Nochiziqli va xaotik mexanika predmeti

122Equation Chapter 2 Section 2

2. NOCHIZIQLI VA XAOTIK MEXANIKA PREDMETI

Tebranishlar to‘g‘risida so‘z yuritilganda , loaqal taxminiy takrorlanuvchi harakatlar, hodisalar, jarayonlarni ko‘zda tutiladi (2.1-rasm). Fizik tabiatga ega bo‘lgan biror obyektlarda yuqoridagi ma’noda tebranishlar bor bo‘lsa, tebranuvchi sistema deyiladi. Tebranishni vaqt o‘tishi bilan o‘zgaruvchi dinamik kattaliklar aniqlaydi. Masalan, mexanik sistemalar dinamik kattaliklar – zarralarning koordinatasi va tezliklari, elektr zanjirlarida – uning biror qismidagi kuchlanish va undan o‘tayotgan tok, kimyoda – reaksiyaga kirishuvchi komponentlarning konsentratsiyasi va b. dinamik o‘zgaruvchilar bo‘la oladi. Odatda, tebranishlarda dinamik kattaliklarning o‘zgarishi chekli oraliqda yuz beradi deb hisoblanadi.

2.1-rasm. Turli tabiatdagi tebranishlar dinamik o‘zgaruvchilarining vaqtga bog‘lanishi.

Eng sodda tebranishlarda dinamik o‘zgaruvchining vaqtga bog‘lanishi sinus yoki kosinus funksiya orqali beriladi:

222\* MERGEFORMAT (.)

Bunda tebranish garmonik (sinusoidal) deyiladi. Bu yerda – dinamik o‘zgaruvchi, o‘zgarmas kattalik A intensivlikni, tebranishlar ko‘lamini aniqlaydi va tebranishlar amplituda deb ataladi, chastota deyiladi va tebranishlar davri T bilan munosabat orqali bog‘langan. tebranishlar fazasi,  esa boshlang‘ich faza deyiladi.

Bu yerda ni deyarli hamma tomonidan qabul qilingan davriy chastota deb atash to‘g‘ri bo‘ladi. Bu atama trigonometrik funksiyalar sinus va kosinusning davri, ya’ni tebranma jarayonlarning takrorlanishi chastotasi bilan bog‘liq. Chastota atamasini ko‘paytma bilan farq qiluvchi chiziqli chastota ga uchun qoldiramiz. Bu chastotaning o‘lchov birligi Hertz (Hz) bo‘lib, bir sekunddagi tebranishlar soniga teng. Ish jarayonida kilohertz (kHz – bir sekundda 10³ ta tebranishlar), megahertz (MHz – bir sekundda 10⁶ ta tebranishlar), gigahertz (GHz – bir sekundda 10⁹ ta tebranishlar) lar ham ishlatiladi. Doiraviy chastota esa radian/sekundlarda (1/s) o‘lchanadi. Shuni ta’kidlash lozimki, ba’zan davriy chastotani qisqacha chastota deb ataymiz.

Ko‘pchilik ilmiy yo‘nalishlarda tadqiqot sohasi aniq belgilanadi (mexanika, elektrodinamika, optika, qattiq jism fizikasi, polimerlar fizikasi, suyuqliklar fizikasi va b.). Tebranishlar nazariyasining bulardan farq, fanning fizik mohiyatini nazarga olmasdan tebranishlar mavjud bo‘lgan sistemalarning dinamikasini o‘rganadi. Tebranishlarni tadqiq qilishda bir qator muhim masalalarni ko‘rsatish mumkin: tebranma jarayonlarni sinflarga ajratish, matematik modellar ishlab chiqish, turli fizik tabiatga ega bo‘lgan sistemalar uchun umumiy bo‘lgan qonuniyatlarni aniqlash.

Ushbu bobning boshida tebranishlarga berilgan ta’rif juda umumiy bo‘lganligi uchun unga aniqlik kiritish kerak. Masalan, so‘nuvchi va so‘nmas, garmonik va nogarmonik, relaksatsiya, davriy, kvazidavriy, xaotik va b. tebranishlar to‘g‘risida gapirish mumkin (2.1-rasmga q.).

2.2- va 2.3-rasmlarda tebranuvchi sistemalarga misollar tasvirlangan.

(a)

(b)

(c)

(d)

2.2-rasm. Mexanik va akustik tebranishlarga misollar: а) mayatnik,

b) Helmholtz rezonatori, c) chuqurchadagi shar, d) kamerton.

2.3-rasm. Optik tebranishlarga misollar: а) ochiq rezonator, б) halqasimon rezonator.

Tebranma jarayonlarni sinflarga ajratishda ularni kichik va katta amplitudali tebranishlarga ajratish muhim qadam bo‘lib hisoblanadi. 2.4-rasmda sharning uch xil o‘radagi mexanik tebranma harakatiga misol keltirilgan. Har uchala holda kichik tebranishlar bir xil bo‘ladi va quyidagi tenglama bilan aniqlanadi:

323\* MERGEFORMAT (.)

