Oliy matematika Tayyorladi: gtq fakulteti itgo yo’nalishi 107 – guruh talabasi Otoxonov Zohidjon Nematovich

Oliy matematika

Tayyorladi: GTQ fakulteti ITGO yo’nalishi 107 – guruh talabasi Otoxonov Zohidjon Nematovich.

Mavzu: Funksiya uzluksizligi

Reja:

• 1) Kirish.
• 2) Uzliksizlik shartlari.
• 3) Teorema, Isbot va misollar
• 4) Adabiyotlar.

TARIF.

• Agar funksiya x0 nuqtaning atrofida aniqlangan va uning chekli limiti mavjud bo‘lib,

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uzliksizlik shartlari

• Bu ta’rifdan funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun:
• 1) x0 nuqtada va uning qandaydir atrofida aniqlangan;
• 2) chekli va limitlar mavjud bo’lishi karak;
• 3) bu (chap va o’ng) limitlar bir hil bo’lishi kerak.
• 4) x0 nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lishi kelib chiqadi.

Segmentda uzliksizlik.

Agar x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa,

• Agar x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa,

ga ega bo‘lamiz. Ya’ni, funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa, shu nuqtadagi argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelar ekan. Buning aksinchasi ham o‘rinli bo‘lib, uni x0 nuqtadagi funksiya uzluksizligining ta’rifi sifatida qabul qilish mumkin: agar qaralayotgan x0 nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, buni funksiya uzluksizligining orttirmalar tilidagi ta’rifi deb yuritiladi.

Masalan, funksiyani olsak, u ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizdir.

• Masalan, funksiyani olsak, u ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizdir.
• Haqiqatdan ham

Agar funksiya x0 nuqtada va uning o‘ng (chap) yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib,

• Agar funksiya x0 nuqtada va uning o‘ng (chap) yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib,

o‘rinli bo‘lsa, funksiya x0 nuqtada o‘ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

• Tabiiyki, funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u bu nuqtada ham o‘ngdan ham chapdan uzluksiz bo‘ladi va aksincha. Demak, uzluksizlikka tekshirishda

tengliklarni tekshirib ko‘rish yetarlidir.

Agar funksiya x0 nuqtaning yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, unda uzluksiz bo‘lmasa, x0 funksiyaning uzilish nuqtasi va funksiya bu nuqtada uzilishga ega deyiladi.

• Agar funksiya x0 nuqtaning yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, unda uzluksiz bo‘lmasa, x0 funksiyaning uzilish nuqtasi va funksiya bu nuqtada uzilishga ega deyiladi.
• Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, uzilish nuqtasida funksiya aniqlangan bo‘lishi shart emasdir. Funksiya uzilishini ikki turga ajratiladi. Agar x0 funksiyaning uzilish nuqtasi bo‘lib, bu nuqtadagi funksiyaning o‘ng va chap chekli limitlari mavjud bo‘lsa, bu uzilish nuqtasi birinchi jins (tur) uzilish nuqtasi; agar o‘ng va chap chekli limitlardan aqalli bittasi mavjud bo‘lmasa, ikkinchi jins (tur) uzilish nuqtasi deyiladi.

Agar f(x) funksiya x0 nuqtada birinchi jins uzilishga ega bo‘lsa,

• Agar f(x) funksiya x0 nuqtada birinchi jins uzilishga ega bo‘lsa,

ayirma funksiyaning x0 nuqtadagi sakrashi deyiladi.

1-teorema. Biror (a; b) oralikda monoton o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lgan (keng ma’noda bo‘lishi ham mumkin) funksiya faqat birinchi jins uzilishlarga, ya’ni sakrashlarga ega bo‘lishi mumkin.

TEOREMA

Isbot.

• Haqiqatdan ham, bo‘lganda

, ;

• Bundan va funksiyaning monotonligidan chekli o‘ng limitning mavjudligi hamda

( ) bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash, chekli

chap limitning mavjudligi va

, ham ko‘rsatiladi.

1-misol.

• funksiya nuqtada aniqlanmagan, lekin, uning ixtiyoriy yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib,

O‘ng va chap limitlar mavjud. Demak,

• O‘ng va chap limitlar mavjud. Demak,

funksiyaning birinchi jins uzilish nuqtasi bo‘lib, uning bu nuqtadagi sakrashi

• bo‘ladi.
• Birinchi jins uzilish nuqtasida funksiya sakrashi nolga teng, ya’ni o‘ng va chap limitlar teng bo‘lsa, bu uzilish nuqtasi chetlantiriladigan uzilish nuqtasi deyiladi.
• Bu holda funksiya qiymatini uzilish nuqtasidagi o‘ng va chap limitlar qiymatiga teng deb qabul qilsak (yoki qayta aniqlasak),funksiya uzluksiz bo‘lib qoladi, ya’ni uzilish chetlantiriladi.

2-misol.

• da aniqlanmagan, ammo,

ekanligidan

• Endi,

deb olsak, uzilish chetlantiriladi.

• Agar x0 nuqtada birinchi jins uzilishga ega bo‘lib, shu nuqtada funksiya aniqlangan va

o‘rinli bo‘lsa, bunday uzilish to‘g‘ri uzilish deb yuritiladi.

3-misol.

• funksiya nuqtada to‘g‘ri uzilishga egadir. (tekshirib ko‘rishni o‘quvchiga qoldiramiz).
• Eslatma. funksiya «son ishorasi» deb atalib, uning qiymati argument manfiy bo‘lganda -1 ga, musbat bo‘lganda 1 ga, nolga teng bo‘lganda 0 ga tengdir.

4-misol.

• funksiya nuqtada aniqlanmagan, uning ixtiyoriy yaqin atrofida mavjuddir. Demak,

uzilish nuqtsidir.

- o‘ng limit cheksiz

- chekli chap limit mavjud.

5-misol.

• nuqtada funksiya aniqlanmagan, lekin, uning ixtiyoriy yaqin atrofida aniqlangan.
• ikkalasi ham mavjud emas. Demak, uzilish ikkinchi jins.

Adabiyotlar
1.Соатов Ё.У. «Олий математика»
1-кисм.1992й.
2.Пискунов Н.С.»Дифференциал ва интеграл хисоб» 1-кисм.1974й.
3.Бугров Я.С.б Николский С.М. «Высшая математика»М.1984йю

Etiboringiz uchun rahmat!

• Tayyorladi: Otoxonov Zohidjon Nematovich.