Nyuton va vatarlar usuli
Download 256.59 Kb.
|
Nyuton va vatarlar usuli kurs ishi
|
O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O'RTA MAXSUS TA'LIM VAZIRLIGI BERDAG NOMIDAGI GORAGALPOG DAVLAT UNIVERSITETI Matematika fakulteti Amaliy matematika kafedrasi Hisoblash usullari fanidan “NYUTON VA VATARLAR USULI” mavzusida KURS ISHI Bajardi: Rahbar: Amaliy matematika va informatika yo'nalishi 3S kurs talabasi PARDABAYEV BEHZOD K.JALELOV NUKUS 2021 MUNDARIJA Kirish .......c..o..co..o.o.oonenueeneneenus ane nasane naa s aasaneane sae aenaasaa sana naaeaaesae aaa aaae ae area aaaaaa naan 3 Vatarlar usSuli .................c......c..c..c..c...c..c....c caca sae saeesae s ae eae saeaea ane naa eaeaan aaa aaan 4 Amaliy miSOl ......................c..c.o.cc...c..c.c..c.......o.cc coca a e eeeae aeeae ae eeaee sana naea naan aanaa s aaaaan 6 Vatarlar usulining C# dasturlash tilida tuzilgan dasturi:.................c......c.........c...... 12 Vatarlar usulining blok SXemMaSi ..........c....c....c.c..c....o.cc...c..c.o.cc.o.cc.c.c..c.c..oc.o....ccama 17 Nyuton usuli (Urinmalar usuli)..............c....c....c..c.c..c.c..c.c..c.o.c..c....c.o...c.o......cc.ooaa 18 Amaliy miSOl ............c.........c..c....c.c.c..c.c..c.......o...cec eae see aeeeeaeae aeaeee an nee aeeae ana anaaaanan 22 Nyuton usulining C# dasturlash tilida tuzilgan dasturi:.......c....c....c......c................ 27 Nyuton usulining blok SXemasi ...........c..............c......c....c..c.o..c.c.c..c.c..c.c..oc.o......ca.a 31 Vatarlar va urinmalar usulining birlashtiruvchi USUL ......c....c...c......o.c....c....c....c...... 32 MULOSA.....c...o...oo.oc.ocenen ae enenaesas ane as nenen aaa an aaae naa eaaeaa eae aeaeaeaeaaaaeaeaeaa sasa aan 34 Kirish
Matematika turmush masalalarini yechishga bo'lgan extiyoj tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika ya'ni hisoblash matematikasi bo”lib, b, uning magsadi esa masala yechiminpi son shaklida topishdan iborat edi. IX asrda yashagan buyuk o'zZbek matematik olimi Muhammad ibn Muso al — Xorazmiy hisoblash matematika Fanini yaratishga katta hissa go'shgan. Chet el olimlaridan Nyuton, Eyler, Lobachevsky, Gauss kabilar ham bu fanni yaratishga ulkan hissa go'shganlar. Matematikada tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha aniglikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga va shu magsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo'llarini ishlab chigishga bag'ishlangan soha hisoblash matematikasiga deyiladi. Fanning magsadi funksional fazolarda to'plamlarni va ularda aniglangan operatorlarni yaginlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari go'llanadigan sharoitda masalalarni yechish uchun ogilona va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chigishdan iborat. Fanning asosiy masalasi — hisoblash matematikasi fanining rivojlanishi ta'rixini o'rganish, tagribiy sonlarni kelib chigishini, xatolar nazariyasi ularning kelib chigishi manbalari va nihoyat dastlabki yaginlashishni aniglash usullarini o'rganish va undan keyin sonli usullarni o'rganib borilgan masalalarni yetarli aniglik bilan yechishdan iborat. Amaliy masalalarni yechishda ko'p matematikmasalalarnianig yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki axtarilayotgan yechim elementar funksiyalar orgali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo”lishi bilan go'yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o'rin oladi. Sonli usullar bu go'yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshgaradigan arifmetik va mantigiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat. Vatarlar usuli Bir noma'lumli chizigli emas tenglamalarni ajratilgan ildizlarini berilgan 0 ” , , .., 1 0 22) va hakazo anigligi bilan hisoblash uchun , 1 a'n vatarlar usulini go'llash mumkin. Bu usulning ma'nosi x“ € Ja,b) , f(x) — 0.11 ajratilgan usuli bo'lsin. Bu ildizini kerakli aniglikda hisoblash uchun guyidagi asosiy 2 holat mavjud : 1-holat. fla) S0, f(D)-0,f'G) 50, f"GX)»o0 Av va l Ala: f(a)) va Blb: f(b)) nugtalari yotuvchi vatar yurgiziladi va 1. bu vatarning Ox o'gini kesib o'tish absissasini aniglaymiz. Vatarning tenglamasi guyidagicha yoziladi x-a y-fa) ab TOTO vatenglamani y— 0 xz—x, debolsak unda O ma. SO O.ma b-a f(D)— fa) bundan fa) (2) o' tenglamasiga ega bo'lamiz. Bundan so'ng 2. AilxufCxo))| va Bilb,, f(b)) Ox o'gini kesish nugtasini aniglaymiz. nugtalari orgali vatar yurgizamiz uning 2. Bu holda tenglama fa) beri fa) FO FG) X2 X1 SOFT) mi x) (3) Xx AT 1 Bu jarayonni davom ettirib guyidagi umumiy tenglamaga ega bo'lamiz G0
#(Db—xx) Xxesa
kr0,12... (4)
2-holat. Bu holda ham avval Ala: f(a)| va BIb: f (b)| nugtalari orgali vatar yurgizamiz y—- fb) b-a x—b fOD)—-fa) y 0 Xx, deb belgilab olsak . sb 2. f0 a f0 . Ta 0-9 Ailxi: fx1))) va BIb: f(b)) nugtalari orgali yurgizamiz Bu vatar tenglamasi y— SG) b—-x XX f1) — fa) RG) ) #(x1i—a) FG) Bu jarayonni davom ettirib guyidagi formulaga ega bo'lamiz. Xkt1 — Xx fx) f x TFro-Ta Ta # (Xx —aA) xo-b
k-012.. (5) Shunday gilib chizigli emas tenglamalarni yechishda vatarlar usulini go'llash har xil 2 formuladan foydalanish kerak bo'ladi. Berilgan tenglamani yechishni boshlashdan oldin (4) yoki (5) formulaning gaysidan foydalanish kerak degan savolga anig javob topish kerak. Bu usuldan foydalanib berilgan tenglamaning izlanayotgan ildizini kerakli aniglik bilan hisoblash mumkin bo'lmaydi. Buning uchun guyidagi goidadan foydalanish kerak. . Agarda f(a)x f'(la) SO bolsa x)—a deb olingan (4) formuladan foydalanish lozim. . Agarda f( b D)# f'(b) SO bo'lsa xg — b deb olingan (5) formuladan foydalanish lozim 1-holatda (4)-formuladan foydalanib yasalgan (xx) k —0,1,2... sonlar ketma- ketligi monoton va chegaralangan. Masalan VX sonlar ketma-ketligi bo'lganligi sababli bu usul doimo yaginlashuvchi. 2-holatda (5)-formuladan yasalgan (xx) k —0,1,2... sonlar ketma-ketligi monoton kamayuvchi chegaraviy sonlar ketma-ketligi bo'lganligi sababli bu ketma-ketlik doimo yaginlashuvchi bo'ladi. Shunday gilib agarda vatarlar usulining hisoblash fo'rmulasi to'g'ri saylab olinib hisoblash bajarib 2-holatdan ham berilgan chizigli emas tenglamaning ajratilgan ildizini ixtiyoriy aniglik bilan hisoblash mumkin bo'ladi. Usulning xatoligini baholash masalasi Vatarlar usulining xx yordamida baholash mumkin yaginlashuvchining xatoligini guyidagi oddiy formula SC) m1 (6)
Buyerdami —m If'C)I fa: b) Belgilashlar kiritilgan bu formula chizigli emas tenglamalarni yechishda boshga iteratsion usullar va masalan Nyuton usuliga nisbatan ham kam xato bo'lganligi uchun go'llaniladi. Amaliy misol fO) - 2x3—-3x2 - 12x —5—0 Avwvaliga hosila olamiz: f')-6x2-6x—-12—0 Endi bu f'(x) — 0 tenglamaning hagigiy ildizlarini topamiz (f(x) tenglama ildizlari shu oraliglarda yotadi). Xi—2, X2 ——1 nugtalarda funksiya giymatlarini ishoralari almashadi va f (x) funksiya ishoralar jadvalini tuzamiz: Tenglama 3 ta hagigiy ildizga ega (ishora almashgan oraliglarda): x1 EC: —-1),x2 € (1:2) va x3 € (2: t00). Oraliglarni gisgartiramiz: Biz tenglamani bitta hagigiy ildizini tagribiy hisoblaymiz. Demak, x, € (2: 11, x2 € (1:0) va x3 € (3: 41). 