Optimal kvadratur formulalar

Kvadratik formulalar
Berilgan integralni u yoki bu kvadratur formula yordamida hisoblash paytida asosiy mehnat funksiyaning kvadratur formula tugunlaridagi qiymatlarini hisoblashga sarflanadi. Shunday ekan, integralni hisoblashda kerakli aniqlikka, imkon boricha kam mehnat sarflab erishishga intilish tabiiydir, boshqacha aytganda berilgan integralni tugunlari soni mumkin qadar kam bo’lgan formula bo’yicha hisoblash maqsadga muvofiqdir. Agar integrallanuvchi f(x) ni darajasi yuqori bo’lgan ko’phadlar bilan ham yaqinlashtirish mumkin bo’lsa, u holda olingan paragraflarda ko’rilgan algebraik darajasi eng yukori kvadratur formulalar yaxshi natija beradi. Lekin uncha silliq bo’lmagan funksiyalar uchun bu formulalar yaxshi natija bermaydi. Odatda bunday funksiyalar uchun aniqligi uncha katta bo’lmagan to’g’ri to’rtburchaklar, trapetsiyalar formulalari yaxshi natija beradi. Shuning uchun ham funksiyalarning muhim sinflari uchun shunday formulani topish kerakki, bu formula berilgan sinfning barcha funksiyalari uchun boshqa formulalarga nisbatan eng kichik qoldiqqa ega bo’lsin.
Aniqroq aytganda, masala quyidagicha qo’yiladi. Biror [a, b] oraliqda aniqlangan funksiyalar sinfi Н berilgan bo’lsin.
Butun Н sinfda

kvadratur formulaning qoldiq hadi deb

ifodaga aytiladi. Uning quyi chegarasi

qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosining optimal bahosi deyiladi.
Agar shunday kvadratur formula mavjud bo’lsaki, uning uchun
R_n(H) = W_n(H) tenglik bajarilsa, bunday formula qaralayotgan sinfda optimal yoki eng yaxshi formula deyiladi.
Ikkita sinf misolida optimal formula tuzishni ko’rib chiqamiz. Avval [0,1] oraliqda uzluksiz va birinchi hosilasi bo’lakli uzluksiz hamda |f '(x)| L tengsizlikni qanoatlantiruvchi С₁(L) funksiyalar sinfini qaraymiz.
Qaralayotgan

kvadratur formula f(x) = const uchun aniq bo’lishini, ya’ni
(7.2)

tenglik bajarilishini talab qilamiz. Aks holda f(x) = C uchun

bo’lib, barcha f(x) = const funksiyalar qaralayotgan sinfda yotadi va demak

Ko’rinib turibdiki, bunday kvadratur formulaning optimalligi haqida gap bo’lishi mumkin emas. Ravshanki, ni
(7.3)
ko’rinishda yozish mumkin va aksincha, f(x) ixtiyoriy son bo’lib, bo’lakli-uzluksiz va bo’lsa, u holda (7.3) tenglik funksiyani aniqlaydi. (7.1) - (7.2) kvadratur formulaning f(x)= const uchun aniqligini hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz:

bu yerda

Shunday qilib,

bu yerda K_n(t) funksiya R_n(t) qoldiqning yadrosi deyiladi va u quyidagiga teng:

Shuningdek

(7.4) dan ko’rinadiki K_n(t) yadro f(x) funksiyaga bog’liq bo’lmay, balki faqat kvadratur formulaning tugunlari х_к va koeffitsientlari А_к largagina bog’liqdir. K_n(t) ning grafigi bo’lakli-chiziqli bo’lib, х_к tugunlarda sakrashi А_к ga teng bo’lgan birinchi jins uzilishga ega.
C₁(L) funksiyalar sinfida R_n(f qoldiq had uchun

bahoga ega bo’lamiz. Endi

ekanligini ko’rsataylik. Quyidagi

funksiya bo’lakli-uzluksiz hosila '(х) = L sign K_n (t)ga ega, '(х) = L(x x_k), ya’ni u qaralayotgan sinfda yotadi va

Bundan ma’lum bo’ladiki, qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosini minimallashtirish quyidagi

metrikada 1-t funksiyani (7.5) kurinishdagi funksiya bilan eng yaxshi yaqinlashtirish masalasigа keltiriladi. Endi

orqali belgilab olib,

tenglikka ega bo’lamiz. Agar q_k larni belgilangan deb olsak u
holda yig’indining k-hadi

faqatgina q_k ga bog’liq va bu integralni hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan esa,

Oxirgi ifodadan foydalanib, V(q_k) ni minimallashtirishni hisobga olsak oldingi ifodadan
(7.7)
kelib chiqadi. (7.6) ning o’ng tomonida V(q_k) miqdorlardan tashqari yana ushbu ifoda ham bor:

Bundan va (7.6) - (7.7) dan

Shunday qilib,

E ndi hosilalarni nolga tenglashtirib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu sistemaning yechimi esa

bo’lib,

Shunday qilib, qaralayotgan 0<х₁<х₂<...<х_n<1 soha ichida U(x_v...,


х_п) ning ekstremal qiymatini topdik, lekin U(x_1,..., x_n) o’zining eng kichik qiymatiga bu sohaning chegarasida ham erishishi mumkin.
Bevosita tekshirib ko’rib mumkinki, U(x_1,..., x_n) ning topilgan qiymati uning minimal qiymatidir. Buning uchun

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligida

deb olsak, u holda bo’lib,

yoki

tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, ning minimal qiymati
bo’lib, bu qiymatgа

bo’lganda erishiladi. Bu va (7.2) dan kvadratur formulaning koeffitsientlari uchun mos ravishdagi quyidagi qiymatlarga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, qaralayotgan sinfda optimal kvadratur formula umumlashgan o’rta to’g’ri to’rtburchak formulasi

bo’lib, uning xatoligi dan iboratdir.
Ayrim hollarda optimal kvadratur formula qurish paytida bu formula koeffisiyentlari yoki tugunlarining ma’lum shartlarni qanoatlantirishi, masalan tugunlarining muntazam taqsimlanishi talab qilinadi.
Endi [0,1] oraliqda uzluksiz, birinchi hosilasi kvadrati bilan jamlanuvchi, hamda

shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi ni qaraymiz. Bu sinfning har bir funksiyasini
(7.8)
ko’rinishda yozish mumkin va aksincha, agar f(0) ixtiyoriy son bo’lib, f'(x) o’lchanadigan [0,1] da kvadrati bilan jamlanuvchi bo’lsa va shart bajarilsa, u holda (7.8) bilan aniqlangan funksiya (L)sinfga qarashli bo’ladi. Endi (L) funksiyalar sinfida quyidagi ko’rinishdagi

optimal kvadratur formulani tuzish masalasini ko’rib chiqamiz. Bu yerda qoldiq hadi uchun

formulalarga ega bo’lamiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo’llab topamiz:

Quyidagi funksiya

[0,1] da o’lchanadigan, kvadrati bilan jamlanuvchi va .
Demak, va uning uchun:

Shuning uchun ham

Shunday qilib, da optimal kvadratur formula tuzish uchun
koeffisiyentlarni shunday tanlashimiz kerakki, ushbu

ifoda minimal kiymatga ega bo’lsin. Ravshanki,

bunda

o’zining minimal qiimati ga larda erishishini payqash qiyin emas. Koeffisiyentlar uchun

qiymatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib , sinfida (7.9) ko’rinishdagi kvadratur formulalar orasida umumlashgan trapetsiya formulasi

optimal formula bo’lib, uning xatosi ga teng ekan.