Oliy matematika kafedrasi

 

 

30.3-ilova 

Kichik guruhlarda ishlash qoidasi 

1.  Talabalar  ishni  bajarish  uchun  zarur  bilim  va  malakalarga  ega 

bo‘lmog‘i lozim. 

2. Guruhlarga aniq topshiriqlar berilmog‘i lozim. 

3.  Kichik  guruh  oldiga  qo‘yilgan  topshiriqni  bajarish  uchun  yetarli 

vaqt ajratiladi. 

4.  Guruhlardagi  fikrlar  chegaralanmaganligi  va  tazyiqqa  uchra-

masligi haqida ogohlantirilishi zarur. 

5.  Guruh  ish  natijalarini  qanday  taqdim  etishini  aniq  bilish-lari, 

o‘qituvchi ularga yo‘riqnoma berishi lozim. 

6.  Nima  bo‘lganda  ham  muloqotda  bo‘ling,  o‘z  fikringizni  erkin 

namoyon eting. 

 

Guruhlarga beriladigan o’quv topshiriqlari 

 

 

 

1-varaqa 

 1.    Qo’yidagi  chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuralarning  yuzlarini 

hisoblang. 

   

;

0

,

2

,

ln

)

3

;

0

,

4

)

2

;

0

,

8

6

)

1

2

2

=

=

=

=

−

=

=

+

−

=

y

e

x

x

y

x

y

x

y

x

x

y

 

  2

2

2

x

y

=

 parabola, 

3

,

1

=

=

x

x

 to’g’ri chiziqlar va 

OX

 o’qi bilan chegaralangan 

yuzani hisoblang. 

3.

.

,

2

2

2

x

y

x

y

=

−

=

 chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzini hisoblang. 

4 

0

,

4

,

1

,

4

=

=

=

=

y

x

x

xy

  chiziqlar bilan chegaralangan figuraning 

OX

 o’qi 

atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jism hajmini hisoblang. 

5.  Mehnat  unumdorligi   

)

(x

f

y

=

  funksiya  bilan  ifodalansin,  bunda 

x

  ish 

kunining  boshlanishidan  hisoblangan  vaqt, 

)

(

x

f

    esa    vaqtning  shu  onidagi 

(momentidagi)  mehnat  unumdorligini  bildiradi.  Mehnat  unumdorligining  ish 

kunining  3-soatidagi  hajmini  hisoblash  masalasi  qo’yilgan  bo’lsa,  u  aniq  integral 

orqali qanday ifodalanadi? 

 

 

2-varaqa 

1.  Qo’yidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzlarini hisoblang. 

   

.

0

,

3

,

ln

)

3

;

0

,

9

)

2

;

0

,

6

5

)

1

2

2

=

=

=

=

−

=

=

+

−

=

y

e

x

x

y

x

y

x

y

x

x

y

 

2.

2

x

y

=

  parabola, 

3

,

2

=

=

x

x

  to’g’ri  chiziqlar  va 

OX

  o’qi  bilan  chegaralangan 

yuzani hisoblang. 

3.

.

,

4

2

2

x

y

x

y

=

−

=

 chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzini hisoblang. 

4 

0

,

3

,

1

,

6

=

=

=

=

y

x

x

x

y

    chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning 

OX

  o’qi 

atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jism hajmini hisoblang. 

5.  Mehnat  unumdorligi   

)

(

x

f

y

=

  funksiya  bilan  ifodalansin,  bunda 

x

  ish 

kunining  boshlanishidan  hisoblangan  vaqt, 

)

(

x

f

    esa    vaqtning  shu  onidagi 

(momentidagi)  mehnat  unumdorligini  bildiradi.  Mehnat  unumdorligining  ish 

kunining  5-soatidagi  hajmini  hisoblash  masalasi  qo’yilgan  bo’lsa,  u  aniq  integral 

orqali qanday ifodalanadi? 

 

3-varaqa 

1.  Qo’yidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzlarini hisoblang. 

   

.

0

,

5

,

ln

)

3

;

0

,

25

)

2

;

0

,

12

8

)

1

2

2

=

=

=

=

−

=

=

+

−

=

y

e

x

x

y

x

y

x

y

x

x

y

 

2.

2

2x

y

=

  parabola, 

3

,

2

=

=

x

x

  to’g’ri  chiziqlar  va 

OX

  o’qi  bilan  chegaralangan 

yuzani hisoblang. 

3.

.

,

8

2

2

x

y

x

y

=

−

=

 chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzini hisoblang. 

