Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 1. Если число α делится на β, число β делится на γ, то α делится на γ .
Доказательство. Пусть α делится α и β делится на γ.
Тогда = -целое число,так как и -целые числа ,а произведение двух целых чисел в есть число целое .
Теорема 2. Если числа α и β делятся на число γ , то α± делится на γ .
Доказательство. Пусть α и β делятся на число γ.
Тогда = -целое число,ибо и -целые ,а сумма или разность двух целых чисел в есть, целое число .
Теорема 3. Каждое число делится на себя и на единицу. Очевидно.
Теорема 4. Если число Гаусса α делится на β, то сопряжённое с α число ā делится на , где число сопряжённое с β. Доказательство. Пусть α делится на β.


Тогда γ= есть целое число. Но = равно числу сопряжённому с β, которое будет также целым.
Следствие. Если вещественное целое число а делится на число Гаусса α, то оно делится также и на сопряжённое с ним число ā. Действительно, в силу теоремы 4, ā делится на , но а=ā
§2. Норма числа Гаусса.
Введём теперь важное понятие нормы комплексного числа, необходимое для дальнейшего построения теории делимости.
Нормой комплексного числа называется квадрат его модуля или, что то же самое, произведение числа на его сопряжённое.
Норма любого комплексного числа, отличного от нуля, представляет собой положительное вещественное число.
Норма целого числа Гаусса представляет собой натуральное число, так как является суммой квадратов двух целых рациональных чисел - компонент числа Гаусса.
Для того чтобы натуральное число было нормой целого числа Гаусса, очевидно необходимо и достаточно, чтобы оно могло быть представлено в виде суммы квадратов двух целых рациональных чисел.
Отсюда следует, что не каждое натуральное число может быть нормой целого числа Гаусса.
Например, число 3. очевидно, не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых рациональных чисел и потому не может быть нормой целого комплексного числа.
Условимся норму числа α обозначать через N(α).
Докажем теперь несколько теорем, относящихся к свойствам норм чисел Гаусса.