Определение оценок дисперсий коэффициентов регрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ДИСПЕРСИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ.
Содержание

1. Обзор литературы

1. 
   Основные понятия и определения планирования и организации эксперимента
   

1.2 Задачи регрессионного анализа
1.3 Метод наименьших квадратов
1.4 Полный факторный эксперимент
1.5 Дробный факторный эксперимент

6. 
   Дисперсионный анализ
   

Список использованных источников

1 Обзор литературы

1.1 Основные понятия и определения планирования и организации эксперимента

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При планировании эксперимента существенно следующие:

• 
  стремление к минимизации общего числа опытов;
  
• 
  одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс по специальным правилам – алгоритмам;
  
• 
  использование математического аппарата формализующего многие действия экспериментатора;
  
• 
  выбор четкой стратегии, позволяющий принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
  

Фактор – это измеримая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение и соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект исследования
Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновре­менно по специальным правилам, а результаты экспери­мента представляются в виде математической модели, об­ладающей некоторыми «хорошими» статистическими свойст­вами. При этом можно выделить следующие этапы:
- сбор и анализ априорной информации;
- выбор входных и выходных переменных, области экспе­риментирования;
- выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные;
- выбор критерия оптимальности и плана эксперимента;
- определение метода анализа данных;
- проведение эксперимента;
- проверка статистических предпосылок для полученных экспериментальных данных;
- обработка результатов;
- интерпретация и рекомендации.
Факторы определяют состояние объекта. Основное требование к фак­торам — управляемость. Под управляемостью понимается установление нужного значения фактора (уровня) и под­держание его в течение всего опыта. Факторы могут быть количественными и качественными. Примерами количест­венных факторов являются температура, давление, кон­центрация и т. п. Их уровням соответствует числовая шкала. Различные катализаторы, конструкции аппаратов, способы лечения, методики преподавания являются приме­рами качественных факторов. Уровням таких факторов не соответствует, числовая шкала, и их порядок не играет роли.
Дисперсионный анализ – это статический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.
Измерения или наблюдения могут проводиться как в экспериментальных науках (например, в генетике), так и не экспериментальных науках (например, в астрономии). Теория анализа результатов измерений подсказывает, как планировать проведение опыта или наблюдения, то есть приводит к планированию эксперимента. Исторически современный метод дисперсионного анализа развивается, главным образом, в связи с приложениями к задачам сельского хозяйства.
Дисперсионный анализ был развит в значительной мере Р.А. Фишером, который ввел в статистику сами термины дисперсия и дисперсионный анализ.
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные со­четания уровней факторов.
Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) – это эксперимент, представляющий дробные реплики (матрицы планирования) полного факторного эксперимента.
Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики, Регулярные реплики образуются из полного факторного экспе­римента 2ⁿ делением пополам, на четыре части, восемь частей и т. д., в. общем, на число частей кратное двум. Они называют­ся соответственно: полуреплика, четверть-реплика, у₈-реплика и т. д. Реплики типа ³Д, ⁵/а и т. д. называются нерегулярными.
Матрицей планирования называется таблица, содержащая условия про­ведения всех опытов в соответствии с выбранным планом.

2. 
   Задачи регрессионного анализа
   

Регрессия — зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

Задача регрессионного анализа заключается в восстановлении функциональной зависимости y(x) по результатам измерений.
В регрессионном анализе предполагается, что можно прямо или косвенно контролировать одну или нескольких переменных x₁ , x₂….x_n, и их значение вместе с множеством параметров Q₁,Q₂….Q_n определяющие математическое ожидание зависимой переменной i . Задача состоит в вычислении оценок параметров с помощью выборочных данных.
Постулаты регрессионного анализа:
1 постулат: Параметр оптимизации y есть случайная величина с нормальным законом распределения.
Дисперсия воспроизводимости – одна из характеристик этого закона распределения.

2. 
   постулат: Дисперсия y не зависит от абсолютной величины y.
   
3. 
   постулат: Значения факторов суть неслучайной величины.
   

3. 
   Метод наименьших квадратов
   

Этот метод был развит усилиями Лежандра и Гаусса, более 150 лет назад. Метод наименьших квадратов (МНК) является самым распространенным, хотя не единственным метом усреднения.

Если дано у=b₀+b₁*x₁ – уравнение прямой линии. Надо вычислить коэффициенты b₀,b₁.
Для этого уравнение приравнивается к нулю y_i - b₀-b₁*x₁*x_i=0, где i=1,2,…N (N-номер опыта) или y_i - b₀-b₁*x₁*x_i=Е_i, где Е_i – невязка, то есть разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениям у в i-й экспериментальной точке. Невязка возникает по двум причинам: из-за ошибки эксперимента и из-за модели.
Надо найти коэффициенты регрессии, при которых невязка будет минимальной:

U=  Е²_i=min, который приводит к методу наименьших квадратов.

МНК обладает следующим свойством: он делает определенной любую произвольную систему уравнений равную числу неизвестных коэффициентов. Для определения двух неизвестных коэффициентов требуется два уравнения, например, для уравнения y= a₀+a₁*x, с двумя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a₀*N +a_i  x_i=  y_i

a₀ x_i + a_i x² _i = x_i*y_i

Для определения трех неизвестных коэффициентов требуется три уравнения, например, для уравнения y = a₀+a₁*x+ a*x² , с тремя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a₀*N +a_i  x_i+а₂ x² _i =  y_i
a₀ x_i + a_i x² _i +a₂  x³ _i = x_i*y_i
a₀ x² _i + a_i x³ _i +a₂  x⁴ _i = x²_i*y_i

МНК для обратной зависимости

y= a₀+a₁/x.

Чтобы найти два неизвестных коэффициента используется система уравнении:

a₀*N +a_i  1/x_i=  y_i

a₀ 1/x_i + a_i 1/x² _i =y_i/х_i

Порядок расчета задач методом наименьших квадратов:

1. 
   Строится таблица (таблица 1)
   

Таблица 1 Пример, построения таблицы для данных задачи МНК

N	xi	y1i	…	ymi	yi	S^2{y}	yi	E,%
1	х1
2	х2
3	х3
4	х4
…	…
N	хN

где x_i- входные величины,

у_i- выходные величины,