4 

0

,

3

,

1

,

6

=

=

=

=

y

x

x

x

y

    chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning 

OX

  o’qi 

atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jism hajmini hisoblang. 

5.  Mehnat  unumdorligi   

)

(

x

f

y

=

  funksiya  bilan  ifodalansin,  bunda 

x

  ish 

kunining  boshlanishidan  hisoblangan  vaqt, 

)

(

x

f

    esa    vaqtning  shu  onidagi 

(momentidagi)  mehnat  unumdorligini  bildiradi.  Mehnat  unumdorligining  ish 

kunining  2-soatidagi  hajmini  hisoblash  masalasi  qo’yilgan  bo’lsa,  u  aniq  integral 

orqali qanday ifodalanadi? 

 

 

4-varaqa1. 

Qo’yidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzlarini hisoblang. 

   

.

0

,

4

,

ln

)

3

;

0

,

9

)

2

;

0

,

6

5

)

1

2

2

=

=

=

=

−

=

=

+

−

=

y

e

x

x

y

x

y

x

y

x

x

y

 

2.

4

2

x

y

=

  parabola, 

3

,

2

=

=

x

x

  to’g’ri  chiziqlar  va 

OX

  o’qi  bilan  chegaralangan 

yuzani hisoblang. 

3.

.

,

6

2

2

x

y

x

y

=

−

=

 chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzini hisoblang. 

4 

0

,

3

,

1

,

9

=

=

=

=

y

x

x

x

y

    chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning 

OX

  o’qi 

atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jism hajmini hisoblang. 

5.  Mehnat  unumdorligi   

)

(

x

f

y

=

  funksiya  bilan  ifodalansin,  bunda 

x

  ish 

kunining  boshlanishidan  hisoblangan  vaqt, 

)

(

x

f

    esa    vaqtning  shu  onidagi 

(momentidagi)  mehnat  unumdorligini  bildiradi.  Mehnat  unumdorligining  ish 

kunining  6-soatidagi  hajmini  hisoblash  masalasi  qo’yilgan  bo’lsa,  u  aniq  integral 

orqali qanday ifodalanadi? 

 

 

 

 

30.4-ilova 

“Aniq integralning tatbiqlari” mavzusi bo’yicha tarqatma material

 

 

1.Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash. 

)

(

x

f

y

=

 funksiya grafigi, 

b

x

a

x

=

=

,

 ikkita to’g’ri chiziqlar va 

OX

 o’qi 

bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapesiya deyiladi. Bunday egri 

chiziqli trapesiyaning yuzi 

                           

∫

∫

=

=

b

a

b

a

dx

x

f

ydx

S

)

(

                                               (1) 

formula bilan hisoblanadi.  

Umumiy 

hol, 

ya’ni 

)

(

)

(

),

(

),

(

1

2

2

2

1

1

x

f

x

f

x

f

y

x

f

y

≥

=

=

 

chiziqlar bilan chegaralangan yuza 

                          

( )

( )

[

]

dx

x

f

x

f

S

x

x

∫

−

=

2

1

1

2

1

                                            (2) 

aniq integralga teng bo’ladi . 

( )

0

,

,

,

=

=

=

=

x

d

y

c

y

y

x

ϕ

   chiziqlar bilan chegaralangan yuza 

                            

( )

dy

y

dy

x

S

d

c

d

c

∫

∫

=

=

ϕ

2

                                              (3) 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

Egri chiziq parametrik 

                                       

( )

( )







=

=

t

y

y

t

x

x

,

  

tenglama bilan berilgan bo’lsa, yuza 

                                  

( ) ( )

∫

=

2

2

t

t

dt

t

x

t

y

S

                                                   (4) 

formula bo’yicha hisoblanadi. 

4-misol. 

0

,

,

1

,

8

=

=

=

=

y

e

x

x

xy

  chiziqlar  bilan  chegaralangan  yuzani 

hisoblang 

Yechish.

x

y

8

=

 bo’lib, (3) formulaga asosan,  

              

(

)

∫

∫

=

−

=

=

=

=

.

8

1

ln

ln

8

ln

8

8

1

e

x

dx

x

ydx

S

 

 5-misol.

         

x

y

x

y

=

=

2

2

,

  chiziqlar  bilan  chegaralangan  yuzani 

toping. 

Yechish:                      









=

=

x

y

x

y

2

2

,

 

tenglamalar 

sistemasidan 

1

;

0

,

0

,

2

1

4

4

=

=

=

−

=

x

x

x

x

x

x

 

kesishish 

nuqtalarining abssissalari bo’lib,

    

bu yuza                                                     

    

[

]













−

−













−

=

−

=

−

=

∫

0

3

1

0

3

2

3

2

3

1

0

3

1

0

2

3

1

0

2

x

x

dx

x

x

S

=

3

1

      

 

bo’ladi. 

 

2. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.  

To’g’ri  burchakli  koordinatlar  sistemasida 

( )

[ ]

b

a

x

f

y

,

=

 

kesmada  silliq  (ya’ni 

( )

x

f

y

=

  hosila  uzluksiz)  bo’lsa,  bu  egri  chiziq 

yoyining uzunligi 

                                              

( )

∫

′

+

=

b

a

dx

y

l

2

1

                                           (5) 

formula yordamida hisoblanadi. 

Egri chiziq parametrik tenglama 

                                         

( )

( )







=

=

t

y

y

t

x

x

   

             bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi 

                               

=

l

( ) ( )

dt

y

x

b

a

∫

′

+

′

2

2

 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

Silliq  egri  chiziq  qutb  koordinatalarida 

( ) (

)

β

ϕ

α

ϕ

≤

≤

=

,

r

r

 

tenglama bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi 

             

( )

ϕ

β

α

d

r

r

l

∫

′

+

=

2

2

                                                    (6) 

formula bilan hisoblanadi. 

7-misol.

3

2

3

2

3

2

a

y

x

=

+

   

astroida yoyining uzunligini toping. 

Yechish:  Astroida  koordinat  o’qlariga  nisbatan  simmetrik 

bo’lganligi uchun 1/4 yoy uzunligini topamiz.   

Oshkormas funksiya hosilasiga asosan  

0

3

2

3

2

3

1

3

1

=

′

+

−

−

y

y

x

 

bundan, 

.

3

3

x

y

y

−

=

′

 

Yoy 

uzunligi 

formulasiga asosan, 

         

( )

(

)

.

6

0

2

3

4

4

4

4

4

/

1

4

1

4

3

2

3

0

3

2

3

2

3

0

3

1

3

0

3

1

3

1

0

3

2

3

2

0

2

3

3

0

2

a

a

a

x

a

dx

x

a

dx

x

a

dx

x

a

dx

x

y

dx

y

l

a

a

a

a

a

a

=

















−

⋅

=

=

=

=

=

=

+

=

′

+

=

∫

∫

∫

∫

∫

−

 

 

 

3. Aylanma jism hajmini hisoblash. 

( )

0

,

,

,

=

=

=

=

y

b

x

a

x

x

f

y

  chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning 

OX 

o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi 

                    

( )

∫

∫

=

=

b

a

b

a

x

dx

x

f

dx

y

V

2

2

π

π

                        (7) 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

( )

0

,

,

,

=

=

=

=

x

d

y

c

y

y

x

ϕ

 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning 

OY

 o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi 

                    

∫

∫

=

=

d

c

d

c

y

dy

y

dy

x

V

)

(

2

2

ϕ

π

π

                        (8) 

formula bilan hisoblanadi. 

8-misol.   

x

y

2

2

=

  parabola, 

3

=

x

  to’g’ri  chiziq  va 

OX

  o’qi  bilan 

chegaralangan figuraning 

OX

 o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning 

hajmini hisoblang. 

Yechish. Masala shartiga ko’ra 

x

  o dan 3 gacha o’zgaradi. Demak, 

           

∫

∫

=

−

=

=

=

=

3

0

3

0

2

2

0

3

2

2

9

)

0

3

(

2

π

π

π

π

π

x

xdx

dx

y

V

x

.  

9-misol.     

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

  ellipsning 

OY

  o’qi  atrofida  aylanishidan  hosil 

bo’lgan jism hajmini hisoblang. 

Yechish. 

Bunday 

jismga 

aylanma 

ellipsoid 

deyiladi. 

Ellips 

tenglamasidan 

















−

=

2

2

2

2

1

b

y

a

x

    bo’lib,  integralning  chegaralari 

b

d

b

c

=

−

=

,

 

bo’ladi. (8) formulaga asosan,         

                 

[

]

[

]

.

3

4

3

2

2

)

(

3

)

(

3

1

2

2

2

3

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

b

b

a

y

b

a

y

a

dy

y

b

a

dy

a

dy

b

y

a

V

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

y

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

=

−

=

−

−

−

−

−

=

=

⋅

−

=

−

=

















−

=

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

 

Demak,    

b

a

V

y

2

3

4

π

=

                                             

 

R

b

a

=

=

 bo’lsa, shar hosil bo’lib  

3

3

4

R

V

ш

π

=

  bo’ladi.