Bu tenglama chiziqli ossillyator tenglamasi bo‘lib, garmonik tebranishlarni tavsiflaydi.

Mexanikada va tebranishlar nazariyasida harf ustidagi nuqta vaqt bo‘yicha birinchi tartibli hosilani bildiradi, ikki va uch nuqtalar esa mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibla hosilalardir. Bu Newton davridan odat tusiga kirgan. 23 teng-lamadagi o‘raning tubi yonidagi shakli bilan aniqlanadi, yechimi esa 22 ko‘rinishga ega. O‘ralarning shakli bir-biridan jiddiy farq qilganligi uchun ularning har birida katta tebranishlar o‘zgacha bo‘ladi. Matematik model doirasida katta amplitudali tebranishlar esa 23 tenglamaga x ning ikki va undan yuqori darajalari ishtirok etgan hadlarni qo‘shish bilan o‘rganiladi. larning oldidagi koeffitsiyentlar o‘ralarning shakli bilan belgilanadi. Ko‘rilayotgan misolda tebranish amplitudasi ortishi bilan har bir o‘radagi harakat uchun yozilgan tenglamada o‘zining nochiziqli qo‘shilib boradi. Kichik tebranishlar chiziqli, katta amplitudali tebranishlarni esa nochiziqli tebranishlar nazariyaning mazmunini tashkil qiladi.

2.4-rasm. Uch xil o‘rada sharning mexanik tebranish-lari, kichik tebranishlar uchala o‘rada bir xil bo‘ladi, katta amplitudali tebranishlar bir-biridan farq qiladi.

Yuqorida keltirilgan mulohazalar, albatta o‘ra silliq bo‘lganda o‘rinlidir. O‘ra minimumga ega bo‘lgan matematik funksiya (mexanikada bu funksiya potensial energiyani beradi) orqali ifodalanadi. Bu funksiya minimum atrofida Taylor qatoriga yoyilsa, u kvadratik had bilan boshlanadi. Bu qaysidir ma’noda tabiiy yoki tipik holdir. Nolinchi had o‘zgarmas bo‘lganligi uchun inobatga olinmaydi. Bu holat, xususan mexanikada potensial energiyaning hisob boshini tanlash ixtiyoriyligi bilan bog‘langan. O‘ra silliq bo‘lishi mumkin, ammo biror maxsus sabab bilan kvadratik had nolga teng bo‘lib qolsa, g‘ayri oddiy hol yuzaga keladi (2.5a-rasm). Bunday o‘rada hatto kichik tebranishlarni ham chiziqli deb bo‘lmaydi. Agar o‘ra silliq bo‘lmasa (2.5b,c-rasm), tebranishlar umuman chiziqli bo‘lmaydi. Bu misollardan quyidagi xulosani keltirish mumkin: Kichik tebranishlar chiziqli, katta tebranishlar nochiziqli deyish faqat silliq o‘ralar uchun ma’noga ega.

Tebranishlarni kichik va kattaga ajratish sistemani tavsiflashda foydalanilayotgan matematik model bilan bog‘langan. Chiziqli, xususan 23 tenglamada dinamik kattalik va uning hosilalarining birinchi darajasi ishtirok etadi. Agar funksiyalar va chiziqli tenglamaning yechimlari bo‘lsa, bulardan tuzilgan chiziqli kombinatsiya ham yechim bo‘ladi va sistemada yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan tebranishlar aniqlaydi. Bunday sistemalarda superpozitsiya prinsipi bajariladi deyiladi. Koeffitsiyentlar С₁ и С₂ kattalik jihatdan ixtiyoriy. Mos ravishda tebranish amplitudalari ham ixtiyoriy bo‘lishi mumkin. Ammo, chiziqlilik sharti buzilmasligi kerak.

2.5-rasm. Kichik tebranishlar chiziqli bo‘lmagan sistemalarga misollar. (a) o‘raning kesimi qatorga yoyilganda to‘rtinchi darajadan boshlanadi, (b) o‘raning quyi nuqtasida birinchi tartibli hosila sakrab o‘zgaradi, (c) o‘raning quyi nuqtasida ikkinchi tartibli hosila sakrab o’zgaradi.

Bundan tabiatda haqiqiy chiziqli sistema mavjud emasligi kelib chiqadi. Masalan real tebranish konturini ko‘ramiz. Kuchlanishni oshirib borgan sari konturdagi elektr tebranishlari-ning amplitudasi ham ortib boradi. Kuchlanish qandaydir chegara qiymatiga yetganda konturda elektr “teshilish” yuz beradi. Demak, kichik tebranishlar katta amplitudali tebranishlarga nisbatan o‘zgacha bo‘ladi. Shunday qilib, har qanday sistemani qaysidir ma’noda chiziqli yoki nochiziqliga ajratish mumkin.

