Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 3. Норма простого числа Гаусса равна простому нату- ральному числу или квадрату простого натурального числа. Доказательство. Пусть простое число Гаусса и р натуральное простое число, которое делится на :
p= α
Переходим к нормам:


N(p)= N( ) N(α).
Мы видим, что N( ) входит делителем в N(p) =р². Следовательно,
N( ), представляющая собой положительное целое число, отличное от 1, может быть равно только р или р².
Заметим сейчас же, что N( ) может равняться р² только в случае, если в равенстве р= а число α является одной из единиц, т. е. если
ассоциировано с натуральным простым числом р.
Если же N( )=p, to p= ’, где ’ число, сопряжённое с . Число ’, очевидно, простое, так как его норма, равная норме , есть простое натуральное число.
Таким образом простые числа Гаусса можно разделить на два типа по двум возможностям для норм. Числа, норма которых равна натуральному простому числу, называются простыми числами первого порядка. Те же числа, норма которых равна квадрату натурального простого числа, называются простыми числами второго порядка. Простые числа второго порядка представляют собой не что иное, как натуральные простые числа, остающиеся простыми при рассмотрении их среди чисел Гаусса. Простые числа первого порядка суть множители натуральных простых чисел, разлагающихся в совокупности чисел Гаусса. Натуральное простое число, распадающееся на простые множители, представляется в виде нормы одного из них.
Пусть α=a+b - простое число первого порядка. Тогда


p=N(α)=a²+b²,
Следовательно, натуральное простое число р, являющееся нормой простого числа Гаусса первого порядка, представляется в виде суммы квадратов двух рациональных чисел. Очевидно и обратное: если простое натуральное число р представляется в виде суммы двух квадратов, то оно раскладывается на два простых множителя. Действительно, если
p=a²+b²,
p=(a+b ) (a b ),
то
причём числа a+b и a b простые, так как норма каждого из них равна простому числу р.