1-ildizni topamiz: x1 E 2115 f C2) S 0: f1) 50: f"G) » 12x — 6. —2 Sx —1bo'lganda f"Gx) S0.(f Gx)f"Gx) » O shart bajarilmogda.) Hisoblash uchun vatarlar usulidan foydalanamiz: SEn) G Xn) nz0,1,2, ... Boshlang'ich x5 — —-2: Xog— —-1 giymatlarni kiritib olamiz. Hisoblash jarayonini IXniy1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz. X1 ni topamiz: X? 2 — 12xn —5 Xn? — 3xn2 — Xnt1 - 1 - Xn — | — Xn) X,) no — 3xn7 — 1251 —5 |— Ixn3 — 3xn2 — 12xn —51 Gn I —1,4318 — (“1,4472)| — 0,0154 21 (14754) ? — 3x (“1,4754)2 — 12x (14754) —5 — —1,4318 Xay 5 14754 — 6x (-1,4754)2 —6x (1,4754) —12 2x (“1,4754) 3 — 3x (“1,4754)2 — 12x (“1,4754) —5 (2: (“1,3846) 3 — 3x (1,3846)2 — 12x (“1,3846) —5 )— (2x (“1,4754) 3 —3x (“1,4754)2 —12x(“1,4754)—5) » (“13846 — (“1,4754)) — —1,4472 Za) 7 14754 nz-2 davom ettiramiz Tagribiy yechim Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini I — 1, 4754 — (-1,3846)| — 0,0908 2 5 (C1625)3 — 3x (1625) - 12x (1625)-5 14754 mi 1625 XT 6x (1625) —6x (1625) —12 « (“11818 — (-1,625)) — —1,3846 2x(-1625)) — 3x (1,625) ? —12 # (1,625) —5 (2: (11818) — 3x (11818)? — 12x (11818) —5 )— (2x (“1,625)3 —3x (1,625) ? —12x(1,625)—5) 53 -—1625 nz-1 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz. 1 — 1,625 — (1,1818)| — 0,4432 - 1625 ae 27 — 2 )3— —2)2 -— —2)— 7 22 SA 2 an T 1 - # (-1— (-2)) » —1,1818 CD 12 CD) 5) Gr C2) ETD 1 2x (2) — 3x (22-12: (2) —5 38 C2 128 2) 5) CD 12 CD) 5) Gr C2) n-0 X2 Xp 1 Bu yerda ? — 12xn —5 Xn? — 3xn? — Xn? 1 F Xn— Xnt1 F 12xn2 —6x —12 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz nz3
ay 7 14318 2: (1, 4318) : — 3x (1, 4318)? — 12x (1,4318) —5 214472) — 3: (144722 — 12x (“1,4472) —5)- (2x C1, 4318) — 3x (1, 4318)—12x(1,4318)—5) # (“1,4472— (1, 4318)) — —1,4495 2x(-1, 4318) — 3x (1, 4318)? —- 12x (1,4318) —5 — —1,4499 6x 14318 26x (1, 4318) — 12 I — -1, 4495 — (-1,4499)| — 0,0004 Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak hisoblash 0 ,0 1 ,4 jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x, — —1,4499 ga teng bo'ladi. 2-ildizni topamiz: x2 ET LO0OESCVDE0 FO) S0: f"GA) - 12x — 6. —1gxzg0bo'lganda f"GxX) S0. (FG) f"Cx) » Oshart bajarilmogda.) Hisoblash uchun vatarlar usulidan foydalanamiz: SEAn) FEAT GD — SEA) Xnt1 FS Xn— FEAT GD Gn — Xn) n70,1,2, ... Boshlang'ich x9 — —1: Xp — 0 — giymatlarni kiritib olamiz. Hisoblash jarayonini IXniy1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz. X1 ni topamiz: —X, GR n) Koni FS Xxn— MET T ni — 3xn? — 12xn —5 — Tm 3m mean IXn3 — 3xn2 IXn3 — 3xn2 — 12xn 5G Bu yerda ? — 12xn —5 na — 3xn? — PA nt1 7m 12 xn2 — 6x0 —12 X0, Xp 1 nz-0 2x03—-3x02— 1240 —5 . X1 “C ea CD 5) 2x03 3x02 — 1280 —5) COD 3D (1-0) — —0,71428 X7 2x 0 —3x02—- 12x 0 —5 5 — —0,41667 er 60.12 | — 0,71428 — (—“0,41667)| — 0,29761 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz. n-1 & 3 — —0,41667 22 (“0,417)3— 3x “0,417)2 — 12 « (0,417) —5 20714) 34 (0,714) ? — 125 (0,714)5)— (24 C0,417)3 — 35 0,417)? —125 (0,417) —5) # (“0, 7 14 — (-0,417)) 7 —0,5055 Soda XT 2 COMD 3x 0417)? 121 COMD) 5 5 TT 6x 0417)? — 6x 0,417) — 12 aaca