Chiziqli sistemalarda amplituda o‘lchoviga ega bo‘lgan sistemaga xos bo‘lgan parametr – masshtab yo‘q. Demak, chiziqli sistemalarda amplitudalari katta va kichik tebranishlar birday ro‘y beradi. Dinamik kattalik birday qonun bilan o‘zgaradi. Masalan, garmonik tebranishlarda chastota va davr amplitudaga bog‘liq emas (2.6-rasm, yuqori qismiga q.). Nochiziqli tebranishlar tebranish amplitudaga bog‘liq holda ro‘y beradi (2.6-rasm, pastki qismiga q.).

Tebranuvchi sistemalarda tebranishlarning mohiyatini aniqlovchi dinamik o‘zgaruvchilar bilan bir qatorda sistema uchun xos bo‘lgan va tenglamalarga kiruvchi o‘zgarmas kattaliklar (parametrlar) bilan ham ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Bu kattaliklarning qiymati va ishorasi tebranishlar mohiyatiga jiddiy ta’sir o‘tkazadi.

Berilgan tebranuvchi sistemada tebranishlarni yetarli darajada aniqlikda kichik va katta bo‘lishini uchun parametrlarning o‘zgarish chegaralarini ko‘rsatish mumkin bo‘ladi. Masalan, o‘rtadagi (2.4-rasm) tebranishlar chiziqli bo‘lishi uchun uning shakli qanday darajada parabola deb qarash mumkinligi bilan aniqlanadi. Uning shakli paraboladan chetlasha boshlasa, tebranishlar nochiziqli bo‘la boshlaydi. Demak, tebranishlar qanday bo‘lishi sistema parametrlari – masshtab bilan aniqlanar ekan. Tebranish xarakterini bunday yo‘l bilan ko‘rsatish qo‘pol bo‘lib, bohalashlar aniqligida bo‘ladi.

2.6-rasm. Chiziqli va nochiziqli sistemaning kichik (yuqorida) va katta (pastda) amplitudali tebranishlari tasvirlangan. Bu sistemalarda kichik amplitudali tebranishlar farq qilmaydi, katta amplitudali tebranishlar keskin farqlanadi.

Biror sistema holatini aniqlovchi dinamik o‘zgaruvchilar ko‘rsatilgan bo‘lsa, masalani yechish natijasida sistemaning ixtiyoriy keyingi vaqtda holatini aniq etish mumkin bo‘ladi. Bunda dinamik sistemaning holat vektori berilgan deyiladi. Sistemaning holatini ko‘p hollarda qulay bo‘ladigan geometrik ko‘rinishda ham tasvirlash mumkin. Buning uchun holatlar fazosi yoki fazalar fazosi kiritiladi. Bu fazoda koordinata o‘qlariga dinamik kattalik qo‘yiladi. Turli sistemalar uchun fazalar fazosining o‘lchami turlicha bo‘ladi. Masalan, 23 ossillyator uchun ikkiga teng bo‘lib, holat oniy koordinata va tezlik bilan beriladi.

Sistemaning dinamikasi fazalar fazosidagi tasvirlovchi nuqtaning harakati, faza trayektoriyasi bilan aniqlanadi. Dinamik sistema to‘g‘risida so‘z borganda, xususan, nazorat qilib bo‘lmaydigan tashqi ta’sirlardan holi bo‘lgan muayyan nazariy abstraksiya ko‘zda tutiladi. Boshqa tomondan, tebranuvchi sistema – fizik tabiati turlicha bo‘lishi mumkin bo‘lgan real fizik dunyo obyektidir. Nazariy natijalarni aniq berilgan sistemaga tadbiq qilinganda obyektning fizik jihatiga e’tibor berish kerak bo‘ladi. Hozircha bu ikki tushunchani farqlamaymiz.

Har qanday dinamik sistema kabi tebranuvchi sistemalarni konservativ va dissipativga ajratish qabul qilingan.

Avval mexanik tebranishlarga qaraymiz. Kechayotgan tebranish jarayonida dinamik o‘zgaruvchilar bilan bog‘langan to‘liq (kinetik plyus potensial) mexanik energiya saqlansa, uni konservativ deb atash qabul qilingan. Ishqalanish yoki qarshilik kuchlari ta’siri natijasida sistemaning energiyasi issiqlikka aylansa yoki yo‘qolsa, u dissipativ deb ataladi.

