1-2 tajriba mashg'ulotlari. Algebraik va transendent tenglamalarni yechish usullari va algoritmlari

1-2 TAJRIBA MASHG'ULOTLARI.

ALGEBRAIK VA TRANSENDENT TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI VA ALGORITMLARI

Iteratsiya usuli yoki oddiy iteratsiya usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini hal qilishning raqamli usuli. Usulning mohiyati keyingi yondashuvning taxminiy qiymatini aniqroq topishdir.
Bu usul tizim ildizlarining qiymatlarini ma'lum bir aniqlik bilan olish imkonini beradi ketma-ketlik chegarasi ba'zi vektorlar(iteratsiya jarayoni natijasida). Yondashuvning yaqinligi va usulning o'xshashligi aslida ildizning dastlabki yondashuvini tanlashga bog'liq.

Ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=(x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.
1-teorema. Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differentsiallanuvchi bo‘lsin;
2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x=(x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim qanday tanlanishidan qatoiy nazar
t₁=(t₀) , t₂=(t₁) ,. . . , t_n=(t_n-1),…
formulalar bilan aniqlanadigan { t_n } ketma – ketlikning limitidan iborat bo‘ladi.

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=(x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda, t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 <(1-q)/q shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
Birinchi shakilda >0 bo‘lganda pog‘anasimon va ikkinchi shakilda <0 bo‘lganda speralsimon yaqinlashish bshlganda yaqinlashuvchiligini ko‘ramiz.