Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti algebra va sonlar nazariyasi
Download 0.53 Mb. Pdf ko'rish
|
algebra va sonlar nazariyasi iii-qism (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Adabiyotlar
|
, F > algebra V vektor fazoning chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi: End V=
,
>
Teorema. Agar V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lsa, u holda End V algebra ℱ maydon ustida chiziqli algebra tashkil qiladi. Isboti. EndV algebra chiziqli algebra shartlarini to’liq bajaradi. Haqiqatan, 1.
, F > algebra ℱ maydon ustida vektor fazo tashkil qiladi; 2.
; ) (
3. ; ) (
4. , , ), ( ) ( ) ( Hom (V,V), va F
.
' U algebralar ℱ maydon ustidagi chiziqli algebralar va φ :U ' U akslantirish biektiv akslantirish bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa: 1. );
) ( ) ( b a b a
2. ); ( ) ( a a
3. F V b a b a b a , ), ( ) ( ) (
u holda φ akslantirishga izomorfizm U va ' U chiziqli algebralarga esa izomorf chiziqli algebralar deyiladi va u U ' U ko’rinishda belgilanadi. 229
Misol. S = < C, +, }, { R > - chiziqli algebra,
R b a a b b a G , ; }, { , , R G G - chiziqli algebra bilan izomorf, ya’ni S
b b a bi a :
). Agar
ℱ maydon
ustidagi matritsalar algebrasini }, { , , ) , ( F F F n М nxn ko’rinishda belgilasak, u holda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi:
n 2 1 е ,..., е , е uning bazisi, M(φ) matritsa V vektor fazoda aniqlangan φ chiziqli operatorning n 2
е ,...,
е , е bazisga nisbatan matritsasi va ) ( М akslantirish mavjud bo’lsa, u holda End V M(n, ℱ) munosabat o’rinli bo’ladi. Isboti. Bizga ma’lumki, End V M(n, F) akslantirish biektiv akslantirish bo’ladi. 1.
). ( ) ( ) ( M M M
Isboti. V x
n n e e x ...
) ( 1 1 ,
n n e e x ...
) ( 1 1
n n e e x x x ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 )) ( ( )) ( ( )) )( (( )) ( ( )) ( ( ) )( (( 1 1 1 1
M x M x M x M x M x M n n n n
). ( )] ( ) ( [ ) ( ) (
M M M x M M
). ( ) ( ) (
M M M
2. ). ( ) (
M M
Isboti. ( n n e e x ...
) )( ( 1 1 , )) ( ( )) )( (( 1 1
M x M n n , ) ( ) ( ). ( )) ( ( ) ( ) ( M M x M M x M M .
3. F ), V , V ( Hom , ( ) ( M ) ( M ) ( M Isboti.
).` ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))) ( ( ( )) )( (( x M M M x M M x M x M
) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( M M M x M M M x M M
Demak, ta’rifga asosan End V M(n, F) bo’ladi.
1. Chiziqli operatorlar algebrasi deb nimaga aytiladi? 2. Matritsalar algebrasi deb nimaga aytiladi? 3. Algebralar izomorfizmi haqida teoramani bayon qiling. 230
15-ma’ruza. Xos vektorlar va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama. Reja: 1. Xos qiymatlar. 2. Xos vektorlar. 3. Xarakteristik tenglama. 4. Xarakteristik ko’phad. 5. Xarakteristik ko’phadning yagonaligi. Adabiyotlar: 1. Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (263-266 betlar). 2. Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh. shk. 1979 g. (str. 307- 309).
n vektor fazo va φ:V n
V n chiziqli operator berilgan bo’lsin. Ta’rif. Ushbu ) , 0 , ( ) (
x V x х х n (1) tenglikni qanoatlantiruvchi
songa φ chiziqli operatorning xos qiymati, х
vektor esa xos qiymatga mos keluvchi xos vektori deyiladi. Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan V n vektor fazoning har bir φ chiziqli operatori kamida bitta xos vektorga ega. Isboti. V n vektor fazoning n 2 1 е
...,
, е
, е (2) bazisi berilgan bo’lib,
vektorning bu bazisdagi koordinatasi n ...
, , 2 1
bo’lsin, ya’ni n n e e x ...
, 1 1 tenglik o’rinli bo’lsin. ) ( , ...
), ( ), ( 2 1 n e e e
vektorlar (2) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
nn n n n n n n n e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ...
) ( , ... ) ( , ...
) ( 2 2 1 1 2 2 22 1 12 2 1 2 21 1 11 1 (3) bo’ladi.
nn n n n n a a a a a a a a a A ...
... ...
2 1 2 22 21 1 12 11 , matritsa φ chiziqli operatorning (2) bazisdagi matritsasi. Endi φ( х ) vektorning (2) bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz. ) ... ( ...
) ...
( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1
nn n n n n n n e a e a e a e a е е е х . e ) a ... a ( ... e ) a ... a ( n nn n 1 n 1 1 n 1 n 11 1 (4) (1) va (4) ga asosan n nn n n n n n n e a a e a a e е х ) ... ( ...
) ...
( ) ( ... ) ( 1 1 1 1 11 1 1 1
, 231
, a ... a , a ... a , a ...
a n n nn 1 1 n 2 n n 2 1 21 1 n n 1 1 11
0 ) ( ...
, 0 ... ) ( , 0 ...
) ( 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 1 11
nn n n n n n n a a a a a a a a (5) kelib chiqadi. (5) sistema n ...
, , 2 1 noma’lumli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. Bu sistema nolmas echimga ega bo’lishi uchun sistema determinanti nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni 0 1
0 0 0 ... 1 0 0 ...
0 1 ... ... ...
, 0 ) ( ...
... ) ( ... ) ( 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a
0 E A (6) hosil bo’ladi. (6) ga φ chiziqli operatorning xarakteristik tenglamasi deb yuritiladi. (6) ning chap qismidagi determinant ga nisbatan n-darajali ko’phadni bildiradi. Bu ko’phadga φ chiziqli operatorning xarakteristik ko’phadi deb yuritiladi. Bizga ma’lumki, n-darajali ko’phad kompleks sonlar maydoni ustida n ta ildizga ega bo’ladi. Bu ildizlar
...
, , 2 1 bo’lib, ular φ chiziqli operatorning xos qiymatlari bo’ladi. ar bir xos sonlarni (5) sistemaga qo’yib, uning nolmas echimlaridan tuzilgan vektorlar xos sonlarga mos xos vektorlar bo’ladi. Agar
) (
А i matritsaning rangi i r bo’lsa, φ chiziqli operatorning har biri
xos songa mos keluvchi xos vektorlar soni (n- i r ) ga teng bo’ladi. Download 0.53 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|