Оddiy vа murаkkаb zаnjirlаrni kоmplеks usul bilаn hisоblаsh. Reja: Ketma–ket ulangan zanjirlarni hisoblash. Parallel ulangan zanjirlarni hisoblash

ОDDIY VА MURАKKАB ZАNJIRLАRNI KОMPLЕKS USUL BILАN HISОBLАSH.
REJA:
1. Ketma–ket ulangan zanjirlarni hisoblash.
2. Parallel ulangan zanjirlarni hisoblash.
3. Aralash ulangan zanjirlarni hisoblash.
4. Foydalanilgan adabiyotlar

1. Ketma –ket ulangan zanjirlarni hisoblash. Amaliyotda elektr zanjirlari asosan r qarshilikli, L induktiv cho‘lg‘amli va S sig‘imli uchastkalarni bir–biriga ulanishi orqali hosilqilinadi. Oxirgi ikki kattalik X reaktiv qarshilikni beradi. Zanjir uchaskalarini ketma–ket ulashda (7.1–rasm) butun zanjir zajimlaridagi kuchlanish harbir alohida uchastkalaridagi kuchlanishlar pasayishlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi:   n k U UК 1 (7.1) Sinusoidal jarayonlarda, kompleks uslubdan foydalanib va tok zanjirining barcha uchastkalarida bir xil ekanligi uchun yozish mumkin:            n k К n k К К n k U UК I Z I Z IZ 1 1 1      (7.2) bu yerda: Zk = rk + j x k (7.3) (7.3) formula k - uchastkaning kompleks qarshiligini aniqlash formulasi deb ataladi. Ketma–ket ulanishda butun zanjirning kompleks qarshiligi harbir uchastka kompleks qarshiliklarining algebraik yig‘indisiga teng:

kelib chiqadiki, ketma–ket ulangan alohida uchastkalarning ham aktiv, ham reaktiv qarshiliklarining algebraik yig‘indilari hisoblanib chiqishi lozim. Aktiv R va reaktiv Q quvvatlarni hisoblash uchun qo‘yidagi formulalardan foydalanamiz:             n k n k К К n k P I r I rК I r P 1 1 2 1 2 2 (7.6)            n k n k К К n k Ta’rif: Butun zanjirlarning aktiv va reaktiv quvvatlari zanjirning barcha alohida uchastkalarining aktiv va reaktiv quvvatlarining algebraik yig‘indisiga tengdir. 2. Parallel ulangan zanjirlarni hisoblash. 7.2–rasmda uchastkalari parallel ulangan zanjir sxemasi keltirilgan. Ushbu holatda zanjirga kirish nuqtasidagi umumiy tok qiymati alohida uchastkalardagi toklarning yig‘indisiga tengdir:

tengliklardan uchastkalari parallel ulangan zanjirlar uchun alohida uchastkalar aktiv va reaktiv o‘tkazuvchanliklarining algebraik yig‘indilari alohida hisoblanishi lozimligi kelib chiqadi. Aktiv va reaktiv Q quvvatlarni hisoblash uchun qo‘yidagi formulalardan foydalanamiz: P = U2 g = U2  n k 1 gk =  n k 1 U 2 gk = n k 1 Pk (7.12) Q = U2 b = U2  n k 1 bk =  n k 1 U 2 bk = n k 1 Qk (7.13) Ta’rif: Butun zanjirning aktiv va reaktiv quvvati ushbu zanjir parallel ulangan alohida uchastkalarining aktiv va reaktiv quvvatlarining algebraik yig‘indisiga tengdir.

