Обратная матрица

Запишем матрицу в виде:

Главный определитель
∆=3∙((-3)∙(-1) - (-5)∙1) - 2∙((-4)∙(-1) - (-5)∙5) + 3∙((-4)∙1 - (-3)∙5) = -1
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.

∆_1,1 = ((-3)∙(-1) - 1∙(-5)) = 8

∆_1,2 = -((-4)∙(-1) - 5∙(-5)) = -29

∆_1,3 = ((-4)∙1 - 5∙(-3)) = 11

∆_2,1 = -(2∙(-1) - 1∙3) = 5

∆_2,2 = (3∙(-1) - 5∙3) = -18

∆_2,3 = -(3∙1 - 5∙2) = 7

∆_3,1 = (2∙(-5) - (-3)∙3) = -1

∆_3,2 = -(3∙(-5) - (-4)∙3) = 3

∆_3,3 = (3∙(-3) - (-4)∙2) = -1
Обратная матрица.


Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

E=A∙A^-1=

3∙8+(-4)∙5+5∙(-1)	3∙(-29)+(-4)∙(-18)+5∙3	3∙11+(-4)∙7+5∙(-1)
2∙8+(-3)∙5+1∙(-1)	2∙(-29)+(-3)∙(-18)+1∙3	2∙11+(-3)∙7+1∙(-1)
3∙8+(-5)∙5+(-1)∙(-1)	3∙(-29)+(-5)∙(-18)+(-1)∙3	3∙11+(-5)∙7+(-1)∙(-1)

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Обратная матрица онлайн
Вместе с этой задачей решают также:
Умножение матриц онлайн
Матричный калькулятор
Аналитическая геометрия и векторная алгебра
Определитель матрицы
Координаты вектора в новом базисе