Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 6. Если число α делится на число β, а число β делится
на число α , то является одной из единиц.
Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено.
Тогда числа и суть целые числа Гаусса.
Но • =1, и следовательно, делит число 1, т. е. является единицей.
Два числа Гаусса, делящиеся друг на друга, носят название ассоциированных чисел.
Для каждого числа существует три и только три отличных от него и ассоциированных с ним числа - , _l и - _l.
В теории делимости ассоциированные числа как бы не являются различными.
Действительно, если делится на , то все числа, ассоциированные с , делятся на все числа, ассоциированные с , во всех комбинациях.
Нормы ассоциированных чисел, очевидно, одинаковы. Однако обратное заключение было бы неверно.
Например, нормы чисел 2 + 3 и 2-3 равны, однако, они не ассоциированы.


Теорема 7. Существует лишь конечное число целых чисел Гаусса, норма которых не превосходит данного положительного числа. Этой важной теореме мы дадим два доказательства.
Доказательство 1. Пусть N (a+b ) M, где a +b целое число Гаусса. Это значит, что a²+b² M при целых рациональных а и b. Отсюда следует, что


;
Ограниченных по абсолютной величине целых рациональных чисел может быть лишь конечное число.
Следовательно, для каждого из чисел a и b имеется лишь конечное может быть лишь конечное число. число возможностей, и из них можно составить конечное число комплексных чисел a+b
Доказательство 2.Обратимся е геометрическому изображению совокупности всех целых чисел Гаусса, которое будет нам полезно ещё не один раз. Каждое целое число Гаусса может быть изображено на плоскости в виде точки с целыми координатами, ибо координатами точки, изображающей комплексное число а+b ,являются его компоненты a и b суть целые рациональные числа.
Поэтому совокупность всех целых чисел Гаусса геометрически изобразится в виде совокупности всех точек плоскости с целыми рациональными координатами, т.е. образует совокупность всех точек пересечения двух систем прямых линий, параллельных осям координат, причём прямые каждой системы находится на расстоянии одной единицы масштаба одна от другой (см.черт. 25).

Эти прямые разбивают всю плоскость на квадраты со стороной равной 1, и точки,изображающие целые числа Гаусса, будут вершинами этих квадратов. Норма числа,равная сумме квадратов компонент, представляет собой квадрат расстояния от начала координат до точки, изображающей это число. Поэтому совокупность целых чисел Гаусса, норма которых не превосходит число M, в геометрическом изображении представится совокупностью точек с целыми координатами, ле- жащих внутри или на границе круга с радиусом . Таких же точек может быть, очевидно, лишь конечное число. Из доказанных теорем вытекает следующее следствие, существенное в теории делимости.
Каждое целое число Гаусса может иметь лишь конечное число делителей. Действительно, пусть α =a+b имеет своей нормой число М. Норма каждого делителя числа α должна быть делителем М по- тому должна быть не больше числа М. А таких чисел может быть только конечное число.
Следовательно, число а может иметь конечное число делителей.
Каждое число,очевидно,делится на все числа с ним ассоциирован- ные, и на все четыре единицы. В случае, если число а не имеет дру- гих делителей, кроме ассоциированных и единиц, то число α называется неразложимым или простым числом.В противном случае, число называется разложимым или составным.
Единицы не относятся ни к тому, ни к другому классу чисел.