Обыкновенное дифференциальное уравнение

3.4. Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

3.4.1. Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция — интегрирующий множитель, в виде:

Умножим обе части исходного уравнения на , получим:

Легко заметить, что левая часть является производной функции по . Поэтому уравнение можно переписать:

Проинтегрируем:

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

3.4.2. Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Рассмотрим однородное уравнение . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

,

получаем:

,

где c₁ — произвольная константа.
Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки в решение однородного уравнения:

3.5. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

4. Литература