3. Aralash ulangan zanjirlarni hisoblash. 7.3–rasmda uchastkalar aralash ulangan zanjir keltirilgan, unda ketma–ket ulangan ham, parallel ulangan ham uchastkalar ham mavjud. Shuning uchun ana shu kabi zanjirlarni hisoblashda mazkur ma’ruza rejasining avvalgi savollarida keltirilgan hisoblash formulalarini keltirish mumkin. Zanjir zajimlaridagi U kuchlanish berilgan bo‘lsin. Ko‘rsatilgan sxemaning barcha toklarini aniqlash lozim bo‘lsin. Bu yerda 2 va 3–uchastkalar parallel ulangan, shu sababli U23 kompleks o‘tkazuvchanlikni aniqlash uchun U2 va U3 kompleks o‘tkazuvchanliklarni qo‘shish zarur:

Kompleks uslubdan foydalana turib, zanjirdagi yoki uning uchastkasidagi ekvivalent o‘tkazuvchanliklar g va b o‘rtasidagi hamda ekvivalent qarshiliklar r va x o‘rtasidagi bog‘liqliklarni osongina topa olamiz. 7.3–rasmdagi birinchi uchastka birgalikda olingan ikkinchi va uchinchi uchastkalar bilan ketma–ket ulangan. U holdabutun zanjirning kompleks qarshiligi: Z = Z1 + Z23 (7.18) Z1=r1+jx1; Z23=1/23=1/(g23–jb23)=g23/(g23 2 +b23 2 )+jb23/(g23 2 +b23 2 ) (7.19) Zanjirning birinchi qismidagi kompleks tok: z I U  1  (7.20) Ikkinchi va uchinchi uchastkalardagi kompleks kuchlanishni qo‘yidagi tengliklardan topamiz: U23 1 1 23 1 Z23 U  I  Z ёки U  I       (7.21) (7.21) dan ko‘rib chiqilayotgan uchastkalardagi kompleks toklar osonlik bilan topiladi: 2 23 2 3 23 3 I  U  Y ; I  U  Y (7.22) Butun zanjir uchun Z=r+j x ni bila turib, kuchlanish va tok oralig‘idagi faza siljishi φ ni qo‘yidagi formuladan aniqlaymiz: φ = arctg x/r (7.23) Ta’rif: Aralash ulanishda butun zanjirning aktiv qarshiligi uning alohida uchastkalarida sarflanayotgan aktiv qarshiliklar yig‘indisiga teng, reaktiv qarshiligi esa mos holdagi reaktiv qarshiliklarning algebraik yig‘indisiga tengdir.

Murakkab zanjirda quvvat balansi. Elektro energetikada aktiv quvvat sotiladigan tovar bo‘lib hisoblanadi. Ushbu quvvatni uzoq masofalarga o‘zatish uni qabul qilish, iste’mol qilish va hokazolar mumkin. Ammo reaktiv quvvat iste’mol qilinadigan joyning o‘zida balanslanishi zarur. Elektr zanjirlaridagi reaktiv quvvatlar balansi Lanteven teoremasi bilan isbotlanadi. Mazkur teorema zanjirdagi barcha energiya manbalari reaktiv quvvatlarning yig‘indisi zanjir qay darajada murakkab tuzilishga ega ekanligidan qat’iy nazar, ushbu zanjirdagi elektr energiyasi iste’molchilarining reaktiv quvvatlari yig‘indisiga teng ekanligi to‘g‘risidagi masalani yechadi. Bir vaqtning o‘zida mos holdagi aktiv quvvatlar tengligi to‘g‘risidagi masala ham yechiladi, ushbu yechim to‘g‘ridan–to‘g‘ri energiyaning sohalanish qonunidan kelib chiqadi. Istalgan zanjir uchun uning tenglamalarini tuguniy kuchlanishlar usulida yozishda ularning matrisa ko‘rinishi qo‘yidagicha bo‘ladi:

Ushbu holatda o‘tkazuvchanliklar matrisasini tuguniy kuchlanishlar ustun– matrisasiga ko‘paytirish orqali shunday ifodaga ega bo‘lamizki, tenglik belgisining chap tomonidan ustun–matrisaning harbir elementi, nomeri tok belgisining pastdagi birinchi indeksga mos bo‘lgan nomerli tugunida uchrashuvchi shaxobchalar (iste’molchilar) dagi toklar yig‘indisini anglatadi. (8.1) tenglamaning ung tomonidagi matrisaning harbir elementi mos holdagi tok manbalari toklarning yig‘indisiga tengdir.