1 — 0,4868 — (—0,5055)| — 0,01869 Tagribiy yechimlModul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n-2 Za) 7 —0,4868 2: (“0,4868)3 — 3x (“0,4868)? — 12 « (—0,4868) —5 (21 05055) — 3x (“0,5055) 2 — 124 (“0,5055) —5) —(21 (“0,4868) 3 —3x (“0,4868)2 —124(“0,4868)—5) # (“0,5055 — (—0,4868)) — 0,5001 2: (-0,4868)3 — 3x (“0,4868) 2 — 12 « (“0,4868) —5 - 0,4999 Xa) 7 —0,4868 — 6x (0,4868)2 — 6x (-0,4868) — 12 10,4999 — 0,5001| — 0,00019 Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak 0 ,0 0 , 4 hisoblash jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x2 — 0,4999 ga teng bo'ladi. 3-ildizni topamiz: x3 E (3341: FO) S0f(4) » 0: Ff") — 12x — 6. 3 Sx f"G 4bo'lganda fx) » 0. (GC) f"Gx) » O shart bajarilmogda.) Hisoblash uchun vatarlar usulidan foydalanamiz: m — .y Xnt1 —Xn AO ) Gn FE Gn) G Xn) — n 0,1,2, ma. Boshlang'ich x5 — 3, Xp 4 giymatlarni kiritib olamiz. 1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz. Hisoblash jarayonini IXns1 — X1 ni topamiz: ? — 12xn —5 Xn? — 3xn? —5 Xn? 5 Xn— X,g 51 OP n) X, TT Xn— X mnt OM Da dna 125 — SI Deni — Ba? — 12xn 51O ? — 12xn —5 Xn? — 3xn? — Xn? . t An Taez —6xn 12 Bu yerda nz-0 X3 Xp 4 2x (333 — 332-124 (3) —5 3 1 O 3 OA 3 Oa 1200 5) 2105 356212: 6) 5) #(4 — (3)) — 3,3415 03 1 2 1 65-3162-1218) —5 1 EGG 1— 3,5833 13,5833 — 3,3415| — 0,2418 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz. n-1 53 — 3,5833 2x (3,5833)3— 3x 3,58332 — 12x 3,5833— 5 (2x 3,34153 — 3x 3,34152 — 12x 3,3415 —5 ) —(2x 3,58333 —3x 3,58332 —12x 3,5833— 5) x (3,3415 — 3,5833) — 3,4429 X2 25932
3.457 Ma 6 x 3,58332 —6 x 3,5833— 12 13,457 — 3,4429| — 0,01409 Tagribiy yechimlModul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n-2 ) — 3,457 Za) — 2x 34573 —3x 3,457 2— 12x 3,457 —5 (2x 3,4429 3 — 3x (3,4429)2 — 12 x 3,4429 —5) —(2x (3,457) 3 —3x3,4572— 12 « (3,457)—5) x (3,4429 — 3,457) — 3,4494 2x 3,457 3 —3x3,4572— 12x 3,457 —5 — 3,4495 6x 34572 — 6x 3,457 — 12 13,4495 — 3,4494| — 0,00012 Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak 0,0 3,4 hisoblash jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x, — 3,4495 ga teng bo'ladi. Javob: 1 ,4 Xi — —1,4499, X2 — —-0,4999, 3,4 X3 — 3,4495,: Vatarlar usulining C# dasturlash tilida tuzilgan dasturi: using System, using System.Collections.Generic, using System.Ling, using System.Text, using System. Threading.Tasks, namespace Hisoblash usullari 1 1 class Program 2 , x2 O
0, double x8, x80, farg, eps - 0.001, giymatlar, intervallari topilib, b, mos ildiz uchun tanlangan boshlang' ich // x10, x2 0, x3 @ - har bir ildizning oralig // eps - ganday aniglikda hisoblanishi, int n-06, 1 public static void MethodVatarlar() chigarib beradi. formulasidan foydalangan holda tenglamaning ildizlarini //MethodNewton metodi Vatarlar usulining 2) - 6 “Xx - 12, return 6 “ Math.Pow(x, 1 static double Tenglama hosilasi(double x) hosilasining x dagi giymati hisoblanadi. // Tenglama hosilasi metodi orgali berilgan tenglama ! 12 “Xx - 5, 3 ) - 3 #£ Math.Pow(x, 2) - return 2 # Math.Pow(x, 1 static double Tenglama (double x) dagi giymati hisoblanadi. // Tenglama metodi orgali berilgan tenglamaning x - 0 ,x3 0 -3, Console.WriteLine("x1 @ - (@)neps - (1)”", x18, eps), x8 0 - x1 0- (x8-x1 @) “Tenglama(x1 @) / (Tenglama(x8) - Tenglama(x1 8)): x@ - x1 0 - Tenglama(x1 8) / Tenglama hosilasi(x1 8), farg - x80 - x0, X1l0 - x8, X0 - x00, nttj J while (Math.Abs(farg) »- eps), Console.WriteLine( "Result: xl - (8) nn(iteratsiya soni) - (11”, x18, n): Console.WriteLine("nx2 8 - (@)neps » (1)", x2 8, eps), x8 0 - x2 0- (x9-x2 @)“Tenglama(x2 8) / (Tenglama(x8) Tenglama(x2 