Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Глава II.
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ГАУССА.
§ 1.Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства.
При обобщении теории делимости на комплексные числа нужно,прежде всего, выбрать целесообразным образом из совокупности всех комплексных чисел такие числа , которые можно было бы считать аналогом рациональных чисел и из них, в свою очередь ,выбрать числа ,аналогичные целим. Такой выбор, как мы увидим в дальнейшем, можно произвести не единственным способом. Однако наиболее естественно за комплексные числа принять числа а+b с рациональными компонентами а и b и среди них считать целыми числа с целыми рациональными компонентами.
Определённые таким образом числа называются числами Гаусса по имени учёного, впервые исследовавшего их свойства.
Совокупность целых чисел Гаусса по своим свойствам имеет много общего с совокупностью целых рациональных чисел. В частности, для чисел Гаусса может быть построена теория делимости, подобная теории делимости натуральных чисел. Изложение этой теории и является целью настоящей главы.
Прежде всего отметим несколько очевидных свойств совокупности целых чисел Гаусса.
1. Целые рациональные числа входят в совокупность чисел Гаусса.Действительно, целое рациональное число а можно представить как комплексное число а +0* с целыми компонентами а и 0.
2. Число, сопряжённое с целым числом Гаусса, есть, в свою очередь,целое число.
3. Сумма, разность и произведение двух целых чисел Гаусса есть целое число Гаусса.
Действительно, если компоненты а₁,b₁, a₂ и b₂, двух комплексных
чисел а₁+ b₁ и a₂+b₂ суть целые рациональные числа, то компо- ненты их суммы a₁+a₂, b₁+b₂ разности a₁-a₂, b₁-b₂ и произведения
a₁a₂- b₁b₂ , a₁b₂+ a₂b₁ суть также целые рациональные числа.
4. Частное от деления целого числа Гаусса на другое целое число Гаусса есть комплексное число с рациональными, но не обязательно целыми компонентами.
Действительно, частное от деления двух чисел Гаусса

имеет рациональные компоненты, которые не будут целыми, если числа a₁a₂+b₁b₂ и a₂b₁- a₁b₂ не делятся одновременно на
Так, например:



число с дробными компонентами.
В том случае, когда частное от деления целого числа Гаусса α на целое число Гаусса β представляет собой, в свою очередь, целое число,говорят, что α делится на β, или, что то же самое, β делит α, β является делителем α.
Так, например, число является делителем числа 9 +2 , ибо
= есть целое число.


Данное нами определение делимости естественным образом распространяет понятие делимости для целых рациональных чисел на числа Гаусса.
Докажем теперь некоторые простейшие теоремы, относящиеся к делимости чисел Гаусса.