Harxil rejimda ishlaydigan murakkab zanjirlarni hisoblash. Mazkur kursda o‘zgaruvchan tokli murakkab elektr zanjirlarini hisoblashning xilma–xil usullari ko‘rib chiqiladi. Shuning uchun ushbu savolda biz vaqt bo‘yicha o‘zgarmas E.Yu.K. va tokka ega bo‘lgan manbalar ta’siridagi murakkab elektr zanjirlarini hisoblashni qisqako‘rib chiqamiz. Mazkur hisoblashning farqlovchi xususiyati bo‘lib, real induktiv cho‘lg‘amlarda faqatgina ular o‘ramlarining aktiv 40 qarshiligi, real kondensatorlarda esa faqatgina ularning isrof o‘tkazuvchanligigina hisobga olinadi. Agarda L va S uchastkalarida isroflari bo‘lmagan, ekvivalent elektr sxemasi ko‘rinishidagi elektr zanjirlari ko‘rib chiqilayotgan bo‘lsa, (cho‘lg‘am o‘ramlari qarshiligi va kondensator isrof o‘tkazuvchanliklari alohida uchastka ko‘rinishida ajratib chiqilgan). L induktivli uchastkani qisqatutashgan deb, S kondensatorli uchastka esa o‘zilgan (ajratilgan) deb hisoblash kerak. Bu shuningdek, rasman ω→0 bo‘lganida ham kelib chiqadi. Boshqacha aytganda ω=0 bo‘lganida XL = ωL = 0; XC = 1/ωC =∞ (8.12) (8.12) ifoda shundan kelib chiqadiki, o‘zgarmas toklarda, cho‘lg‘amda o‘zinduksiya E.Yu.K. i induksiyalanmaydi va ideal kondensatorlarning zajimlarida o‘zgarmas kuchlanishda ular orqali tok utmaydi. Demak, o‘zgarmas tokli zanjirlarda hisoblashlar nisbatan ancha sodda bo‘ladi, chunki bu holdasinusoidal toklar tenglamalaridan kompleks miqdorlar o‘rniga faqatgina haqiqiy miqdorlar ushbu tenglamalarda qatnashadi. Faqatgina tenglamalarni tuzishda barcha «ishoralar» qoidalariga qat’iyan rioya qilish zarur. Ideal zanjirlarda (bu holdazanjir sxemasining barcha shaxobchalarida ideal kondensatorlar kiritilgan va o‘zgarmas E.Yu.K. ta’sirida ushbu zanjirdagi tok nolga teng bo‘ladi). Faqatgina zanjirdagi kuchlanishning kondensator bo‘yicha taqsimlanishini aniqlash masalasigina qo‘yilishi mumkin. Bu holda, faraz qilaylik E.Yu.K. ta’sir qila boshlagunga qadar kondensatorlar zaryadsizlangan bo‘lsin, u holdao‘zgarmas E.Yu.K. lar ta’sirida kuchlanishning taqsimlanishi xuddi shunday sxemada sinusoidal kuchlanish ta’sir etayotgan holdagidek bo‘ladi (harbir shaxobchasida ideal kondensatorlar kiritilgan, miqdor jihatdan o‘zgarmas E.Yu.K. ga teng miqdorli sinusoidal E.Yu.K. ta’sir qilishi natijasida bir–biri bilan fazada bo‘ladi). Amalda barcha kondensatorlar yakuniy o‘tkazuvchanlik isrofiga ega bo‘ladi. Shuning uchun o‘zgarmas E.Yu.K. lar ta’sirida kondensatordagi turg‘unlashgan kuchlanishlar, ular isroflarining qarshiliklari va sxema boshqa uchastkalarning qarshiliklari bilan aniqlanadi. Kuchlanishning ushbu taqsimlanishida kondensatorlar sig‘imlarining hech qanday ta’siri bo‘lmaydi. Bu holat shuni anglatadiki, ekvivalent sxemada ideal kondensatorli uchastkalar hisoblashlarda ajratilgan bo‘lishi lozim.
Zanjirlarni hisoblashning topologik uslubi. Elektro texnikada tenglamalar sistemasini tuzib o‘tirmasdan zanjir sxemasining grafigi asosida teskari matrisa va uning aniqlovchisini elementlarini aniqlash imkoniyati mavjudligi katta qiziqish to‘g‘diradi. Topologik usulda hisoblashlarning misoli tariqasida tuguniy kuchlanishlar usulini ko‘rib chiqamiz. Tuguniy o‘tkazuvchanliklar matrisa uchun AYAt ifodaga egamiz, bu yerda: A–(q–1)·n –tartibli birlashishlar topologik matrisasi; At –nx(q–1) tartibli birlashishilarning transponirlangan matrisasi; Y–n·n tartibli shaxobchalar o‘tkazuvchanliklarining (zanjirda bog‘liq manbalar va o‘zaro induksiya bo‘lmagan holatda) diogonal matrisasi. 41 Koshi–Bins teoremasiga asosan, ana shunday matrisaning aniqlovchisini qo‘yidagicha aniqlash mumkin: det(AYAt ) = det(AY)At =∑-AY va At matrisalarning mos holdagi maksimal tartibdagi minorlari yig‘indisi. Ushbu holdaminorlarning mos holdabo‘lishi AY matrisadagi ustunlar nomerlarini At matrisadagi qatorlar nomerlari bilan ustma–ust tushishidir. AY va At matrisalarda Y matrisa diagonalligi tufayli noldan farqli elementlari bir xil joylashgandir (agar ajk ≠ 0 bo‘lsa ajk·Yk ≠ 0) Daraxtlari 1–b rasmda keltirilgan 1–a sxema grafigi qo‘yidagi ifodaga ega bo‘lamiz:

