Oddiy differentsial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari

7. Sohachalar usuli


a=x₀₁<..._n=b bo`lsin. y_n(x) taqribiy echim koeffitsientlari quyidagi tenglamalar sistemasidan topiladi

Bunda yana a_i, larga nisbatan ChATSga kelamiz. Bu usulni ishlatishda extiyot bo`lish kerak, agar [x<sub>i-1</sub>, x<sub>i</sub>] intervallar uzunligi kichik bo`lmasa hamda funktsiya x bo`yicha tez o`zgaruvchiligidan, usul yomon natija berishi mumkin.


7. Galyorkin usuli
Galyorkin usulining asosida ₁, ₂,...,_n bazis funktsiyalari (4) tafovut funktsiyasiga ortogonal qilib tanlanadi, ya`ni

Bu shartlardan a_i noma`lumlarni topish uchun

ChATSga ega bo`lamiz.

8. 
   Vaznli tafovutlar usuli haqida umumiy ma`lumotlar
   

Chegaraviy masalalarning yuqorida qaralgan taqribiy echish usullarining umumiy asosi mavjud. Umumlashgan usul vaznli tafovutlar usuli deyiladi.

Faraz qilaylik egri chiziq bilan chegaralangan qandaydir sohada berilgan funktsiyani approksimatsiya qilish talab qilingan bo`lsin. Dastlab chegarada funktsiya bilan mos tushuvchi approksimatsiyani topish bilan shuғullanamiz. Agar da ning qiymati bilan bir xil bo`lgan qandaydir funktsiya topilsa, ya`ni hamda (barcha lar uchun ) chiziqli erkli bazis funktsiyalar sistemasiga keltirilsa, u holda da uchun quyidagi approksimatsiya taklif qilinishi mumkin:
(9)
bu erda ( ) – qandaydir parametrlar. Bazis funktsiyalar ba`zan forma funktsiyalari yoki namuna funktsiyalari deyiladi.
sistema shunday xossaga ega bo`lishi kerakki, shartni qanoatlantiruvchi da kombinatsiya ixtiyoriy funktsiyani etarlicha aniqlikda ifodalashi lozim. Bu to`lalik sharti deb ataladi.
Approksimatsiyada qoida bo`yicha aniqlanadigan xatolik yoki tafovut tushunchasini kiritamiz.
- ning nuqtalari koordinatalaridan boғliq funktsiya. sohada bu tafovutni kamaytirish uchun, turli vaznlar bilan olingan xatolik integrallarini nolga tenglashishini talab qilamiz, ya`ni
, (10)
bunda - chiziqli erkli vaznli funktsiyalar to`plami.
(9) ni (10) ga qo`ysak vaznli tafovutlar usuli tenglamalari sistemasi ga nisbatan ChATSga keladi. Uni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin

bu erda
,


Amaliyotda turli vaznli funktsiyalar sistemasi ishlatilishi mumkin. Bunda turli vaznli tafovutlar vositasida olinadigan approksimatsiya usullariga ega bo`lamiz.

1.