Омская гуманитарная академия

Важнейшие достижения в области математики и ее приложений
Нет никакой возможности, хотя бы и кратко, перечислить все, в той или иной мере крупные научные результаты, полученные членами РАН, состоящими в настоящее время в ОМН. По этой причине мы попытаемся очень сжато, не вдаваясь в специфические математические подробности, рассказать о российских научных математических школах и полученных ими результаты за послевоенный период.
В настоящее время в российской математике существует много научных школ, возглавляемых выдающимися учеными. Эти школы опираются на традиции, созданные великими учеными прошлого, используют весь мировой арсенал математических знаний, решают труднейшие и актуальные задачи современной математики.
Число активно работающих математиков многократно возросло, и мы вынуждены в дальнейшем ограничиться перечислением, в основном, имен членов академии. При этом в ряде случаев будут упомянуты ученые, которые не входили в Отделение математики или не входят в Отделение математических наук. Необходимо также сказать, что ряд упомянутых далее ученых проводят значительную часть времени за рубежом, работая в передовых мировых научных центрах. Однако, они не порывают связи со своими отечественными институтами и продолжают оказывать большое влияние на развитие российской математики.
А) Теория чисел, алгебра и математическая логика.
Традиционными для России являются исследования в теории чисел. Здесь наиболее крупные результаты в области аналитической теории чисел были получены И.М.Виноградовым. Созданный им метод тригонометрических сумм стал и продолжает оставаться мощнейшим инструментом для решения классических старых задач теории чисел. Так, были решены такие неприступные в течение многих лет нечетная проблема Гольдбаха и проблема Варинга. Его учениками и последователями был усовершенствован этот метод, что позволило значительно продвинуться в исследовании ряда фундаментальных проблем. Значительных успехов добились А.Я. Хинчин, А.О. Гельфонд, Ю.В. Нестеренко (доказательство трансцендентности широкого класса чисел), Л.Г. Шнирельман (плотностной подход к решению ряда классических проблем теории чисел), Л.А. Люстерник, Ю.В. Линник, Н.В. Кузнецов.
В области алгебры значительные результаты были получены в ряде школ: в Москве (А.Г. Курош, Л.С. Понтрягин, А.И. Кострикин), в Ленинграде (Д.К. Фаддеев), в Казани (Н.Г. Чеботарев), в г. Новосибирске (А.И. Мальцев, М.И. Каргаполов, А.И. Ширшов), в Белорусии (В.П. Платонов) и др.
П.С. Новиков получил значительные результаты в области неклассических логик, доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы тождества слов в группах. В школе П.С. Новикова активно развивалось направление, связанное с использованием методов логики в классических алгебраических структурах. Позднее П.С. Новиков вместе со своим учеником С.И. Адяном решили знаменитую проблему Бернсайда о периодических группах.
Другое направление в области математической логики и теории алгоритмов развивалось в школе А.И. Мальцева (г. Новосибирск), где наибольшее внимание уделялось вопросам применения логических методов к алгебре и теории моделей. На этом пути была выяснена алгоритмическая природа ряда классических аксиоматических теорий, получены важные результаты в теории групп и полей, создана теории нумераций. Сейчас эта школа возглавляется Ю.Л. Ершовым; здесь получено много важных результатов по теории алгоритмов, теории моделей, булевым алгебрам, локальным полям (С.С. Гончаров и др.).
Оригинальное направление математической логики, связанное с конструктивными принципами, развивалось в г. Ленинграде (А.А. Марков (мл.), Н.А. Шанин и др.) Здесь Ю.В. Матиясевичем была доказана алгоритмическая неразрешимость 10-ой проблемы Гильберта о диофантовых уравнениях.
Глубокие результаты в области алгебры, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел были получены в школах Д.К. Фаддеева и И.Р. Шафаревича. Здесь следует особо выделить работы по исследованию полей алгебраических чисел, которые привели к решению ряда давно стоявших проблем и послуживших одним из оснований решения в 1997 г. английским математиком А. Уайлзом знаменитой проблемы Ферма. Эти исследования были тесно связаны с работами И.Р. Шафаревича и созданной им школы в области алгебраической геометрии, достижения которой получили широкое мировое признание (Ю.И. Манин, А.Н. Тюрин, А.Н. Паршин, В.А. Колывагин и др.), широко использовавшими методы алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. Отметим здесь решение А.И. Кострикиным ослабленной проблемы Бернсайда.