Koshi–Bins teoremasiga asosan ∆jj tartibli algebraik to‘ldiruvchini hosilqilish uchun AY matrisadan j–satrili, At matrisadan esa j–ustunni chizish kerak. Bunday o‘chirish j–tugunni bazi tugunga ulash bilan teng kuchlidir. U holdasxemaning yangi grafigi hosilbo‘ladi (yangi grafik eski grafikning j–tugunni va bazi tugunini tutashtirish orqali hosilqilinadi). Ko‘p sonli harxil daraxtlarni izlab topish zaruriyati zanjirlarni topologik usulda hisoblashning asosiy kamchiligidir. Zamonaviy EHM lar paydo bo‘lishi bilan ushbu hisoblashlar ancha yengillashdi. Ammo g=10 bo‘lganida 108 ga teng bo‘lgan sondagi harxil daraxtlarni izlab topish va saqlash zaruriyati hatto zamonamiy EHM lar ham juda muammoli masaladir. Shu sababdan hisoblashning topologik usuli faqatgina nisbatan kam sonli tugunlarga ega sxemalar uchungina samaralidir. Koshi–Bins teoremasiga asosan ∆jj tartibli algebraik to‘ldiruvchini hosilqilish uchun AY matrisadan j–satrili, At matrisadan esa j–ustunni chizish kerak. Bunday o‘chirish j–tugunni bazi tugunga ulash bilan teng kuchlidir. U holdasxemaning yangi grafigi hosilbo‘ladi (yangi grafik eski grafikning j–tugunni va bazi tugunini tutashtirish orqali hosilqilinadi). Ko‘p sonli harxil daraxtlarni izlab topish zaruriyati zanjirlarni topologik usulda hisoblashning asosiy kamchiligidir. Zamonaviy EHM lar paydo bo‘lishi bilan ushbu hisoblashlar ancha yengillashdi. Ammo g=10 bo‘lganida 108 ga teng bo‘lgan sondagi harxil daraxtlarni izlab topish va saqlash zaruriyati hatto zamonamiy EHM lar ham juda muammoli masaladir. Shu sababdan hisoblashning topologik usuli faqatgina nisbatan kam sonli tugunlarga ega sxemalar uchungina samaralidir.

