Oliy matematika


Download 181.41 Kb.
bet2/6
Sana25.10.2023
Hajmi181.41 Kb.
#1719163
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Mavzu Funksiyaning limiti va uzluksizligi-fayllar.org

10-misol. lim x2 5x  2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.

x 5 x2  25

Yechish. f (x) = x2 5x funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)


intervalda qaraylik. Ixtiyoriy  0 sonni olib f (x)b  ni x  5 deb quyidagicha

o’zgartiramiz:




turibdiki,  4 deb olsak, u holda 0 | x 5 | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha


x2 25  x2  25

x4; 6 uchun x2 5x 2 < 4  tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f (x) = x2 5x
funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.


Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday M 0 son mavjud bo’lib,
| x a | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) | M tengsizlik bajarilsa, x a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x)  kabi


xa yoziladi.
1

11-misol. lim  ekani isbotlansin.


x2 x  2
1

Yechish. f (x) = funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, x  2
1 1
>M tengsizlik x  2  bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar   deb


M M
1 1

olinsa, x 2  tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun > =M yoki



x  2 
1
>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x  2 da f (x) = funksiya cheksizlikka intilishini x  2

1
bildiradi, ya‘ni lim  . x2 x  2


2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti



Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan
 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)b  tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y f (x) funksiyaning x  dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x)  b kabi yoziladi.


x

12-misol. lim x 1 1 ekani isbotlansin.

x x

Yechish. f (x) = x 1 funksiyani qaraylik. Istalgan  0 sonni olsak
1
bo’lib N  desak, barcha |x|>N uchun


 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) = x 1 funksiyaning x  x


dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajarilsa, y f (x) funksiya x  da cheksizlikka
intiladi deyiladi va lim f (x)  kabi yoziladi.


x

13-misol. lim x2  ekani isbotlansin.

x

Yechish. f (x) = x2 funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib f (x)  M tengsizlikni tuzamiz. x2 >M, bundan x M kelib chiqadi. N M deb olinsa, x N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x2 N 2 M tengsizlik bajariladi. Bu lim x2   ekanini

x
bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi



Teorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isboti. lim f (x)  b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan  0 son

xa
uchun shunday  0 son topilib (a , a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x)b  yoki f (x)  b f (x)b , bundan f (x)  b  bo’lishi kelib chiqadi. Agar M b 
deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a , a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
1
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda f (x)

funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.


Bir tomonlama limitlar



Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b1 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x a-0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b1  lim f (x) , yoki b1  lim f (x) , yoki

xa xa0 xa

b1 f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b1  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.


x0

Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki

x a+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va b2  lim f (x) yoki b2  lim f (x), yoki

xa xa0 xa

b2 f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b2  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.


x0

f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b1 =b2 bo’lsa, u holda

f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega.
86-chizma.
Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a 0)= f (a  0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.
Masalan,
 1, аgаr x  0 bo'lsа,

f (x)  signx 0, аgаr x  0 bo'lsа, 1, аgаr x  0 bo'lsа
funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (0)=-1, f (0)=1 va f (0)  f (0) (86-chizma).
Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina ха hol uchun o’tkaziladi ( х da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ха ni ham, х ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x))  limu1(x)limu2(x)...limun(x).

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu1(x)  а, limu2(x)  b bo’lsin. U holda lim(u1(x)u2(x))  a b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.
Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u1 a, u2 b deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, u1 u2  ab ab. Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak
lim(u1 u2)  a b  limu1 limu2 ekanligi kelib chiqadi.


x2  4 (x  2)(x  2)

1-misol. lim  lim  lim(x  2)  lim x  lim2  2 2  4.

x2 x  2 x2 x  2 x2 x2 x2

x4 5x2 x4 5x2   5  5

2-misol. lim x4  limx x4  x4 limx1 x2 limx1 limx x2 10 1. x



Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x))  limu1(x)limu2(x)...limun(x).

Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu1 a, limu2 b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u1 a , u2 b bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u1u2  ab abba. Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, ba- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limu1u2 ab  limu1limu2 ekanligi kelib chiqadi.

3-misol. lim(х 3)(х  4)  lim(х 3)lim(х 4)  [lim x lim3][lim x lim4] 

x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
 (2  3)(2  4)  5(2)  10.


4-misol. lim1 1x2  x12   limx1 1xlimx2  x12  (10)(2 0)  2 . x   

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim Cu(x)  C limu(x) , chunki limC C .

5-misol. lim 7х2  7lim х2  7(1)2  7 .

x1 x1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv  0 bo’lsa, u limu
lim  bo’ladi. v limv


Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda u a, v b bo’lishini hisobga olsak


  1. a  a a  aa ab b ab aa b a
  2. b   b b  b   b b(b )  b b(b )


    1. b a tenglikka ega bo’lamiz, bunda -o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya, chunki




    2. b(b )

b a cheksiz kichik funksiya va b(b)≠0.




      1. a limu

So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim  




      1. b limv

tenglik hosil bo’ladi.




Download 181.41 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling