Nyuton metodi

Nyuton usuli

(1.1) tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (1.1) vektor tenglamaning izolyatsiyalangan

x  _ x₁, x₂,
ildizlaridan bittasi bo’lgan ushbu k -chi yaqinlashish

1 2
_x^k  _{ x}^{k }_{, x}^{k }_,

topilgan bo’lsin. U holda (1.1) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu

1
x  x^{k }   ^{k } , (1.2)

ko’rinishda ifodalash mumkin, bu yerda tuzatuvchi had (ildizning xatoligi).
_ ^k  _{ } ^{k }_,

• 
  xatolikni
  

(1.2) ifodani (1.1) ga qo’yib, qyidagi tenglamani hosil qilamiz:
f _x^{k }   ^{k } _ 0 ^{. (1.3)}

Faraz qilaylik,

f _ x_

• 
  bu x va
  

_x^k 

larni o’z ichiga olgan biror qovariq D

sohada uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo’lsin. (1.3) tenglamaning o’ng

tarafini
_ ^k 

• 
  kichik vektor darajalari bo’yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning
  

chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz:
_{f x}^k  _{ } ^k  _
f _x^{k } _
f ^_x^{k } _ ^{k }  0^{. (1.4)}

(1.4) formuladan kelib chiqadiki,
f ^_ x_
hosila deb
x₁, x₂, 

o’zgaruvchilarga nisbatan
f₁, f₂,

• 
  funksiyalar sistemasining quyidagi
  

Yakob matritsasi tushuniladi:


_ f₁



^x₁
^f₂

f₁

x₂
f₂

f_{1 }

x_n ^
f₂ ^

^{f } ^x ^{ W}  ^x ^{ }_{x x}
x ^{ ,}

^ 1 2 n ^
 

f_n
^x₁
f_n
x₂
f_n 
x_n ^

 
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,




^{f } ^x ^{ W}  ^x ^{  fi  ,}
x





i, j  1, n .

_ j _

(1.4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had


(k )


i
_i  1, n_

larga nisbatan

W _ x_

matritsali chiziqli sistema. Bundan (1.4) formulani quyidagicha yozish mumkin:

f _x^{k } _W _x^{k } _ ^{k }  0 .

Bu yerdan, ega bo’lamiz:

W x^(k) 

• 
  maxsus bo’lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga
  

_ ^k  _{ W} 1 _x^k  _{ f x}^k  _.

Natijada ushbu
_x^{k 1} _{ x}^k  _W 1 _x^k  _{ f x}^k  _,
k  0,1,2,
(1.5)

Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda
_x(0)

• 
  nolinchi yaqinlashish sifatida
  

izlanayotgan ildizning qo’pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (1.1) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (1.5) formula bo’yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:

_x(k 1)

• 
  _x(k )
  


^{ } . (1.6)

Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulining algoritmini quyidagicha yozamiz: ^x^(0) boshlang’ich yaqinlashish aniqlanadi. Ildizning qiymati (1.5) formula bo’yicha aniqlashtiriladi. Agar (1.6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo’ladi va ^x^(^k^^1) (1.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o’tiladi. Hisoblashlarda (1.1) nochiziqli tenglamalar ^sistemasining^f ^x ^funksiyalari^va^ularning^hosila-^lari^matritsasi^W ^x ^aniq^berilgan^geymiz,^u^holdabu sistemani yechishning blok-sxemasi 1.1-rasmdagi ko’rinishda bo’ladi.

1.1-rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining algoritmi

f(x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki martagacha uzluksiz

differensiallanuvchi va Yakob matritsasi
W _ x_
maxsus bo’lmagan (aynimagan),

ko’p o’lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:

_x(k 1) _{ x}
 C x^(k)  x 2 _.

Shuni ta]kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang’ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.

Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo’lgan hol ko’p uchraydi. Buni, masalan, f(z)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko’rish mumkin. Haqiqatan ham, agar ushbu

f₁(x, y)  Re f x 
jy _va
f₂ (x, y)  Im f x 
jy

funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x – haqiqiy qismi va y – mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo’ladi:

_ f₁(x, y)  0;

f

 2
^ (x, y)  0,
(1.7)

bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida ^ aniqlik bilan bajaraylik.

D sohaga tegishli
X₀  (x₀ , y₀ )
- nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (1.4)

dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

^f1 (x  x
x ⁰
)  ^f1 ( y  y
y ⁰
)   f₁

(x₀

, y₀ )

^f2 (x  x
x ⁰
)  ^f2 ( y  y
y ⁰
)   f₂
(x₀
, y₀ )
(1.8)

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
x  x₀  x₀ ,


y  y₀  y₀
(1.9)

(1.8) sistemani
x₀ ,
y₀
larga nisbatan, masalan, Kramer usuli yordamida

yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:

x₀
 ^1 ,
J
y₀
 ^2 ,
J

(1.10)

bu yerda (1.8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
J   0 , (1.11)

(1.8) sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:

• 
  f (x , y )
  

₁ 
 f₁ (x₀ , y₀ )
 f₂ (x₀ , y₀ )
_; ₂ 
1 0 0
.


x₀ ,

y₀

larning topilgan qiymatlarini (1.9)
f₂ (x₀ , y₀ )

ga qo’yib, (1.8) sistemaning

X₁  (x₁ , y₁ )
- birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:

x₁  x₀  x₀ ,
^y₁ ^{ y}₀ ^{ y}₀ . (1.12)

Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:

max( x₀ , y₀ )   _{, (1.13)}

agar bu shart bajarilsa, u holda
X₁  (x₁ , y₁ )
birinchi yaqinlashishni (1.8)

sistemaning taqribiy yechimi deb, hisoblashni to’xtatamiz. Agar (1.13) shart

bajarilmasa, u holda
x₀  x_{1 ,}
y₀  y₁
deb olib, yangi (1.8) chiziqli algebraik

tenglamalar sistemasini tuzamiz. Uni yechib,
X ₂  (x₂ , y₂ )
- ikkinchi yaqinla-

shishni topamiz. Topilgan yechimni ^ ga nisbatan (1.13) bo’yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda (1.8) sistemaning taqribiy yechimi deb

X ₂  (x₂ , y₂ )
ni qabul qilamiz. Agar (1.13) shart bajarilmasa, u holda
x₁  x_{2 ,}

y₁  y₂
deb olib,
X ₃  (x₃ , y₃ )
ni topish uchun yangi (1.8) sistemani tuzamiz va

hokazo. Bu sistemani yechish

ning blok-sxemasi 1.2-rasmda tasvirlangan.

1.2-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi.