Обыкновенное дифференциальное уравнение

Реферат на тему:

Обыкновенное дифференциальное уравнение

План:

Введение

• 
  1 История
  
• 
  2 Примеры
  
• 
  3 Дифференциальные уравнения первого порядка
  
  • 
    3.1 Уравнения с разделяющимися переменными
    
    • 
      3.1.1 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными
      
      • 
        3.1.1.1 Охлаждение тела
        
  • 
    3.2 Однородные уравнения
    
  • 
    3.3 Квазиоднородные уравнения
    
  • 
    3.4 Линейные уравнения
    
    • 
      3.4.1 Метод интегрирующего множителя
      
    • 
      3.4.2 Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
      
  • 
    3.5 Уравнение Бернулли
    
• 
  4 Литература
  
  • 
    5.1 Учебники
    
  • 
    5.1.2 Задачники
    
  • 
    5.2.3 Справочники
    
  
  Примечания
  

Введение

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).
Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющихся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, т.е. изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).
Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида

в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.
В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.
Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие

где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:

При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнение имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).
Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.