Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 1. Для каждого комплексного числа с любыми компо- нентами можно подобрать целое число Гаусса так, что модуль разности данного числа и целого не будет превосходить .
Доказательство. Пусть λ= -комплексное число с любыми компонентами х и у .
Обозначим через а ближайшее к целое рациональное число, через - целое рациональное число , ближайшее к , и через σ число .
Мы знаем, что , и, следовательно,

= ,
что и требовалось доказать.
Теорема имеет ясный геометрический смысл.
Действительно, совокупность всех целых чисел Гаусса, как мы видели, изображается в виде совокупности точек пересечения прямых, параллельных осям координат, разбивающих плоскость на квадратики со стороной, равной 1. Каждое комплексное число изображается точкой на плоскости, которая неизбежно попадёт в один из квадратиков, на которые разбита плоскость. Расстояние от точки до ближайшей вершины квадратика, очевидно, не превосходит расстоянии от центра квадрата до вершин, так как центр квадрата является точкой, наиболее удалённой от всех четырёх его вершин. Это же последнее расстояние, очевидно, равно .
Но расстояние между двумя точками, изображающими комплексные числа, равно модулю их разности.
Следовательно,

Из последней теоремы немедленно вытекает важное следствие. Для любых двух целых чисел Гаусса α и β (при β 0) можно подобрать два других целых числа Гаусса - ,,частное” и „остаток” ρ так, что
α =β

[даже, как мы увидим, более того: < ].
Действительно, найдём для числа = целое число так, что

Обозначим через число .
Тогда, очевидно,
.
Теорема 2. Два любые целые числа Гаусса (неравные одновре- менно нулю) имеют общий делитель, делящийся на всякий другой общий делитель взятых двух чисел.
Доказательство.Чтобы не повторяться,мы проведём доказатель- ство этой теоремы способом, отличным от того, как доказывалась аналогичная теорема для целых рациональных чисел .
Пусть два целых числа Гаусса, неравные одновременно нулю.
Рассмотрим совокупность всех чисел ξ и η целые числа Гаусса.
Введённая нами совокупность чисел может совпасть с совокупностью всех чисел Гаусса или образовывать часть этой совокупности , так как каждое число при целых ξ и η есть целое число.
Выберем в рассматриваемой совокупности число δ, имеющее наименьшую норму:



Докажем, что оно является общим делителем , обладающих свойством, упомянутым в условии теоремы
Прежде всего очевидно, что делится делится на каждый общий делитель числа ,так как, если делятся на какое-либо число ,то и все числа = ξ+ η) делятся на , в частности, δ=
Остаётся доказать, что является общим делителем чисел ,
т.е что .
Будем доказывать от противного. Допустим, что α не делится на .
Тогда, в силу предыдущей теоремы о возможности ,,деления с остатком”, можно найти такие числа σ и ρ, что

Но
= )+
представляет собой число той же совокупности чисел и и и имеет норму, меньшую нормы δ, что противоречит способу выбора δ.
Таким образом сделанное нами предположение том, что α не делится на δ, привело нас к противоречию, и потому неправильно. К такому же противоречию привело бы нас и предположение о том что β не делится на δ.
Следовательно, α и β делятся на δ, что и требовалось доказать. Общему делителю двух чисел Гаусса, делящемуся на все другие общие делители взятых двух чисел, естественно, даётся название общего наибольшего делителя.
Из только что приведённого доказательства существования общего наибольшего делителя ещё не вытекает его единственность. Однако из определения общего наибольшего делителя следует, что два различных наибольших делителя двух чисел должны делиться друг на друга и потому быть ассоциированными. Поэтому, два данных числа Гаусса могут иметь четыре и только четыре ассоциированных между собой об наибольших делителя.
Приведённое нами доказательство существования общего наибольшего делителя не алгорифмично. Фактическое отыскание общего наибольшего делителя производить по схеме, намеченной в доказательстве о его существовании, неудобно, так как при этом пришлось бы выбирать число с наименьшей нормой из бесконечного множества чисел. Находить общей наибольший делитель проще всего пользуясь процессом,сходным с алгорифмом Эвклида.
Пусть α и β -данные числа Гаусса и β≠0 .,, Поделим с остатком’’ α на β. Если остаток будет отличен от нуля, поделим β на остаток и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:
α=β
α=
α=
…………….
=
=
Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как нормы остатков образуют убывающую последовательность целых рациональных чисел .Следовательно, процесс последователь- ного деления должен окончиться, но он может окончиться только тем, что деление, наконец, выполнится без остатка.
В написанной выше схеме мы предполагаем, что деление без остатка выполнится на k+1 шаге процесса.
Докажем теперь, что последний, отличный от нуля остаток
будет общим наибольшим делителем чисел .
Пересматривая эти равенства снизу вверх, мы видим, что де- лится на , далее, как сумма двух чисел, делящихся на , в свою очередь, делится на
По той же причине , и т. д., наконец, β н α делятся на . Таким образом действительно является общим делителем чисел α и β
Пусть , какой-либо общий делитель чисел α и β.
Пересматривая те же равенства сверху вниз, мы последовательно убеждаемся в том, что Во, делится на , как разность двух = чисел, делящихся на . Далее, , делится на , по той же причине и т. д. Из предпоследнего равенства будет следовать, что = делится на .
Итак, является общим делителем чисел α и β и делится на всякий другой общий делитель этих чисел, т. е. является общим наибольшим делителем, что и требовалось доказать.
Прежде чем итти дальше, рассмотрим один пример на отыскание общего наибольшего делителя двух чисел Гаусса.
Пример. Найти общий наибольший делитель чисел:
и


Решение.
= =-
+ (31+77 )=19-7
= =4
(19-7 ) =3+
= -целое число.


Следовательно, 3 + - общий наибольший делитель чисел α и β.
Алгорифм Эвклида для чисел Гаусса обобщает ускоренный алго- рифм Эвклида“ для натуральных чисел. Обобщение обыкновенного алгорифма Эвклида состояло бы в замене компонент частного на каждом шагу алгорифма их целыми частями. Однако это не дало бы желательного эффекта, так как нормы остатков при этом могли бы не убывать.
Из приведённого доказательства существования общего наибольшего делителя непосредственно следует, что общий наибольший делитель δ двух чисел α и β может быть представлен в виде





при целых и .
Числа α и β мы будем называть взаимно простыми, если их общий наибольший делитель равен 1. Для того чтобы числа α и β были взаимно просты, необходимо и достаточно существование таких чисел и ,что



Это последнее свойство взаимно простых чисел Гаусса влечёт за собой ряд следствий, которые мы формулируем как отдельные теоремы.