Nuqtalariga o'rnatish uchun urinmalar orasidagi burchakni desak, M

§ 15. Chizik tenglamalari
Differensial geometriya egri chiziklar va sirtlar nazariyasi bilan shug’ullanishini yuqorida takidlagan edik. Biz chiziq harakatlanayotgan nuqtaning izi deb karamiz. Chiziqning kelib chikish turli xarakterga ega bulsa da, biz biror nuqta harakatlanib, chiziq chizadi deb, tasavvur etishimiz mumkin. Biz tekshiradigan chiziklar tugrisida quyidagilar o'rinli deb faraz qilamiz:
1. Chiziq uzluksiz bo’lib, uning har bir nuqtasiga ma’lum bir urinma o'tkazish mumkin.
2. Chiziqning nuqtasi chiziq bo’ylab uzluksiz harakatlanganda, urinma ham uzluksiz o'zgarib boradi. Boshqacha qilib aytganda, chiziqning M₁ va M₂ nuqtalariga o'rnatish uchun urinmalar orasidagi burchakni desak, M₁M₂ yoy nolga intilganda burchak ham nolga intiladi.(20-rasm).
Ma’lum bir Dekard sistemasida chiziqning har bir nuqtasi muayyan koordinatalarga ega.
Chiziqning biror M(x, y, z) nuqtasi chiziq b'ylab harakatlansa, uning koordinatori o’zgara boradi. Nuqtaning harakatga kelishi biror parametrga bog’liqdir. Bu parametr, masalan, nuqtaning harakatlanishi uchun sarf bo'ladigan yoki chiziqqa mos kelgan vektor-funktsiyaning tegishli paramet- ri, yoki chiziq buylab harakatlanadigan nuqtaning XOY tekislikkacha bulgan masofasi va xokazolar bulishi mumkin. Chiziqdagi har bir nuqtaning koordinatalari ham shu parametrga bog’liq buladi. Parametr o'zgarganda nuqtaning o'rni (vaziyati), shu bilan birga, uning koordinatalari ham o'zgaradi. Buning uchun parametrlar bilan belgilab, chizik tenglamalarini:
x=x(t), y=y(t), z=z(t)
kurinishda yozishimiz mumkin. Bu yerdagi x(t), y(t), z(t) funksiyalar uzluksiz, chunki shartga ko’ra, chiziqning o'zi uzluksiz.
Tekilikdagi chizik uchun esa
x = x(t), y = y(t)
buladi.
Bu tenglamalar chiziqning parametrik kurinishdagi tenglamalari deyiladi.
Chiziklarga nisbatan qo'yilgan shartlarga ko'ra, yuqorida tenglamalarga kiruvchi x(t), y(t), z (t) funksyalar va o’zlarining hosilalari uzluksizdir. Agar chiziqdagi o'zgaruvchan nuqtadan XOY tekislikkacha bulgan masofani, ya’ni z ni parametr deb olsak, u holda chiziqning (1) tenglamalari
x=x (z), y = y(z)
shaklga ega buladi (uchinchi tenglama z=z dan iborat ayniyatdir). Chiziq XOY tekislikda yotgan bo’lsa, t parametr o'rniga x yoki y ni olish mumkin, t=x bo’lganda chiziqning tenglamasi
y y(x) yoki y = f(x)
bo’ladi. Agar t=y deyilsa, tenglama x=x(y) yoki x=f(y) ko’rinishda yoziladi.
Analitik geometriyadan malumki, x = x(z) shakldagi tenglama fazoda yasovchilari Oy o’qqa parallel silindirni ifodalaydi, bu silindir (1) chiziqn XOZ tekislikka proeksiyalaydi, ya’ni x=x(z) tenglama (1) chiziqning XOZ tekislikdagi proeksiyasini ifodalaydi, shuningdek, y=y(z) tenglama (1) chiziqning YOZ tekislikdagi proeksiyasini ifodalaydi. Xullas, berilgan (1) chiziq x = x(z v3a y = y(z) tenglamalar bilan ifodalangan i kkita sirt silinderning kesishgan chizig'i deb qaralishi mumkin. Ammo berilgan chiziq orqali boshqa sirtlar ham u o’tkazilishi mumkin. Masalan, F(x, y, z) = 0 va Ф(x, y, z) = 0) sirtlar shu chizik orqali o'tsin. Bu holda shu chizik tenglamalarini
E: (x, y, z) = 0, F (x, y, z) = 0
shaklda ham yoza olamiz. Chiziq tenglamasini bulardan boshqa shakllarda ham yozsa buladi. Yuqorida qilingan farazlardagi shartlar bajarilganda, chiziq tenglamalarining bir shaklidagi shartlar bajarilganda, chiziq tenglamalarining bir shaklidan ikkinchi shakliga o’tsa bo’ladi. Masalan, z ni uzluksiz hosilalarga ega bulgan ʎ(t) funksiya bilan ifodalab uni (2) ga quysak va hosil bo’lgan sistemani x va y ga nisbatan yechsak, x = , y = kelib chiqadi. Bular z= bilan birga chiziqning parametrik tenglamalari , x = , y = , z= beradi. Vektor ko’rinishda z=z(t) bo’ladi. Shunga o'xshash, t parametrni (1) dan chiqirsak, chiziqning (2) kurinishdagi tenglamalari xosil buladi. Bu yerda biz chizikni analitik ravishda ifodalash usullari bilan tanishib chiqdik.