Yuqoridagi ta’rifni ixtiyoriy fizik tabiatga ega bo‘lgan tebranuvchi sistemalar uchun tadbiq qilib bo‘lmaydi. Chunki ixtiyoriy sistemalarda faqat mexanik sistemalarga taalluqli mexanik energiya tushunchasidan foydalanish mumkin emas. Demak sistemalarni konservativ va dissipativga ajratish oddiy masala emas ekan. Bu kitob doirasida sistemalarni konservativ va dissipativga ajratishda mexanika sistemalar uchun berilgan ta’rifni asos qilib olamiz. Ya’ni, sistemaga ekvivalent mexanik modelni ko‘rsatish mumkin bo‘lsa, bunday sistemalarni yuqoridagi ma’noda konservativ va dissipativga ajratish mumkin. Mexanik bo‘lmagan konservativ sistemaga misol sifatida reaktiv elementlar – sig‘im va induktivlikdan tashkil topgan elektr zanjiri (erkin tebranishlar konturi) ko‘rsatish mumkin. Bu zanjirga aktiv qarshilik ulansa, u dissipativ bo‘lib qoladi.

Konservativ sistemalarning xotira, ya’ni istalgan uzoq vaqt boshlang‘ich holatni eslab qolish xossasi bor. Masalan, 23 ossillyator istalgancha uzoq vaqt boshlang‘ich amplituda bilan tebranadi. Boshqa boshlang‘ich shartga istalgancha uzoq vaqt o‘zgarmas qoladigan boshqa amplituda to‘g‘ri keladi.

Dissipativ sistemalar uchun xos bo‘lgan muhim xususiyat – boshlang‘ich holat to‘g‘risida xotirani yo‘qotishdir. Uzoq vaqt o‘z holiga qo‘yilgan sistemaning dinamikasi boshlang‘ich holatga (hech bo‘lmaganda boshlang‘ich shartlar chekli oraliqdagi variatsiyasida) bog‘liq bo‘lmay qoladi. Dissipativ sistemaning fazalar fazosida qaror topgan nuqtalar to‘plami attraktor deyiladi. Attraktorga turg‘un muvozanat holat, chegaraviy sikllar misol bo‘la oladi. Chegaraviy sikl – berk faza trayektoriyasi bo‘lib, unga yaqin turgan barcha trayektoriyalar o‘raladi.

Nochiziqli tebranuvchi sistemalarga xos va juda qiziqarli hodisa – avtotebranishlar bo‘lib, u fazalar fazosida chegaraviy sikllar bilan uzviy bog‘langan. Avtotebranishlar – ba’zi dissipativ sistemalarda aniq boshlang‘ich shartlarga bog‘liq bo‘lmagan va o‘z-o‘zidan yuzaga keladigan tebranishlar bo‘lib, uning chastotasi, amplitudasi hamda shakli shu sistemaning parametrlari bilan aniqlanadi (2.7-rasmda misollar keltirilgan). Avtotebranishlar radiotexnikada (elektron avtogenerator – barcha turdagi uzatuvchi qurilmaning asosi), akustikada (hushtak, puflab chalinadigan musiqa asboblari), aerodinamikada (hilpirayotgan bayroq, (samolet qanotining noxush va xavfli tebranishlari) va boshqa sohalarda ko‘p uchraydi. Astrofizikada aniqlanishicha sefeid deb ataluvchi yulduzlarning yorqinligi davriy ravishda o‘zgarib turishi avtotebranisga misol bo‘ladi. Avtotebranishlar chiziqli nazariya orqali umuman tushuntirib bo‘lmaydi, chinki chiziqli nazariya tebranishlar amplitudasi masshtab vazifasini o‘ta olmaydi. Avtotebranishlar uchun esa amplituda muhim rol o‘ynaydi.

Turli tabiatli sistemalarda chiziqli tebranishlar bir nuqtai nazardan o‘rganish mumkinligi XX asr boshlariga kelib aniq va ravshan bo‘lib qoldi. Chiziqli nazariya mustaqil yo‘nalish sifatida shakllandi desa bo‘ladi.

Nochiziqli tebranishlar muammolari bilan olimlar osmon mexanikasi masalasida ilk bor duch kelishgan. Xususan, ikki jism masalasi aniq yechimga ega. Bunda ikki xil – infinit va finit harakat mavjud. Birinchi xil harakatda jism ochiq trayektoriyalar bo‘ylab harakat qiladi. Ikkinchi xil harakatda esa jismlardan biri ellipsning fokusida joylashgan bo‘lib, ikkinchi shu ellips bo‘ylab harakat qiladi.

Yuzaki qaraganda masala ozgina murakkablashganda, ya’ni uch jism masalasida trayektoriyalar o‘ta murakkab ko‘rinishga ega bo‘lib qoladi. Hatto ma’lum bir shartlarda harakat xaotik tus oladi. Yana shuni ta’kidlash lozimki osmon mexanikasi aniq bir tipdagi masalalarni – konservativ sistemalarni o‘rganadi.

(а) (b) (c)

2.7-rasm. Avtotebranishli sistemalarga misollar: