Oddiy iteratsiya usulining yaqinlashish sharti Oddiy iteratsiya usulini amalga oshirish algoritmi Oddiy iteratsiya usuliga doir masalalar yechish

Mavzu: Tenglamarni taqribiy yechishning oddiy iteratsiya algoritmlari, dasturi
Reja

1. 
   Oddiy iteratsiya usulining yaqinlashish sharti
   
2. 
   Oddiy iteratsiya usulini amalga oshirish algoritmi
   
3. 
   Oddiy iteratsiya usuliga doir masalalar yechish
   

(Kalit so’zlar: iteratsiya, oddiy iteratsiya. Yaqinlashish sharti, hisoblash algoritmi, dastur kodi,


(1) tenglamaning ildizini ketma-ket yaqinlashish usulida topish uchun (1) tenglamani (2) ko‘rinishdagi teng kuchli tenglama bilan almashtirib olamiz.
(1) tenglamaning ildizi to‘g‘ri chiziq va egri chiziqning kesishish nuqtasining abtsissa bo‘ladi. Bunday usulda ildizga yaqinlashish 1-rasmda tasvirlangan.
Faraz qilaylik izlanayotgan α ildizga dastlabki yaqinlashuvchi qiymat bo‘lsin. Birinchi yaqinlashuvchi ildiz –ni orqali aniqlaymiz.
Endi –ni boshlang‘ich yaqinlashish deb olib, ikkinchi yaqinlashuvchi ildizni orqali topamiz.
Xuddi shunday jarayonni davom ettirib, -ni yaqinlashuvchi ildizni bilan aniqlab olamiz.

1-rasm.
Iteratsiya yaqinlashishining yetarlilik sharti. Iteratsiyaning ketma-ket qadamlarida aniqlangan ildizga yaqinlashuvchi qiymatlar (1) tenglamaning ildizi bo‘lgan songa yaqinlashadimi yoki yo‘qligi aniq emas. Shuning uchun ham biz dastlabki yaqinlashuvchi ildiz sifatida olinadigan qiymatni larning birortasi α ildizga yaqin bo‘ladigan qilib tanlab olishimiz kerak. Quyidagi teorema boshlang‘ich ni to‘g‘ri tanlashga yordam beradi.
Teorema: Agar: 1) tenglamaga ekvivalent bo‘lgan tenglamaning ildizi bo‘lsa, 2) - nuqtani o‘z ichiga olgan ixtiyoriy interval bo‘lsa, 3) intervalga tegishli barcha lar uchun bo‘lsa, u holda ildiz joylashgan interval dan tanlangan boshlang‘ich yaqinlashish uchun ketma-ket aniqlangan lar ildizga yaqinlashadi.
Isboti. qiymat tenglamaning ildizi bo‘lganligi uchun bo‘ladi.
Agar va lar ildizga yaqinlashuvchi 2 ta ketma-ket qiymatlar bo‘lsa u holda bo‘ladi.
(1)
O’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan: bu yerda .
Bundan, (1) tenglik ko‘rinishga keladi.
Agar barcha lar uchun bo‘lsa, u holda
(2)
Xuddi shunday, , ya’ni
bo‘ladi. Bu jarayonni ketma-ket davom ettirsak, ga ega bo‘lamiz.
bo‘lganda, bo‘lgani uchun oxirgi tengsizlikning o‘ng tomoni 0 ga intiladi, shuning uchun ham yaqinlashish ketma-ketligi ildizga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Eslatma: 1. ning qiymati qancha kichik bo‘lsa, ildizga shuncha tez yaqinlashadi.
2. Ushbu iteratsiya usuli cheksiz qator ko‘rinishda berilgan tenglamalarning haqiqiy ildizlarini topishda juda qulay.