Оliy vа o‗rtа mаxsus tа‘lim vаzirligi аbu Rаyxоn Bеruniy nоmidаgi tоshkеnt dаvlаt tеxnikа univеrsitеti «Elеktrоnikа vа аvtоmаtikа» fаkultеti
Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi
Download 1.43 Mb. Pdf ko'rish
|
kophadlarni interpolyatsiya usulida hisoblash
- Bu sahifa navigatsiya:
- 7. Lagranjning interpolyatsiya formulasi.
- 8.Lagranj koeffisientlarni hisoblash.
- Matematik hisoblashlar
|
6.Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi.Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyaning boshlang‘ich x 0 nuqtaga yaqin nuqtalarda interpolyatsialshga qullay, lekin oxirgi x n nuqtalar uchun esa noqulaydir.Bunday holllarda,Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi qo‘llaniladi. Funsiyaning argumenting teng masoflarda yotuvchi
x
, x 1 = x 0 +h;
x 2 = x 0 +2h , … , x p = x
p + nh.
( bu yerda h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlarni qabul qiluvchi quyidagi qiymatlari sistamasiga ega bo‘lamiz.
y 1 =f(x
0 ), y
2 =f(x
1 ) , … , y n= f(x
n )
interpolyatsialanuvchi ko‘phadni yozamiz:
P n ( x
0 )=a
0 +a
1 ( x – x
0 )+a
2 (x – x
0 )( x - x n-1 ) + … + … … + a n ( x – x n )( x – x
n-1 )( x – x
1 ) . (1.6)
Oldingi bandagiga o‘xshash sonlarni taqribiy a 0 ,a
1 ,a
2 , … … ,a n keffisiantlarni topamiz (1.6) ko‘phadni topilgan koeffisiantlari bilan yakuniy yozilishi quyidagi ko‘rinishga ega.
P n (x)=a
0 +a
1 (x - x
1 ) + a
2 ( x - x
0 )( x – x 1 ) + . . . . . . +a n ( x – x n )( x- x
n-1 ) . . . ( x- x 0 ) (1.7) Yangi q= n x x n o‘zgaruvchi kiritmiz va (1.4) formulani qayta yozamiz P n (x)=y 0 + ! 1 1
y q +
! 2 2 n y q (q + 1) + ! 3
n y q( q + 1 )( q + 2 ) + … + !
1 y q( q + 1 )( q + 2) + … … +( q + n – 1 ). (1.8)
(1.8) formula Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya ko‘phadni ko‘rinishi. 5 – misol.y=lgx funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
x 1000 1010
1020 1030
1040 1050
y 3,00000
3,00432 3,00560
3,01283 3,01783
3,02119
lg 1044 ni toping.
Yechish.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz x Y y 2 y i
3 y i
4 y i 5 y i
1000 1010 1020
1030 1040
1050 3,00000
3,00432 3,00560
3,00883 3,01783
3,02119 0,00432
0,00428 0,00423
0,00420 0,00346
-0,00004 -0,00005 -0,00007 -0,00004 -0,00001 -0,00002 -0,00003
0,00001 -0,00001 - 0,00002 q =
h x x 0 = 10 1050
1044 = -0,6, y 3,02119 + ! 1 00416 , 0 ( -0,6 ) - ! 2 00004 , 0 ( -0,6)( -0,6+1 ) – 0,00001
! 3 ) 2 6 , 0 ( ) 1 6 , 0 ( ) 6 , 0 ( - … 3,01829 7. Lagranjning interpolyatsiya formulasi. Nyutonning interpolyatsiya formulasi faqat teng masofalarda yotuvchi interpolyatsion tugunlari holi uchun yaroqli.Ixtiyoriy oraliqda berilgan interpolyatsialash tugunlari uchun Lagranjning interpolyatsiya formulasi deb ataluvchi anchagina umumiyroq bo‘ladigan formuladan foydalaniladi.
Aytaylik argumentning n+1 ta turli x 0 ,x 1 ,x 2 ,x
3 … … ,x
n
qiymatlari va f(x) funksiyasi uchun malum unga mos f(x 0 ) = y 0 f(x
1 ) = y
1 f(x
2 ) = y
2 , … … ,f(x n ) = y
n Qiymatlar berilgan berilgan bo‘lsin.Darajasi n dan yuqori bo‘lgan va berilgan x i tugun nuqtalarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarga ega bo‘lsa,yani L n (x i ) = x
i ( i =
n , 0 ) bo‘lgan L n (x
) ko‘phadni topish talab etiladi, Lagranjning izlanayotgan L n (x
) ko‘phadni keltirib chiqarganini qabulqilamiz
L n (x i ) =
n i n j i j i j j j j n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 1 1 2 1 0 1 2 1 0 ) ( ... ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ...
) ( ) ( ) ( (1.9)
Agar interpolyatsiyani tugunlari teng masofalarda yotsa u holda Lagranjning (1.9) interpolyatsiya formulasi Nyutonning interpolyatsiya formulasi bilan ustma – ust tushadi. Xususan ,(1.9) formula n=1 bo‘lganda 2 3
1 1 2 1 0
x x x y x x x x y L i ;
n = 2 bo‘lganda ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 2 1 0
x x x x x x x y x x x x x x x x y L i +
+ ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 0 2 1 2 x x x x x x x x y ;
ko‘rinishni oladi.
belgilash kiritamiz:
П n+1 (x) = ( x – x 0 )( x – x
1 )( x - x
2 )( x – x
3 ), … ,( x – x n ) ; (1.10) Hosobini tuzamiz:
П
n+1 (x) = ( x – x 0 )( x – x
1 ), … ,( x – x i ) + ( x – x 1 )( x-x
2 ), … ,( x – x n ) +
+ ( x - x 0 )( x - x 1 )( x – x 2 ), … ,( x – x n ) + …
+ ( x – x 0 )( x – x 1 ), … ,( x – x i-1 )( x – x
i ), … ,( x – x n ) +
+ … + ( x – x 0 )( x – x 1 ), … ,( x – x n-1 ) ;
Bu yerda x = x i ,i = n , 0 deb xisoblab,quyidagiga ega bo‘lamiz: П n+1 (x i ) = ( x i - x
0 )(x
i – x
1 ), … ,( x i – x
i-1 )( x –
- x i+1
) ... ( x i - x n ).
(1.10) va (1.11) ifodalarni (1.9) formulaga qo‘yamiz : L i (x) = i n i i i n n y x x x П x П 0 1 1 ) )( ( ) ( (1.12) (1.12) formuladagi y i lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb ataladi va quyidagich belgilanildi : L n [i] (x) =
n i i i n n x x x П x П 0 1 1 ) )( ( ) ( Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :
L
(x) = n i i y 1 L n [i]
(x) Lagranj formulalarni qo‘llash uchun x i – x
n ayirmalar jadvalini tuzamiz :
0 0 1 2 3 i n D i Y i Y i /D i 0 1 2 3 … i … n x – x 0 x 0 – x 1
x 0 – x 2 x 0 – x 3 … x 0 - x i
… x 0 – x n
x 1 – x
0 x– x
1
x 1 – x
2 x 1 – x 3 … x 1 - x i
… x 1 – x n
x 2 – x
0 x 2 – x 1
x– x 2 x 2 – x
3 … x 2 - x
i
… x 2 – x n
x 3 – x
0 x 3 – x 1
x 3 – x 2 x– x
3 … x 3 – x
i
… x 1 – x n
x i – x
0 x i – x 1
x i – x 2 x i – x 3 … x
- x i
… x i – x n
x n – x
0 x n – x 1
x n – x 2 x n – x 3 … x n - x i
… x – x n
D 0 D 1 D 2 D 3 …. D i … D n y 0 y 1 y 2 y 3 … y i … y n y 0 /D 0 y 1 /D 1 y 2 /D 2 y 3 /D 3 … y i /D i … y n /D n
Jadvaldagi D 0 , D
1 , D
2 , D
3 , … , D
n – mos ravishdagi satrlar ko‘paytmasi. D i
i – x
1 ) ( x
i – x
2 ) ( x
i – x
3 ) … ( x – x i ) … ( x
i – x
n )
П n+1
(x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi. П n+1 (x) = ( x – x 0 ) ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x i ) … ( x – x n )
Demak L n [i] (x) = i D x) ( П 1 n , i = n , 0 va koeffsientlari topiladi Demak, L n (x) = П n+1
(x) n i i i D y 1 , bu yerda n i i i D y 1 = S n+1 – jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib, L n
n+1 (x) S
n+1 .
6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
X 81
85 87
88 89
90 Y 0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111
x i x i -x 0 x i -x 1 x i -x 2 x i -x 3 x i -x 4 x i -x 5 D i y i Y i /D i 81
85
87
88
89
90
2
4 6
7
8 9 -4 -1
2
3
4 5 -6 -2
-3
1
2
3 -7
-3 -1
-4
1
2 -8
-4
-2
-1
-5
1 -9 -5
-3
-2
-1
-6
-36287
-480 216
-168
320
-1620
0,12346
0,11765 0,011494
0,011364 0,011236
0,011111 -0,34026*10 -6
-0.2451*10 -6
-6
-0,67642*10 -6
-0,35112*10 -6
-0,68582
* 10 -6
f(84) = П n S n = -1080( -1)0,36676 10 -4 = 0,0112 9. Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. Biz x 0 ,x 1 ,x 2 , … ,x n nuqtalarda berilgan y 0 ,y 1 ,y 2 , … ,y n qiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y 0 = f(x
0 ),y
1 = f(x
1 ), … ,y
n =
f(x n ). f(x) funksiya uchun Lagranjning L n (x) interpolyatsiya ko‘phadi tuzildi.Tuzilgan kko‘phad qolgan nuqtalarda f(x) funksiyasini hosil qiladi,yani R n (x)=f(x)-L n (x ) qoldiq had qanchalik katta.
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema:Agar y=f(x) funksiya o‘zining (n+1) tartibi ((n+1) tartiblisi ham) barcha hosillari bilan birga uzluksiz bo‘lsa,u holda Lagranjning qoldiq hadi quyidagiga teng bo‘ladi. R n
1 1 1 n n П n П f (x)
Bu yerda f – x 0 va x nuqtalar orasida joylashgan nuqta. П n+1
(x) = ( x – x 0 ) ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x i ) … ( x – x n ) .
Agar (x 0 – x) kesmada M – yuza (f n+1 (x)) deb belgilasak,u holda Lagranjning interpolyatsiya formulasini ifodasini absolyut qiymati uchun quyidagiga ega bo‘lamiz: |R n (x)< 1 ) ( 1
x П M n | Agar x 0 ,x 1 ,x 2 , … ,x n interpolyatsiya tugunlari teng masofalarda joylashgan va bunda x 2
1 – h bo‘lsa,u holda (1.12) formulada h x x 0 =h deb faraz qilib,Nyutonning birinchi formulasini qoldiq hadiga ega bo‘lamiz.
R n (x)=h
n+1 1 )! 1 ( ) )...( 1 ( n f n n q q q
( ) bu yerda x 0 < n Shunga o‘xshash (1.13) formulada q= h x x 0 deb faraz qilib Nyutonning 2 – formulasini qoldiq hadiga ega bo;lamiz.
R n (x)=h
n+1 1 )! 1 ( ) )...( 1 ( n f n n q q q
( )
qiymatlari atrofida yetarlicha zich joylashtirilsa,u holda interpolyatsiya formulasidan olingan qiymatlar,jadval malumotlar necha xonaga ega bo‘lsa shuncha xona birligida aniqlikga ega bo‘ladi.
Berilgan variantdagi jadval uchun Lagranj formulasini qo‘llaymiz. x i : 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99
y i : 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.52386 |