8)): x@ - x2 0 - Tenglama(x2 @) / Tenglama hosilasi(x2 8), farg - x80 - x0, X2 0 - xO, X0 - x00, nttj J while (Math.Abs(farg) »- eps), Console.WriteLine( "Result: x2 - (@j)nn(iteratsiya soni) - 111”, x2 8, N): Console.WriteLine("Inx3 8 - (@)neps » (1)", X3 8, eps), nz-68, xXx - 4, do 1 x8 0 - x3 0- (x9-x3 @)“Tenglama(x3 8) / (Tenglama(x8) - Tenglama(x3 8)): x @ - x3 @- Tenglama(x3 8) / Tenglama hosilasi(x3 8), farg - x80 - x0, X3 0 - xO, X0 - x00, nttj J while (Math.Abs(farg) »- eps), Console.WriteLine( "Result: x3 - (@j)nn(iteratsiya soni) - 111”, x3 8, n): Console.ReadKey(), static void Main(stringl) args) 1 Methodvatarlar(), Natija:
Vatarlar usulining blok sxemasi Nyuton usuli (Urinmalar usuli) Mayli xoela:bD) fO)-0 (1) tenglamaning ajratilgan ildizi b ildizini £ — 0 aniglikda hisoblash talab gilinsin. Buning uchun Nyuton usulini go'llash mukin. Nyutonusulini formulasini algebraik va geometrik usullar bilan keltirib chigarish mumkin. . Algebraik usullar bilan hisoblash formulasini tuzish. Mayli xx (1) dan olingan x“ela: b| ildizga yaginlashuvchi bo'lsin. Unda uni Xx Exe the ko'inishida yozish mumkin. h, ba'zi kichik go'shimcha. Shunda OTSA)TSGAx the) F5 SG) The f Mo) tagribiy tengligini yozish mumkin bo'ladi. (2) Bundan h, go'shimcha kichik migdorni hisoblash mumkin. hk fa) — — f' Gx) Shunda (2)-formuladan guyidagi itaratsion jarayonni yozish mumkin. fx) AG Yesa TX AG k—012... (3)
Bu formula Nyuton usulini hisoblash formulasi deyiladi. . Nyuton usulini hisoblash formulasini geometrik usul bilan tuzish bu ning sababi bu oddiy Nyuton usuli ni urinmalar usuli deb ham atashadi , ma' geometrik ma'noga ega uning har xil gadamda y — f(x) egri chizig'i , bu egri chizigning ba'zi nugtasiga yurgizilgan urinma bilan almashtiriladi. Boshgacha aytganda egri chizig to'g'ri chizig bilan yaginlashadi shuning uchun bu usulni urinmalar usuli deb ham atashadi. Bu usulning hisoblash algoritimini keltirib chigarishning asosiy ikki holati mavjud. l-holat. f(a) Sa, f(D)”0,f'GO)50,f"G)»0 Buholda xg—-b debolib y— f(x) egri chizigning ustida yotgan Bb: f (b)) orgali urinma yurgiziladi. Bu urinmaning x o'gi kesib o'tish nugtasi absissasi Xx, nugtasi x” € Ja: b| ildiziga birinchi yaginlashish hisobida gabul gilinadi. Endigi masala x, ni hisobash formulasini keltirib chigarish BIb, f(b))| nugta orgali O'tuvchi to” g'ri chizigning tenglamasidan foydalaniladi. Bunday tenglama y—- SO) GX —b)xf'(b) ko'rinishida yozilishi ma'lum. Bu urinmaning Ox o'gi bilan kesilish nugtasini aniglash uchun y—0 x—x, deb hisoblaymiz shunda SO) Gb) f' DD), TO f'(D) xieb- f'(D) (4) Endi x €fa:xi| kesmada yotadi. Buholda Blxu, f(xi)) egri chizig'l o'tkazilgan urinmaning tenglamasi y SO) Gum) fGAa) yA 0, Xex bo'lganda f Ga) f' Gu (5) formulasi kelib chigadi. Bu jarayonni ketma ket davom ettirib guyidagi umumiy formulaga ega bo'lamiz. Xx. TX k11 “ fx) FG » Xorb 0 , k—0,1,2... 6 (6) 2-holat. f(A) » 0, f(D) S0 , f"G)-O , f' GO)E S0 Buholda x €lfa:b| ildizga ketma ket yaginlashadi. Bu ildizning chap 's tomonidan joylashgan va ular monoton o'suvchi va x ildizi bilan chegaralangan sonlar ketma ketligi doimo chegarlangan limitga ega bo'ladi. U holda X1 X2, X3, «.. Xxs1 hisoblash uchun yugorida keltirilgan usuldan foydalaniladi. Avvala nugtasi orgali Ala, f(a))| y— f(x) Hfunksiyaga yurgizilgan urinma tenglamasi yoziladi. Bu tenglama y- fla) Xx —a)xf'(a) ko'rinishida yoziladi. Agar bunda f(a) x" €(a:b) f'(a) y — 0, ,x — x, deb ' — f(a) — (xi—a)xf'(a) bundan 0'z bo'lganda urinma tenglamasi. y- SE) Gx) ef Ga) ys0 XT X2 deb olsak f Ga) Ex TA FG) 8 Ml tenglama kelib chigadi. Umumiy formula PE) Xxt1 FT XK FG ca
(9) Nyuton usulining (6) va (9) hisoblashlaridan foydalanib berilgan tenglamaning ajratilgan ildizlarini kerakli aniglik bilan hisoblash uchun birinchi navbatda yechilgan masala ildizi yotgan kesmaning gaysi chetki nugtasi avval x5 nugtasi sifatida gabul etsa bo'ladi. Bu masalani yechish uchun guyidagi goidadan foydalanish lozim. . Agarda f(a)x f"(a) » O bo'lsa xg —a deb olib (9) formuladan foydalanish kerak. . Agarda f(bD)xf"(b)”» O bo'lsa xg —b deb olib (6) formuladan foydalanish kerak. Usulning xatoligini baxolash Agarda xg boshlang'ich yaginlashish x' ildizga yaginlashadigan etib saylab olinsa Nyuton usuli kvadratik tezlik bilan yaginlashgan bo'ladi. Buning ma'nosi guyidagicha M. m lx el Sgm le aa (10)
Agarda Mz Je xl Sg S1 2myi (11)
sharti bajarilganday etib x5 avvalgi yaginlashish saylab olinsa uholda (10)
Mz a u “am 1 , IX —xd 2S 10 uholda (10) formuladan lx" — xeaa| 102m (12) tengsizligi kelib chigadi buning ma'nosi guyidagicha : Xx yaginlashishi m sondagi ishonchli ragamga ega bo'ladi. Nyuton usulining xatoligini baxolaganda gulaylik uchun vatarlar usulining xatoligini baholashda keltirilgan (13) my — minif'G)I » ma — maxi") la: b) belgilshlaridan foydalanilgan. Nyuton usulining soddalashtirilgan usuli X S3) Xki1 FT XT FG k—01,2... (14) yaginlashuvechi bo'lishi isbotlangan. Berilgan tenglamaning karrali ildizlarini hisoblash uchun Nyuton usulini go'llaganda bu usul ham karrali ildizlarga chizigli tezlik bilan yaginlashuvchi bo'ladi. Amaliy misol fA)— - 2x3—-3x2 - 12x —-5—0 Avvaliga hosila olamiz: fO)-6ex2-6x—-12—0 Endi bu f(x) — 0 tenglamaning xagigiy ildizlarini topamiz (f(x)tenglama ildizlari shu oraliglarda yotadi). X2, X3 1 nugtalarda funksiya giymatlarini ishoralar i almashadi va f(x) funksiyaishoralar jadvalini tuzamiz: Tenglama 3 ta ildizga ega (ishora almashgan oraliglarda): x1 EC: —11, x2 € (1:2) va x3 € (2: to). Oraliglarni gisgartiramiz: X -2 BI 0 11 2 3 pi 0) DIDI Biz tenglamani bitta hagigiy ildizini tagribiy hisoblaymiz. Demak, x, € (2: 11, xx € (1:0) va x3 € (3: 41. 1-ildizni topamiz: xi E-2:-115 f2) S 0: f1) 50: FG) — 12x — 6. foydalanamiz: n-2 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz | —1,4318 — (-1,4754)| — 0,0436 0,0 1,4 1,4 — —1 4318 1,4 X3 147 5 4 1,4 2x (—1,4754) 3 — 3x (-1,4754)2 — 12x (—1,4754) —5 1,4 1,4 6x (1,4754)2 — 6x (—1,4754) —12 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz | — 1,4754 — (—1,625)| — 0,1496 0,1 1, 6 1,4 — —147 5 4 1,4 X3 — —1,625 —5 2x (-1625)3 — 3x (-1625)2— 12x (1,625) 6x (-1625)2— 6x (1,625) —12 1, 6 n-1 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz | — 1,625— (-2)| — 0,375 1, 6 6 26x 2) 12 X1 1,625 1, 6 " 2 24 (23 — 3 (202-124 (-2)—5 n-0 X1 ni topamiz: 1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz Hisoblash jarayonini |Xns1 — — n-0,1,2, ... SEn) D Xnt1 “ Xn— F SEn — FaD f " ( —2 Sx 5 —1bo'lganda f"(x) £ 0. Hisoblash uchun Nyuton formulasidan n-3 x4— —1, 4318 2x(—1, 4318) —3x (1, 4318)? —-12x (1, 4318)—5 6x1, 4318)2—6x (1, 4318)—-12 1 , 4 1 , 4 — —1 4499 1 ,4 |—1,4499 — (1, 4318)| — 0,0181 0 , 0 1 ,4 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n - 4 X 5 1 4499
