Nyuton metodi

1-misol. Ushbu




f₁ x, y  x⁵  y³  xy 1  0^

f₂ x, y  x² y  y  2  0 _

tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni
X₀  (x₀ , y₀ )
= (2; 2) deb olib,

uning aniq yechimi
X  (x, y)
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.

Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi taqinlashishlarni

^X_k ^{ (x}_k ^{, y}_k ⁾ , orttirmalarni esa
X_k
 x_k ,
y_k 
deb, quyidagi jadval

shaklida ifodalaylik:

k	xk	yk	Xk  X	2 Xk / Xk 1
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Bu natijalar shuni ko’rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi – verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iteratsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini

_ 0,032 0,0_

B  

0,0

0,9_

boshlang’ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqoslanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega

ekanligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
X_k
 C X ²
bog’lanish ildizning

k 1
yetarlicha yaqin atrofida o’rinli, bunda C o’zgarmas esa yetarlicha katta: C  5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko’payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samaradorligi pasayib borishini ko’rishimiz mumkin. Agar bir o’lchovli holatni

qaraydigan bo’lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o’lchovli holda esa f_i (x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa f_i (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.


2-Misol. Quyidagi
F x, y  2x³  y ² 1  0^


Gx, y  xy³  y  4  0 ^

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.

Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo’li bilan dastlabki yaqinlashish

x₀  1,2
y₀  1,7
aniqlangan bo’lsin. U holda

   ^6x2

• 
  2 y
  

_{  } 8,64
 3,40 _

J x₀ , y₀
y³ 3xy² 1
, demak
J 1,2; 1,7
4,91
9,40
97,910

(1.12) formulaga ko’ra

_{x  1,2  1}  0,434
 3,40


 1,2  0,0349
 1,2349 ^

¹ 97,91
0,1956


8,64
9,40 ^





 0,434 ^

y₁  1,7 
4,91
0,1956
 1,7  0,0390
 1,6610 ^

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
x₂  1,2343


y₂  1,6615

ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.

Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko’rish mumkin (1.3-rasm):

> plots[implicitplot]({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3); solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},{x,y});

allvalues(%); evalf(%);
{ x  1.234274484, y  1.661526467}

1.3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar sistemasidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.

2. Takomillashtirilgan Nyuton usuli

Nyuton hisob jarayoni (1.3) ni qurishda har bir ^qad^a^m^da^te^s^ka^r^i^m^at^r^i^t^s^aW ^^1x^^k^ ^n^i^h^i^s^o^b^l^a^s^hzarurati noqulaylik tug’diradi. ^Agar^W^^1 ^x ^matritsa^izlanayotgan^x^ yechimning atrofida uzluksiz va boshlang’ich yaqinlashsh x^0 izlanayotgan x^ yechimga yetarlicha yaqin bo’lsa, u holda taqriban ushbu W 1 x^k  W 1 x^0  tenglikni o’rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni kamaytirib, quyidagi takomillash- tirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:

1.4-rasm. Nyuton usuli modifikatsiyasining algoritmi.

_ ^{k 1} _{ } ^k  _W 1 _x⁰ _{ f } ^k  _,


k  0,1,2, ,
_ ⁰ _{ x}⁰

(1.14)

Shuni ta’kidlaymizki, (1.13) va (1.14) jarayonlar uchun dastlabki

yaqinlashishlar
_x¹
_{va } ¹
o’zaro mos keladi, ya’ni
_x¹ _{ } ¹ _.

Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 1.4-rasmda tasvirlangan):

_{1. x}(0)

• 
  boshlang’ich yaqinlashish aniqlanadi.
  

2. 
   W ^1x⁽⁰⁾  matritsani hisoblaymiz.
   
3. 
   (1.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz
   
4. 
   Agar (1.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo’ladi va
   

_x( k 1) _

(1.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 3- qadamga o’tiladi.

Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo’l bilan hisoblash mumkin bo’lmasa, u holda Nyuton usulini qo’llash murakkablashadi. Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan, x^(^k^) nuqtada chap j ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi quyidagicha yoziladi: f f x^(^k^),..., x^(^k^),..., x^(^k^)  x^(^k^),..., x^(^k^)  h,..., x^(^k^)  i  i 1 j n i 1 j n xj h Ana shu yo’l bilan hisoblangan hosila qiymatlarini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo’llab,iteratsion jarayonlar hisobini oson- lashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matritsasi

1.4-rasm. Nyuton usuli modifikatsiyasining algoritmi.

yomon shartlangan bo’lib qolishi ehtimolligi mavjud.
Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matritsasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.

3. Nyuton-Rafson usuli

Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi.
Faraz qilaylik, (1.1) yoki (1.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan
bo’lsin. Iteratsion formulani hosil qilishimiz uchun f = ( f₁, f₂, , f_n ) vektor-

funksiya komponentalari bo’lgan
f₁, f₂,
funksiyalarning Teylor qatoriga

yoyilmasining ularning birinchi tartibligacha hosilasini o’z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:
_f (k ) _f (k )

1

1

n
f ^(k)  ¹ x^{(k 1)}  ...  ¹ x^{(k 1)}  0,
x₁ x_n

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f₂  ² x₁
x₁
 ...  ² x_n
x_n
 0,

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f_n  ⁿ x₁
x₁
 ...  ⁿ x_n
x_n
 0.

Bu yerda
_f (k ) _{ f}
(x^(k), x^(k), ...,
_x(k ) _{) ;}
x^(k1)  x^(k1)  x^{(k) , (j=1,…n).}

^{j j} 1 2 n

Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko’rinishida quyidagicha yozish mumkin:

_f (k )
_f (k )
_f (k ) _{ x}(k 1) _{
 f} (k ) _

_ 1
¹ ...
1 _{ } ¹
  ¹ 

_ x₁
x₂
^xn  
  

_f (k )
_f (k )
_f (k )  _x^{(k 1)}   _f ^{(k )} 

 ^2
2 ...
²   ²   ² 

^ x₁
x_2
xn   ^.  ^  ^. 

 

_...
...
...
...
...
...
...
...
...^{  .}
  

.
  

_f ^{(k )}
_f (k )
_f ^{(k )}   _.   _. 

_ n
ⁿ ...
^{n  }_x(k 1) ^{ } _f (k ) ^

x₁
x₂
^xn ^ ^ ⁿ ^{ } ^{n }

yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib yozish ham mumkin:
_W (k )_x(k 1) _{  f} (k ) _,

^{Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, W = W}  ^x
– Yakob matritsasi.

Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib,
_x(k 1)
ni aniqlaymiz:

_x(k 1) _{ x}(k ) _{ x}(k 1) _.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:

_{1. x}⁰
- boshlang’ich yaqinlashish va  - hisob aniqligi beriladi.

2. 
   f_i   , (i=1,2,…,n) shartning bajarilishi tekshiriladi; agar u bajarilmasa, u
   

holda 6-qadamga o’tiladi.

2. 
   W – Yakob matritsasi hisoblanadi.
   

2. 
   W x   f
   

tenglamalar sistemasi yechiladi.

2. 
   x  x  x
   

hisoblanadi va 2-qadamga o’tiladi.

2. 
   x natijalar pechatga chiqariladi.
   

Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo’llanilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, W^-1 ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash mumkin. Faraz qilaylik, W^-1 – Yakob matritsasining k- iteratsiyadagi teskari matritsasi bo’lsin. (k+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:

_W 1
 W ^1  W ^1 W
_W 1 _.

k 1 k k k k
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko’plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.