Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 4. Каждое натуральное простое число вида 4n+3 является простым числом второго порядка среди чисел Гаусса. Доказательство. Допустим обратное. Пусть р раскладывается на два множителя первого порядка:
p=(a+b ) (a b )=a²+b².
В виду того, что р нечётное число, а и в должны быть числами разной чётности. Можно считать, что а чётное, b нечётное. Тогда a² 0 (mod 4), b² 1 (mod 4)
и, следовательно,
p=a²+b² 1 (mod 4),
т.е. р имеет вид 4n + 1, что противоречит условию.
Теорема 5. Каждое простое число вида 4n+1 раскладывается в со- вокупности чисел Гаусса на два неассоциированных простых мно- жителя первого порядка.
Доказательство. Как мы видели в первой главе, для простых чисел рассматриваемого вида всегда существуют решения сравнения
x²+1 0 (mod p).
Пусть решение этого сравнения. Тогда число (α + ) ( ) =α² +1 делится на р. Отсюда следует, что числа Гаусса α+ и α не могут быть одновременно взаимно просты с р, ибо иначе их произведение α² +1, заведомо делящееся наро число р, было бы взаимно просто с р.
Обозначим через общий наибольший делитель чисел α и р. Очевидно, что общим наибольшим делителем чисел α и р будет
’ число, сопряжённое с . Числа ’ и не являются единицами и взаимно просты, ибо, если бы они имели общий делитель, отличный от единиц, то на него делились бы три числа , и p и, сле- довательно, он был бы общим делителем чисел р и = 2 , что невозможно, так как числа р и 2 взаимно просты. Отсюда сле- дует, что р, делясь на каждое из чисел и ’ , делится и на их про- изведение:
P= ’λ=N( ) λ
В виду того, что N( ) является натуральным числом, неравным единице, возможно только, что N( ) p. Отсюда заключаем, что числа ’ простые, так как норма каждого из них равна простому числу р. Теорема доказана.