Olti burchakli maydoni = 6*(sqrt(3)/4)*R 2

21.1
Koordinatalar sistemasining boshida joylashgan birlik doirani va uning ichiga chizilgan muntazam oltiburchakni ko'rib chiqaylik. Umumiylikni yo'qotmasdan, olti burchakning bir cho'qqisi (1, 0) nuqtada joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin, olti burchakning boshqa cho'qqilarining koordinatalarini (1, 0) nuqtani 60 graduslik ko'paytmalarga aylantirish orqali olish mumkin.
Doira markazi va olti burchakli har qanday cho'qqi orasidagi masofa R ga teng, shuning uchun biz aylananing tenglamasini x^2 + y^2 = R^2 shaklida yozishimiz mumkin. Olti burchakli tomonlaridan birining tenglamasini y = (sqrt(3)/3)*x shaklida yozish mumkin, chunki bu chiziqning qiyaligi shu tomon va x o'rtasidagi 30 graduslik burchakning tangensiga teng. -o'q. Xuddi shunday, olti burchakning qarama-qarshi tomonining tenglamasi y = -(sqrt(3)/3)*x.
Doira ichidagi tasodifiy tanlangan nuqta olti burchakli ichiga tushish ehtimolini topish uchun olti burchakli maydonni aylananing maydoniga bo'lish mumkin. Olti burchakning maydonini har bir tomoni uzunligi R bo'lgan oltita teng qirrali uchburchakka bo'lish va keyin ularning maydonlarini yig'ish orqali topish mumkin:
Olti burchakli maydoni = 6*(sqrt(3)/4)*R^2
Doira maydoni quyidagicha ifodalanadi:
Doira maydoni = pi*R^2
Shunday qilib, aylana ichidagi tasodifiy tanlangan nuqta olti burchakli ichiga tushish ehtimoli:
P = Olti burchakli maydoni / Doira maydoni = 6*(sqrt(3)/4) R^2 / (pi R^2) = (3 sqrt(3))/(2 pi) ≈ 0,557
Top of Form
21.2

Uchta to’pning har biriga tegishli ehtimollar mos ravishda p1=0.3, p2=0.5, va p3=0.8 berilgan. Biz uchta to’pning har biridan o’tib, nishonning yakson qilinishi uchun kerak bo’lgan tegish kifoya bo’lsa, uchta to’pdan bir yo’la otishning ehtimolini topishimiz kerak.

Uchta to’pni qabul qilish ehtimoli bir-biridan bog’liq bo’lmasligi sababli, har bir to’pni qabul qilish ehtimolining ko’paytmasi bilan olingan yig’indisiga nishonga tegishish ehtimoli teng:

P = p1 * p2 * p3 = 0.3 * 0.5 * 0.8 = 0.12

Bunday ehtimollikka asosan uchta to’pning bir-biridan bog’liq bo’lmaganligi sababli ishonch hosil bo’ladi.

Shunday qilib, uchta to’pdan bir yo’la otishda nishonning yakson qilinishi ehtimoli P = 0.12 ga teng

21.3
Sotuvga chiqarilgan avtomobillarning beshdan bir qismi nuqsonli bo'lganligini hisobga olsak, tasodifiy tanlangan avtomobilning nuqsonli bo'lish ehtimoli 1/5 yoki 0,2 ni tashkil qiladi. Biz binomial taqsimotdan 10 ta namunada ma'lum miqdordagi nuqsonli avtomobillarni olish ehtimolini hisoblash uchun foydalanishimiz mumkin.

a) 10 ta mashinadan 3 tasi nuqsonli boʻlish ehtimolini topish uchun quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:
P(X = k) = (n k ni tanlang) * p^k * (1-p)^(nk)
qayerda

• 
  X - namunadagi nuqsonli avtomobillar soni
  
• 
  n - namuna hajmi (bu holda 10)
  
• 
  k - biz ehtimolini topmoqchi bo'lgan nuqsonli mashinalar soni (bu holda 3)
  
• 
  p - nuqsonli mashinani olish ehtimoli (bu holda 0,2)
  

Qiymatlarni kiritib, biz quyidagilarni olamiz:
P(X = 3) = (10 3 ni tanlang) * 0,2^3 * 0,8^7 = 0,20132896
Shunday qilib, 10 ta mashinadan 3 tasining nuqsonli bo'lish ehtimoli taxminan 0,201 ga teng.
b) 10 ta mashinadan kamida 3 tasi nuqsonli boʻlish ehtimolini topish uchun 3, 4, 5, ..., 10 ta nuqsonli mashina olish ehtimoli yigʻindisini topishimiz kerak. Ushbu ehtimollikni topish uchun to'ldiruvchi qoidadan foydalanishimiz mumkin:
P (kamida 3 ta nuqsonli) = 1 - P (0 yoki 1 yoki 2 nuqsonli)
0, 1 yoki 2 ta nuqsonli mashinalar ehtimolini topish uchun biz avvalgi formuladan foydalanib, ehtimolliklarni yig'ishimiz mumkin:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = (10 ta 0 ni tanlang) * 0,2^0 * 0,8^10 + (10 ta 1 ni tanlang) * 0,2 ^1 * 0,8^9 + (10 ta 2 ni tanlang) * 0,2^2 * 0,8^8 = 0,1073741824
Shunday qilib, kamida 3 ta nosoz mashinaning ehtimoli:
P(kamida 3 ta nuqsonli) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,1073741824 = 0,8926258176
Shunday qilib, 10 ta mashinadan kamida 3 tasida nuqson bo'lish ehtimoli taxminan 0,893 ga teng.