Oliy matematika
Download 181.41 Kb.
|
Mavzu Funksiyaning limiti va uzluksizligi-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
- 3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
- Bir tomonlama limitlar
10-misol. lim x2 5x 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.
x 5 x2 25 Yechish. f (x) = x2 5x funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy 0 sonni olib f (x)b ni x 5 deb quyidagicha o’zgartiramiz: turibdiki, 4 deb olsak, u holda 0 | x 5 | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x2 25 x2 25 x4; 6 uchun x2 5x 2 < 4 tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f (x) = x2 5x funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi. Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday M 0 son mavjud bo’lib, | x a | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) | M tengsizlik bajarilsa, x a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x) kabi xa yoziladi. 1 11-misol. lim ekani isbotlansin. x2 x 2 1 Yechish. f (x) = funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, x 2 1 1 >M tengsizlik x 2 bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar deb M M 1 1 olinsa, x 2 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun > =M yoki x 2 1 >M tengsizlik bajariladi. Bu esa x 2 da f (x) = funksiya cheksizlikka intilishini x 2 1
2.Funksiyaning cheksizlikdagi limitiTa„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)b tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y f (x) funksiyaning x dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x) b kabi yoziladi. x 12-misol. lim x 1 1 ekani isbotlansin. x x Yechish. f (x) = x 1 funksiyani qaraylik. Istalgan 0 sonni olsak 1 bo’lib N desak, barcha |x|>N uchun
dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi. Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x) M tengsizlik bajarilsa, y f (x) funksiya x da cheksizlikka intiladi deyiladi va lim f (x) kabi yoziladi. x 13-misol. lim x2 ekani isbotlansin. x Yechish. f (x) = x2 funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib f (x) M tengsizlikni tuzamiz. x2 >M, bundan x M kelib chiqadi. N M deb olinsa, x N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x2 N 2 M tengsizlik bajariladi. Bu lim x2 ekanini x bildiradi. 3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligiTeorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir. Isboti. lim f (x) b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan 0 son xa uchun shunday 0 son topilib (a , a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x)b yoki f (x) b f (x)b , bundan f (x) b bo’lishi kelib chiqadi. Agar M b deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun f (x) M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a , a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi. 1 Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda f (x) funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz. Bir tomonlama limitlarTa„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b1 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x a-0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b1 lim f (x) , yoki b1 lim f (x) , yoki xa xa0 xa b1 f (a0) kabi yoziladi. Agar а=0 bo’lsa, u holda b1 lim f (x)= f (0) kabi yoziladi. x0 Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x a+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va b2 lim f (x) yoki b2 lim f (x), yoki xa xa0 xa b2 f (a0) kabi yoziladi. Agar а=0 bo’lsa, u holda b2 lim f (x)= f (0) kabi yoziladi. x0 f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b1 =b2 bo’lsa, u holda f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega. 86-chizma. Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a 0)= f (a 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi. Masalan, 1, аgаr x 0 bo'lsа, f (x) signx 0, аgаr x 0 bo'lsа, 1, аgаr x 0 bo'lsа funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (0)=-1, f (0)=1 va f (0) f (0) (86-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega. 4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar. Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz. Bunda isbot faqatgina ха hol uchun o’tkaziladi ( х da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ха ni ham, х ni ham yozmaymiz. Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x)) limu1(x)limu2(x)...limun(x). Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu1(x) а, limu2(x) b bo’lsin. U holda lim(u1(x)u2(x)) a b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u1 a, u2 b deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u1 u2 ab ab. Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak lim(u1 u2) a b limu1 limu2 ekanligi kelib chiqadi. x2 4 (x 2)(x 2) 1-misol. lim lim lim(x 2) lim x lim2 2 2 4. x2 x 2 x2 x 2 x2 x2 x2 x4 5x2 x4 5x2 5 5 2-misol. lim x4 limx x4 x4 limx1 x2 limx1 limx x2 10 1. x Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x)) limu1(x)limu2(x)...limun(x). Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu1 a, limu2 b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u1 a , u2 b bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u1u2 ab abba. Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, ba- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limu1u2 ab limu1limu2 ekanligi kelib chiqadi. 3-misol. lim(х 3)(х 4) lim(х 3)lim(х 4) [lim x lim3][lim x lim4] x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 (2 3)(2 4) 5(2) 10. 4-misol. lim1 1x2 x12 limx1 1xlimx2 x12 (10)(2 0) 2 . x Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim Cu(x) C limu(x) , chunki limC C . 5-misol. lim 7х2 7lim х2 7(1)2 7 . x1 x1 Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv 0 bo’lsa, u limu lim bo’ladi. v limv Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda u a, v b bo’lishini hisobga olsak a a a a a ab b ab a a b a b b b b b b(b ) b b(b ) b a tenglikka ega bo’lamiz, bunda -o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya, chunki b(b ) b a cheksiz kichik funksiya va b(b)≠0. a limu So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim b limv tenglik hosil bo’ladi. Download 181.41 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling