Оддий дифференциал тенгламага қўйилган масалани тақрибий ечиш. Коши масаласи

2. Эйлер усулининг ишчи алгоритми ва дастур таъминоти.
Бизга қуйидаги биринчи тартибли дифференциал тенглама(Коши масаласи)ни
y’f(x,y) (2)
[a,b] оралиқдаги y₀y(x₀), х₀а бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш лозим бўлсин.
Коши масаласини Эйлер усули ёрдамида ечиш учун, дастлаб дифференциал тенгламанинг ечими қидириладиган [a,b] кесмани x₁,x₂,...x_n тугун нуқталар билан бўлакларга бўламиз. Тугун нуқталарнинг координаталари x_i1a(i1)h (i0..n-1) формула орқали аниқланади. Ҳар бир тугунда y(x_i) ечимнинг қийматларини чекли айирмалар ёрдамида тақрибий y_i қийматлар билан алмаштирилади.
(2) дифференциал тенгламани х_i нуқта учун ёзиб y^’(x_i) f(x_i, y(x_i)) олиб, чекли айирмали формуладан фойдаланамиз ва натижада қуйидаги Эйлер формуласига эга бўламиз:



Маълумки, yf(x) функциянинг xx₀ нуқта атрофидаги Тейлор қаторига ёйилмасини қуйидагича ёзиш мумкин:


Ушбу чексиз қаторнинг бошидаги иккита ҳад билан чегараланиб, биринчи тартибли ҳосила қатнашган ҳадни аниқлаш натижасида қуйидаги чекли айирмали формулани ҳосил қиламиз:
(3)
Ушбу алмаштиришнинг геометрик маъноси қуйидагича:
Хосиланинг геометрик маъносига кўра

(3) дан
Демак, чекли айирмалар формуласи ҳосиланинг асл қийматидан га фарқ қилади, яъни BE қанча кичик бўлса, чекли айирма y’ ҳосилага шунча яқин бўлади. Расмдан да эканини кўриш мумкин. (2) ва (3) дан эканини ҳисобга олиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(4)
Ҳосил қилинган (4) формула Эйлер усулининг асосий ишчи формуласи бўлиб, унинг ёрдамида тугун нуқталарга мос бўлган дифференциал тенгламанинг y_i хусусий ечимларини топиш мумкин. Юқоридаги формуладан кўриниб турибдики, y_i1 ечимни топиш учун y_i ечимнигина билиш кифоя. Демак, Эйлер усули бир қадамли усуллар жумласига киради.
Эйлер усулининг геометрик маъноси қуйидагича:

А нуқта xx_i нуқтага мос келувчи ечим бўлсин. Бу нуқтадан интеграл чизиққа ўтказилган уринма x_i1 нуқтада бошқа интеграл чизиғида y_i1 ечимни аниқлайди.


Уринманинг оғмалиги ҳосила билан аниқланади. Демак, Эйлер усулидаги йўл қўйилган асосий хатолик ечимни бир интеграл чизиғидан бошқасига ўтказиб юбориши билан характерланади.


Эйлер усулига мос алгоритм блок-схемаси.

3.Рунге-Кутта усулининг ишчи алгоритми ва дастур таъминоти.

Бир қадамли ошкор усулларнинг бошқа бир неча хиллари ҳам мажуд бўлиб, уларнинг ичида амалда энг кўп ишлатиладигани Рунге-Кутта усули ҳисобланади. Усул шартига кўра ҳар бир янги x_i1 тугун нуқтадаги y_i1 ечимни топиш учун f(x,y) функцияни 4 марта ҳар хил аргументлар учун ҳисоблаш керак. Бу жиҳатдан Рунге-Кутта усули ҳисоблаш учун нисбатан кўп вақт талаб қилади. Лекин Эйлер усулидан кўра аниқлиги юқори бўлганлиги учун, ундан амалда кенг фойдаланилади.
Усулнинг ишчи формуласи қуйидагича ёзилади:

бу ерда ;

Демак, формулалардан кўриниб турибдики, Эйлер усули биринчи тартибли Рунге-Кутта усулига мос келади.