Kontur toklari va tuguniy potensiallar usullari. 4.1.Kontur toklari usuli amaliyotda kontur toklari tenglamalarini to‘g‘ridan– to‘g‘ri, zanjir sxemasini ko‘ra turib tuzish ham mumkin. Kirxgofning 2–qonuniga asosan n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan konturlar uchun qo‘yidagi n ta tenglamadan iborat tenglamalar sistemasini tuzish mumkin. 31 32 2 3n n 32 21 32 2 32 n 22 11 12 2 1n n 11 Z I Z I Z I E Z I Z I Z I E Z I Z I Z I E                               (8.14) n ta kontur toklarini o‘z ichiga olgan (8.14) ko‘rinishdagi tenglamalarni tuzish va ularni ushbu toklarga nisbatan yechish hisoblashning kontur toklari usulining o‘zidir. Bu yerda E  nn –n konturga kiruvchi E.Yu.K. lar yig‘indisidir. Yo‘nalishlari konturni aylanib chiqish yo‘nalishi bilan mos tushgan E.Yu.K. lar musbat ishora bilan mos kelmaganlarini esa manfiy ishora bilan olinadi. Zkk orqali k–konturga 42 kiruvchi qarshiliklar yig‘indisini ifodalaymiz. Va ushbu Zkk kattalikni konturning xususiy qarshiligi deb ataymiz. k va m konturlar uchun umumiy bo‘lgan shaxobchalardagi qarshiliklar yig‘indisini Zkm yoki Zmk orqali ifodalaymiz va k va m konturlarning umumiy qarshiligi deb ataymiz. Bu yerda Zkm=Zmk=rkm+jXkm deb hisoblash kerak, qachonki agarda k va m konturlar uchun umumiy bo‘lgan shaxobchadagi kontur toklarining shartli musbat yo‘nalishlari mos kelsa va aksincha Zkm=Zkm=-rkm–jXkm deb hisoblash kerak, qachonki ular teskari yo‘nalgan bo‘lsa (8.14) ni k konturdagi Ik kontur toki uchun ishlab (hisoblab) qo‘yidagini topamiz: bu yerda: ∆ -sistemaning bosh aniqlovchisi bo‘lib, qo‘yidagicha aniqlanadi: ∆ = n n n nn n n n ∆ aniqlovchidan uning k qatorini va m ustunni o‘chirish orqali hosilqilingan algebraik to‘ldiruvchilardir (yangi olingan aniqlovchini –1 (k+m) ga qo‘paytirish bilan). Bog‘liq bo‘lmagan energiya manbalari chiziqli zanjirlari uchun ∆km = ∆mk ekanligi ta’kidlab o‘tamiz. Haqiqatda ham ∆km ∆ dan k satrni va m ustunni o‘chirish orqali, ∆mk esa ∆ dan m –satrni va k ustunni o‘chirish orqali hosilqilinadi.

Misol tariqasida 8.2–rasmda yeltirilgan zanjirni ko‘rib chiqaylik. I1 va I2 toklarning musbat yo‘nalishlarini strelka buylab yo‘naltiramiz. U holdaI1 va I2 kontur toklari birinchi va ikkinchi shaxobchalardagi joriy (amaldagi) toklarga teng bo‘ladi. Uchinchi shaxobchadagi joriy (amaldagi) tok I1 va I2 kontur toklari yig‘indisiga tengdir. Kontur toklari usuliga asosan qo‘yidagi tenglamalarni hosil qilamiz:

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. Charles К. Alexander Matthew N.O. Sadiku “Fundamentals of Electric Circuits” NEW YORK, 2014.-458
2. John Bird. "Electrical and Electronic Principles and Technology" LONDON AND NEW YORK, 2014.-455 p 3. Каримов A.C. Электротехниканинг назарий асослари. Дарслик. -Т.: Укитувчи, 2003. - 422 б.
4. Рашидов И.Р., Aбидов K.F., Колесников И.К. Электротехниканинг назарий асослари 1. II. III кисмлар (Маъруза матинлари туплами), ТДТУ, 2002. - 250 6.
5. Amirov S.F.. Yoqubov M.S., Jabborov N.G. Nazariy elektrotexnika.I-III qismlar. Toshkent; 2007,- 426 b.