2 x (-1,4499)3 — 3 x (—1,4499)2 — 12 x (—1,4499) — 5 1 ,4 1 ,4 1 ,4 1 ,4 6 x (—-1,4499)2 — 6 x (—1,4499) — 12 — —1 4503 1 ,4 |—1,4503 — (—1,4499)| — 0,0004 0 , 0 1 ,4 1 ,4 Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak 0 , 0 1 ,4 hisoblash jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x, — —1,4503 ga teng bo'ladi. 2-ildizni topamiz: x2E-B0ESCD50 FO)S0fGA) 1 2x
6. —1 £ x g 0 bo'lganda f(x) £ 0. Hisoblash uchun Nyuton formulasidan foydal anamiz: S Gn ) f Gn) n-0,1 ,2, ... 1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz Hisoblash jarayonini | Xns 1 — X2 ni topamiz: n - 0 X 1 12K
(0)6 02 - 65 0)—12 1—0,5833 — 01 — 0,5833 0 , 5 0 5833
Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n-1 X2 0,5833
0, 5 0, 5 6x (-05833)2 — 6x (—0,5833) — 12 0, 5 — —049 3 2 0,4 1 — 0,4932 — (—-0,5833)| — 0,0901 0,0 0,4 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n-2 2x (—-0,4932)3 — 3x (-0,4932)2 — 12x (—0,4932) 6x (0,4932)2 — 6x (—0,4932) — 12 0,4 0,4 X3 — —0,4932 —5 — —04999 6 0,4 1 — 0,49996 — (—0,4932)| — 0,0068 0,0 0,4 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz n-3 X4 — —0,49996 2x (—-0,49996)3 — 3x (—0,49996) 2 — 12x (—0,49996) —5 6 (-0,49996)2 — 6x (—0,49996) — 12 0,4 0,4 — —049999 0,4 1 — 0,49999 — (—0.49996)| — 0,000039 0,0 Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak 0,0 o' hisoblash jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x2 — —0,49999 ga teng bo'ladi. 0,4 3-ildizni topamiz: x3 EB4E SO) S0 FA) 50: FG) — 12x — 6. 3 Sx 5 4bo'lganda f(x) » 0. Hisoblash uchun Nyuton formulasidan foydalanamiz: SEn) D
SEn — FaD n-0,1,2, ... 1 — Xn| £ 0,001 gacha davom ettiramiz Hisoblash jarayonini |Xns1 — X3 ni topamiz: nz0 2x (3) 3 — 3x (3)22 - 12x (3) —5 6x (3) 2— 6x(3) —- 12 X1 13,5833 — (3)| — 0,5833 3 5 833 3, 5 Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz nz-1 X2 3032
6x (3,5833) 2 —6 « (3,5833)— 12 0,1 13,457 — (3,5833)| — 0,1263 3457
Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz nz-2 X3 3,457
6x (3457)? — 6x (3,457) — 12 0,0 13,4495 — (3,457)| — 0,0075 3449 5
Modul ayirma 0,001 dan kichik emas demak hisoblash jarayonini davom ettiramiz nz3 X4 — 3,4495 2x (3,4495) 3 —3 « (3,4495)2 — 12 «(3,4495) —5 6x (3,4495) 2 — 6x(3,4495)— 12 0,0 13,449489 — (3,4495)| — 0,00001 3449489
Oxirgi tagribiy ildizlar ayirmasini moduli 0,001 dan kichik, demak 0,0 hisoblash jarayonini to'xtamamiz va biz gidirgan tagribiy yechim x3 — 3,449489 ga teng bo'ladi. 3,4 Javob: 1 ,4 Xi — —1,4503: 3,4 X2 — —0,49999: —— x3 — 3,449489, Nyuton usulining C# dasturlash tilida tuzilgan dasturi: using System, using System.Collections.Generic, using System.Ling, using System.Text, using System. Threading.Tasks, namespace Hisoblash usullari 1 1 class Program 1 // Tenglama metodi orgali berilgan tenglamaning x dagi giymati hisoblanadi. static double Tenglama (double x) 1 return 2“Math.Pow(x,3)-3“Math.Pow(x,2)-12x-5, ! // Tenglama hosilasi metodi orgali berilgan tenglama hosilasining x dagi giymati hisoblanadi. static double Tenglama hosilasi(double x) 1 return 6“Math.Pow(x,2)-6“x-12j z
foydalangan holda tenglamaning ildizlarini chigarib beradi. public static void MethodNewton() 1 int n-06, // eps - ganday aniglikda hisoblanishi, // x10, x2 0, x3 @ - har bir ildizning oralig intervallari topilib, b, mos ildiz uchun tanlangan boshlang' ich giymatlar, x30 - 3, eps), 2, x2 0 - O, double x8, eps - 0 .001, x1 0- -2, Console.WriteLine("x1 @ - (@)neps - (1)”", x12 8, do 1 x@ - x1 0 - Tenglama(x1 8) / Tenglama hosilasi(x1 8), X1l0 - xO, nttj j while (Math.Abs(Tenglama(x1 8)) »- eps), Console.WriteLine( "Result: xl - (8) nn(iteratsiya soni) - (13”, x18, Nn): Console.WriteLine("nx2 8 - (@)neps » (1)", x2 8, eps), nz-68, do
x@ - x2 0 - Tenglama(x2 @) / Tenglama hosilasi(x2 8), X2 0 - xO, nttj j while (Math.Abs(Tenglama(x2 8)) »- eps), Console.WriteLine( "Result: x2 - (@)nn(iteratsiya soni) - (17”, x2 0, Nn), Console.WriteLine("Inx3 8 - (@)neps » (1)", X3 8, eps), nz-68, x @ - x3 @- Tenglama(x3 8) / Tenglama hosilasi(x3 8), X3 0 - xO, nttj j while (Math.Abs(Tenglama(x3 8)) »- eps), Console.WriteLine( "Result: x3 - (@j)nn(iteratsiya soni) - (11", x3 O, n), Console.ReadKey(), static void Main(stringl) args) 1 MethodNewton(): (iterat s iya s UN Au n(iterat s ia iy Nyuton usulining blok sxemasi 3 P4 1 Vatarlar va urinmalar usulining birlashtiruvchi usuli Yugorida keltirilgan vatarlar va urinmalar usulining hisoblash algoritimini soddalashtirib guyidagi xulosaga kelamiz: Agar vatarlar usuli izlanayotgan x” x chap tomondan yoki kamisi bilan yaginlashuvehi bo'lgan urinmalar usuli bilan ildizga oO'ng tomondan ya'ni ordinatari bilan yaginlashuvchi bo'ladi. Shu holatlarni hisobga olib bu usullarni biri go'llanilsa u holda ildiz yotgan kesmaning uzunligi bunday biriktirilgan usulning har bir gadamida 2 marta kamayishi mumkin. Bu holda hisoblashni olib borib tenglamaning ajratilgan ildizini tez ham yugori aniglik bilan hisoblash magsadida bu usullar birgalikda go'llaniladi. Bunda guyidagi ikki holat mavjud. l-holat. f 'O)xf"GO) » 0 , , x e Ela: b) ildiziga chap tomondan yaginlashadi. Shuni hisobga olib bu birgalikli usulni hisoblash formulasini guyidagicha yozish mumkin. fax)
ama SE F FO -Ra) f (be) D f besi — bx “ F f (e) “FGD bg aga , , k-012.. 0 (1
Xker 1 7 1 Gesi t Xii) Seri Opsi Xeri F besi (2) Xxs1i—x Ela:b| ildizlarining hammasi bilan topilgan yaginlashishi Xxs1i—x Ela: b) ildizining ortig'i bilan topilgan yaginlashishi. 2-holat . . f 'O) x f"Gx)S 0 , , x ela b) x ella: b| bu holda Nyuton usuli o'n ildiziga o'ng tomondan x" € fa: b) ildiziga yaginlashadi. Shuni hisobga olib bu usulning hisoblash formulasini guyidagicha yozish mumkin. ana kn RO i fiao ag KT KO pa KT f br) FO) TG) 3 Kera FS Desi Seri SF Aksi » Xxi1 7 5 Gkia Tt Xkai) » ao—0 bpr0 k0,12... (4) Ko'phollarda xxs1i —0 yaginlashish xatoligini 1 — Xx SE IXxs1 — formulasi bo'yicha hisoblanadi. Xulosa
Bir noma'lumli chizigli emas tenglamalarni vatarlar hamda Nyuton usullari bilan tagribiy hisoblashni ko'rib chigdik. Kurs ishimiz davomida e vatarlar usuli hagida nazariy ma'lumotlar e vatarlar usulining xatoligini baholash e vatarlar usulining algaritmlari e Nyutonning algebraik va geometrik(urunma) usulining kelib chigishi hagida nazariy ma'lumotlar e Nyuton usulining xatoligini baholash e Nyuton usulining algaritmlar Ko'rib chigildi va o'rganildi. Algaritmlarni dastur korinishida va blok sexemalar korinishida ham keltirib o'tdik. Foydalanilgan adabiyotlar Isroilov M.I “Hisoblash metodlari” 1-gism Isroilov M.I “Hisoblash metodlari” 2-gism Ismatullaev G.P, Kosbergenova M.S “Hisoblash usullari” T-2014 Siddigov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O'guv go'llanma. T-2001 5. Abdugodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent. "O' gituvchi"-1989 6. www.ziyonet.uz 7. https://library.ziyonet.uz 8. www.ziyouz.com 9. https://uzsmart.uz 10.https://art.samdu.uz 11.https://hozir.org 12.www.researchgate.net Download 256.59 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|