehtimolning klasssik ta’rifini keltiramiz.
Ta’rif. A hodisaning ehtimoli deb, bu hodisa ro’y berishiga qulaylik tug’duruvchi elementar natijalar sonining tajribaning yagona mumkin bo’lgan va teng imkoniyatli elementar natijalari jami soniga nisbatiga aytiladi hamda R(A)=m̲̲̲̲/n formula bilan aniqlanadi.
Ehtimolning kassik ta’rifidan bevosita quyidagi xulosalr kelib chiqadi.
1-xossa.Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng.
Haqiqatdan ham, bu holda m=n va demak.
P(Ω)=m/n=n/n=1
2-xossa. Mumkin bo’lgan hodisaning ehtimoli nolga teng, bu holda m=0 va P(∅)=m/n=0/n=0
3-xossa.Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida yotuvchi sondir. 0Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli quyidagi munosabatni qanoatlantiradi.
0≤R(A)≤1
Ehtimolning yuqorida keltirilgan klassik ta’rifi cheklangan bo’lib, hamma masalalarga ham qo’llanilavermaydi. Masalan elementar natijalari soni cheksiz yoki elementar natijalari teng imkoniyatli bo’lmagan tajribalarda klassik ta’rifni qo’llab bo’lmaydi.
Shu sababli klassik ta’rif bilan bir qatorda hodisaning ehtimoli sifatida nisbiy chastota yoki unga yaqinroq sonni olib, statistik ta’rifdan ham foydalaniladi.
Statistik ta’rif nisbiy chastotaning turg’unlik xossasiga asoslanadi.Bu xossa shundan iboratki, ko’p sondagi tajribalar seriyasi uchun A hodisaning n ta tajribada ro’y berishlari nisbiy chastatasi deb ataluvchi W(A)=ν/n
nisbat deyarli o’zgarmas miqdor bo’lib qolaveradi. Bu yerda ν-A hodisaning n ta tajribada ro’y berishlari soni. Nisbiy chastotaning turg’unlik xossasi birinchi bor demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2000 yillar burin Xitoyda o’g’il bolalar tug’ulishlar sonining jami tug’ulgan bolalar soniga nisbati deyarli ½ ga teng ekanligi hisoblangan. Bu sonning barch davrlar uchun o’zgarmay qolishini statistik malumotlar tasdiqlaydi.
Nisbiy chastotaning turg’unlik xossasiga yana bir misol sifatida tanga tashlash tajribasini ko’ramiz.tanga tashlash tajribalari ko’p marta o’tkazilib, ularda “gerb” tomoni tushushi sanalgan. Bir nechta tajribalarning natijalari quyidagicha bo’lgan.

Tanga tashlashlar soni	Gerbli tomon tushishi	Nisbiy chastota
4.040	2.048	0,5069
12.000	6.019	0,5016
24.000	12.012	0,5005

Bu tajribalarda W(A) nisbiy chastota o’zgarmas r=0,5 soni atrofida tebranyabti shu 0,5 son tanga tashlashda “gerb” tomon tushushi hodisaning ehtimoli sifatida olinishi tabiiydir.

Umaman, agar tajribalar soni yetarlicha ko’p bo’lib, shu tajribalarda qaralayotgan A hodisaning ro’y berishi nisbiy chastatasi W(A)-biror o’zgarmas rЄ[0,1] son atrofida turg’un raivishda tebransa, shu R soni A hodisaning ro’y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisaning statistic ehtimoli deyiladi.
Ba’zan geometrik mulohazalarga asoslangan masalalarda ehtimolning geometrik tarifi qo’llaniladi. Ushbu ta’rifni bayon qilishga o’tamiz.
Biror G soha berilgan bo’lib, bu soha g sohani o’z ichiga olsin. G sohaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning g sohaga ham tushush ehtimolini toppish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va cheksizdir. Shuning uchun, bu holda klassik tarifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga tushush ehtimoli shu g qismning o’lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo’lib, g ning shakliga va g ni G sohaning qayerida joylashganligiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli
R= G ning o’lchovi
G ning o’lchovi
formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan R ehtimollik ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantiradi.
Misol. Radiusi R bo’lgan doira ichiga tavakkaliga nuqta tashlaangan. Tashlangan nuqta doira ichki chizilgan;
Kvadrat ichiga:
Muntazam uchburchak ichiga tushushi ehtimolini toping. Nuqtaning yassi figuraga tushushi ehtimoli bu figuraning yuziga proportsional bo’lib, uning joylashishiga esa bog’liq emas deb faraz qilinadi.
Yechilishi.
Geometrik ehtimollar ta’rifiga ko’ra izlanayotgan ehtimollik
Kvadratning yuzi 2R2 2
P= Doiraning yuzi = πR2 = π
Bu holda, muntazam uchburchak yuzi 3 R2
4
Ekanligini hisobga olsak:
P=uchburchakning yuzi = 3 R2 = 3
Doiraning yuzi 4πR2 4π
Ehtimollar nazariyasi fani - matematik fan bo’lib, uning predmeti bir xil shart- sharpitlarda ko’p marta takrorlanuvchi tasodifiy hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o’rganishdan iborat.
Tasodifiy hodisalar bo’ysunadigan qonuniyatlarni bilish, shu hodisalarning qanday kechishini avvaldan ko’ra bilish imkonini beradi .
Ehtimollar nazariyasi fanining metodlari hozirgi davrda amaliyotning turli sohalarida, jumladan , iqtisodiyot sohasida ham keng samarali qo’llanilmoqda.
Tasodifiy bilan bog’liq bo’lgan iqtisodiy jarayonlarni tadbiq etishda bu jarayonlarning kechishini bashorat qilishda, hamda iqtisodiy yechimlar qabul qilishda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining ahamiyati kattadir.
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani usullari makro va mikro iqtisodiyotni rejalashtirish va tahlil etishda, turli tehnologik jarayonlarni tahlil etishda, mahsulot sifatini nazorat qilishda, ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasida va boshqa ko’plab sohalarda o’z tadbiqlarini topmoqda.
Katta sonlar qonuni

Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.

Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizligi . Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun
(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).
U holda
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda

.
tengsizlik isbotlandi.
va hodisalar teng kuchli bo’lganligi uchun ularning ehtimolliklari teng bo’ladi, va
.
ni bilan almashtiramiz, u holda

Demak,
(2)
Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
Agar (2) ga deb olsak, u holda

bo’ladi.
Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda

bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.
Bunga -qoidasi deb ham ataladi.
Natija: Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy uchun
. (3)
(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti:
va
o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun

va (2) ga asosan

Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin, ketma-ketlikni tuzib olamiz.
Tafsif: sonlar ketma-ketligi mavjud bo’lib,

o’rinli bo’lsa, tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi deyiladi.
Amaliyotda ko’p hollarda

deb olinadi.
Teorema (Katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasi). Faraz qilaylik juft-jufti bilan bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning dispyerstiyalari tekis chegaralangan bo’lsin, ya’ni , ,
U holda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi, ya’ni ixtiyoriy uchun

bo’ladi.
Isboti: Isbotlashda Chebishev tengsizligi (3) dan foydalanamiz.
Unga asosan
(5)
tasodifiy miqdorlar bog’lanmagan bo’lganliklarini inobatga olsak,
(6)
(6)ni inobatga olsak, (5) quyidagi ko’rinishni oladi.
va

ehtimollik birdan katta bo’lishi mumkin bo’lmaganligi uchun

bo’ladi
Demak, katta sonlar qonuni haqidagi Chebishev teoremasiga asosan katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi tasodifiylik xaraktyerini yo’qotishi uchun ular o’zaro bog’liqmasl va dispyersiyalar tekis chegaralan bo’lishi kyerak ekan.
Endi bir xil taqsimlangan bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta son qonunini ifodalovchi Xinchin teoremasini ko’rib chiqamiz.
Teorema: Agar tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi o’zaro bog’lanmagan, bir xil taqsimlangan va ( ) bo’lsa, u holda son uchun
(7)
o’rinli bo’ladi, ya’ni tasodifiyi miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysinadi.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun «qirqib olish» usulidan foydalanamiz.
Tayinlangan va lar uchun quyidagi yangi tasodifiy miqdorlarni aniqlaymiz.
Agar bo’lsa va ,
bo’lsa, ,
deb olaymiz.
U holda va uchun matematik kutilma va dispyersiya mavjud
,
deb olsak

da uchun, qanday bo’lmasin, yetarlicha katta lar uchun
(8)
bo’ladi.
Chebishev tengsizligiga asosan
.
(8) ga asosan,

bo’lganligi va matematik kutilma mavjud bo’lganligi uchun yetarlicha katta lar uchun

bo’ladi.
Bundan,

kelib chiqadi.
Shuning uchun ham,

va lar ixtiyoriy bo’lganligi sababli oxirgi tengsizlikdan teorema isboti kelib chiqadi.
Chebishev teoremasi shartlarini tekshirish orqali quyidagi Bernulli teoremasini isbotlash mumkin.
Teorema (Bernulli teoremasi). ta bog’lanmagan tajribalarda hodisa ro’y berishlari soni har bir tajribada hodisa ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lib gat eng bo’lsa, uchun

bo’ladi.
Biz quyidagi Markov teoremasini isbotsiz keltiramiz.
Teorema: tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi uchun da
bo’lsa, tasodifiy miqdor ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi
Endi katta sonlar qonuniga bo’ysunish uchun zarur va yetarli shartlarni ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema: tasodifiy miqdor ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o’rinli bo’lishi uchun da
(9)
munosabatning o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti: Biz (9) bajarilganda katta sonlar qonunli o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. belgilashni kiritamiz. bo’lsin. ko’rsatish yetarli
U holda

.
Bundan esa (9) ga asosan . Teoremaning yetarli qismi isbotlandi.
Endi (9) ning zaruriyligini isbotlaymiz.


ni yetalicha kichik, ni yetarlicha katta tanlab (9) ga ega
bo’lamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   A.S.Rasulov, G.M.Raimova, X.K.Sarimsakova ‘’Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika ‘’ Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика
   
2. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика