Nomi "A∩(A∩B̅)∩B̅" ko'paytma bo'lib, bu oddiy setlar (A va B) bilan ishlashni ko'rsatadi

1-misol
24.

Nomi "A∩(A∩B̅)∩B̅" ko'paytma bo'lib, bu oddiy setlar (A va B) bilan ishlashni ko'rsatadi.

1. 
   A ∩ B̅: Bu A va B̅ (B ning komplementi, ya'ni B ichidagi elementlarni o'z ichiga olmaydigan elementlar) to'plamlarining ko'paytmasini ifodalaydi.
   
2. 
   A ∩ (A ∩ B̅): Bu A va 1-qadamning natijasi (A ∩ B̅) ning ko'paytmasini ifodalaydi.
   
3. 
   A ∩ (A ∩ B̅) ∩ B̅: Shu formulaga B̅ to'plamini qo'shish bilan hosil bo'lgan natija.
   

Natijada, bu formulani hosil qilish uchun eng kattaliklarini oladigan bo'lishingiz mumkin:
(A ∩ B̅) ∩ B̅
B̅ to'plami o'zini o'ziga bo'lishganda, natija B̅ bo'ladi:
B̅
Shu bilan, A∩(A∩B̅)∩B̅ ko'paytmasining o'zi B̅ to'plamiga teng.

2-misol
25.

Eyler-Venn diagrammasini ishlatib, A ⊆ C va B ⊆ C bo'lgan holatni ko'rishimiz mumkin. Bu holatni isbotlash uchun quyidagi jarayonni amalga oshiramiz:

1. 
   Avvalo, C to'plamini oling va uni Eyler-Venn diagrammasida ko'rsating.
   
2. 
   Endi A to'plamini chizib, C to'plamining ichiga joylashtiring (A ⊆ C).
   
3. 
   Keyin B to'plamini chizib, hammasi C to'plamining ichida joylashgan bo'lishi kerak (B ⊆ C).
   
4. 
   Shu bilan, A va B to'plamlarining hammasi C to'plamining ichida joylashgan bo'lishi kerak (A ⊆ C va B ⊆ C).
   
5. 
   So'ngra, A va B to'plamlarining hammasini C to'plamiga o'rnatish orqali A ∩ B ni topamiz (A ∩ B).
   
6. 
   So'ngra, A ∩ B ni chizib, C to'plamining ichiga joylashtiramiz (A ∩ B ⊆ C).
   
7. 
   Yuqoridagi amallar natijasida, A ⊆ C, B ⊆ C, va A ∩ B ⊆ C. Bu esa A ⊆ C va B ⊆ C ko'paytmasining o'rnatilganligini va o'rnatilgan bo'lishini isbotlaydi.
   

Shu bilan, Eyler-Venn diagrammasi yordamida, A ⊆ C va B ⊆ C bo'lgan holatni isbotlayabmiz.

3-MISOL
25.

a) A to'plami {1, 2, 3} va B to'plami {2, 4} berilgan bo'lsin. A × B (A va Bning kartezian ko'paytmasi) to'plamni elementlari quyidagicha yoziladi:
A × B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}
b) A to'plami {1, 2, 3} va B to'plami {2, 4} berilgan bo'lsin. B × A (B va A ning kartezian ko'paytmasi) to'plamni elementlari quyidagicha yoziladi:
B × A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
c) Berilgan to'plamlar A = {1, 2, 3} va B = {2, 4} bo'lsin.

1. 
   A × A:
   

A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

2. 
   B × B:
   

B × B = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}

3. 
   B × B × B:
   

B × B × B = {(2, 2, 2), (2, 2, 4), (2, 4, 2), (2, 4, 4), (4, 2, 2), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (4, 4, 4)}

4-misol
Munosabatlar jadvalini to'ldirib, ularning refleksivlik, simmetriklik, va tranzitivlik xususiyatlarini tekshirishimiz mumkin.

Munosabatlarni aniqlash Munosabatlar to'plami Y ni aniqlashimiz kerak. Berilgan shartlarga ko'ra, Y to'plami quyidagi munosabatlardan iborat bo'ladi:
Y = {(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)}
Refleksivlikni tekshirish Refleksivlikni tekshirish uchun, hamma A to'plamidagi elementlar uchun (a, a) munosabatlari mavjud bo'lishi kerak.
A = {-1, 0, 1, 2, 3}
Lekin, Y to'plamida (a, a) munosabatlari mavjud emas. Masalan, (-1, -1) munosabati mavjud emas. Shuning uchun, Y to'plami refleksiv emas.
Simmetriklikni tekshirish Simmetriklikni tekshirish uchun, (a, b) munosabatining (b, a) munosabati ham Y to'plamida bo'lishi kerak.
Y to'plamini ko'rib, biz ko'rsatilgan shartni tekshirib ko'ramiz:
(a, b) mavjud bo'lganida, (b, a) ham mavjudmi?
Biz Y to'plamini tekshirishda barcha (a, b) munosabatlari (b, a) munosabatini ham o'z ichiga olishini ko'ramiz:
(-1, 0) → (0, -1) (0, 1) → (1, 0) (1, 2) → (2, 1) (2, 3) → (3, 2)
Y to'plamida har bir (a, b) munosabati uchun (b, a) ham mavjud. Shu sababli, Y to'plami simmetrikdir.
Tranzitivlikni tekshirish Tranzitivlikni tekshirish uchun, (a, b) va (b, c) munosabatlaridan (a, c) munosabatini olishimiz kerak.
Biz Y to'plamini ko'rib, barcha (a, b) va (b, c) munosabatlari uchun (a, c) munosabatini ham o'z ichiga olishini tekshirib ko'ramiz:
(a, b) va (b, c) uchun (a, c) ham mavjudmi?
Bizning Y to'plamimiz quyidagi munosabatlarni o'z ichiga oladi:
(-1, 0) va (0, 1) uchun (-1, 1) (0, 1) va (1, 2) uchun (0, 2) (1, 2) va (2, 3) uchun (1, 3)
Shuning uchun, Y to'plami tranzitivdir.
Natijada, Y to'plami refleksivlikka ega emas, ammo uning simmetrik va tranzitiv xususiyatlari mavjud.