Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 3. Если два натуральных числа а и b взаимно просты в обычном смысле (т. е. не имеют общего натурального делителя, отличного от единицы), то они взаимно просты и в совокупности чисел Гаусса (не имеют общего делителя среди чисел Гаусса, кроме единиц).
Доказательство. Пусть а и b взаимно просты в обычном смысле. Тогда можно подобрать целые рациональные числа х н у так что
ax+by=1.
Из этого равенства следует, что каждый общий делитель а и b. являющийся числом Гаусса, должен быть делителем 1, т. е. одной из единиц.
Теорема доказана.


Теорема 4. Если два числа , взаимно просты с числом β, то их произведение да также взаимно просто с числом β. Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено.Тогда существу- ют целые числа Гаусса такие, что
=1; =1.
Перемножив эти равенства, получим:
+ +
откуда следует, что и β взаимно просты.
Теорема 5. Если каждое из чисел взаимно просто в каждым из чисел то взаимно просто .
Доказательство. На основании предыдущей теоремы, взаимно просто с . По условию теоремы взаимно просто с Следовательно, = взаимно просто с .
Далее, по условию взаимно просто с . Следовательно, взаимно просто с , и т. д.
Применяя это рассуждение достаточное число раз, мы получим, что ... взаимно просто с каждым из чисел .
а следовательно, и с их произведениями и т.д., наконец, с .


Теорема 6. Если αβ делится на их взаимно просто ,то β делится на .
Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Вследствие взаимной простоты мы можем найти числа и , так что





Умножим обе части равенства на β . Получим
β=


откуда следует, что β делится на , так как оба слагаемых правой части равенства делятся на .