Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

§ 4. Простые числа Гаусса.
Что представляют собою простые числа Гаусса? Мы знаем, что каждое число Гаусса является делителем некоторого натурального числа, например своей нормы. Поэтому все простые числа Гаусса являются делителями натуральных чисел. Далее, мы знаем, что каждое натуральное число раскладывается на натуральные простые множители. Кроме того, натуральные числа являются частными случаями чисел Гаусса, н совокупность всех натуральных чисел входит в совокупность чисел Гаусса как часть. Поэтому естественно предполагать, что для разложения натурального числа на множители, являющиеся числами Гаусса, имеется больше возможностей, чем для разложения на натуральные множители. В частности, натуральные простые числа могут оказаться не простыми, если их рассматривать в совокупности чисел Гаусса Это легко подтвердить примером. Так,
5=(2+ )(2- )


В силу высказанных соображений, естественно предполагать, что совокупность простых чисел Гаусса состоит, во-первых, из совокуп- ности натуральных простых чисел, остающихся не разложимыми при переходе к числам Гаусса, и, во-вторых, на делителен тех простых чисел, которые в совокупности чисел Гаусса раскладываются на множители. Переходим к строгому доказательству этого предположения.
Теорема 1. Если норма целого числа Гаусса есть простое на- туральное число, то есть простое число Гаусса.
Доказательство. Пусть N( ) = р. Если я оказалось бы составным числом, то норма также раскладывалась бы на множители,
равные нормам множителей числа . Это невозможно, так как норма числа есть простое число, по предположению.
Теорема 2. Каждое простое число Гаусса является делителем на-
турального простого числа.
Доказательство. Как мы уже говорили, каждое целое число
Гаусса является делителем некоторого натурального числа, например своей нормы. В частности, это относится и к простым числам Гаусса.
Пусть простое число Гаусса является делителем натурального числа а.
Разложим число а на натуральные простые множители а=
Среди множителей а= могут быть равные, однако это для нас не существенно. Вследствие того, что произведение а= делится на простое число Гаусса по крайней мере, один из множителей а= должен делиться на . Следовательно, по крайней мере одно натуральное простое число
делится на простое число Гаусса.
Очевидно далее, что только одно натуральное простое число может делиться на простое число Гаусса , ибо, если бы на делилось два натуральных простых числа, то они, будучи рассмотрены как числа Гаусса, были бы не взаимно просты, что, как мы видели, невозможно.