Optimallashtirishga oid masala

Optimallashtirishga oid masala
Masala. A va B zavodlarda ishlab chiqarilgan betonni 1 - , 2 – va 3 – qurilish maydonlariga yetkazib berish kerak. A zavod bir sutkada 320 tonna, B zavod esa 380 tonna beton ishlab chiqaradi. Bir sutkada 1 – qurilish naydoniga 200 tonna, 2 – qurilish maydoniga 280 tonna, 3 – qurilish maydoniga esa 220 tonna beton talab etiladi. Bir tonna betonni qurilish maydonlariga yetkazib berishning qancha turishi quyidagi 1-jadvalda beriladi:

1-jadval
Qurilish maydoni Zavodlar	1 (200 t)	2 (280 t)	3 (220 t)
A (320 t)	2	4	6
B (380 t)	4	5	3

Betonni yetkazib berishning shunday planini tuzish talab qilinadiki, bu planda beton yetkazib berish eng arzonga tushsin.

A zavoddan 1 – qurish maydoniga yetkaziladigan beton miqdorini deb belgilaymiz. A zavoddan 2 – qurish maydoniga yetkaziladigan beton miqdorini deb belgilaymiz. 1 – qurish maydoniga bir sutkada 200 tonna beton talab qilingani sababli B zavoddan 1 – qurilish maydoniga (200 – x) tonna beton keltirish kerak. 2 – qurulish maydoniga esa B zavoddan (280 - y) tonna beton yetkazib berish kerak. A zabodda qolgan (320 – x – y) tonna beton 3 – qurilish maydoniga yetkazib beriladi. 3 – qurilish maydoni beton bilan to`la ta’minlanishi uchun yetishmayotgan (220 – (320 – x – y)) = (x + y – 100) tonna betonni B zavoddan yetkazib berish kerak.
Shunday qilib yetkazib berish plani ushbu 2-jadval bilan beriladi:

2-jadval
Qurilish maydoni Zavodlar	1	2	3
A	x	y	320 – x - y
B	200 - x	280 - y	x + y - 100

Plandagi yetkazib berish qancha turishini topish uchun bu jadvalning har bir sonini 1 – jadvalning mos soniga ko`paytirish (unda bir tonna betonni yetkazib berish qancha turishi berilgan) va topilgan qiymatlarni qo`shish kerak. Ushbu ifoda hosil bo`ladi:

( )

Masalaning sharti bo`yicha x va y o`zgaruvchilarni shunday tanlash kerakki, natijada bu ifoda eng kichik bo`lsin. Bunda shuni hisobga olish kerakki, x va y o`zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qila olmaydi. Masalan, tashiladigan betonning masasi manfiy bo`la olmaydi. Demak, 2-jadvaldagi hamma sonlar musbat:

( )

Shunday qilib, funksiyaning eng kichik qiymatini ( ) tengsizliklar bilan aniqlangan sohadan izlash kerak. Bu soha 1-rasmda tasvirlangan. funksiya chiziqli bo`lgani uchun o`zining eng kichik (eng katta) qiymatini bu ko`pburchakning uchlaridan birida qabul qiladi.

Haqiqatan ham, funksiya sonlarning jufti uchun ga teng qiymatni qabul qiladiki, unda bo`ladi. Koordinat tekisligida bunday koordinatali nuqtalar tenglamasi bo`lgan to`g`ri chiziqda yotadi. Har xil larda har xil to`g`ri chiziqlarga ega bo`lamiz, ammo bu to`g`ri chiziqlarning hammasi parallel, chunki ularning burchak koeffisientlari teng: 1,25. Agar ning biror qiymatida bunday to`g`ri chiziq ko`pburchakning ichki nuqtasidan o`tsa, u holda ni biroz kichraytirib, parallel to`g`ri chiziqqa ega bo`lamiz, bu to`g`ri chiq ham ko`pburchakning ichki nuqtasidan (agar ning qiymati yetarlicha kichik o`zgartirilgan bo`lsa) o`tadi. Shu sababli ning bunday qiymati funksiyaning eng katta qiymati ham, eng kichik qiymati ham bo`la olmaydi. Agar to`g`ri chiziq ko`pburchak bilan faqat chegara bo`ylab kesishsa, u holda ning shunday istalgancha kichik o`zgarishlari mavjudki, bu o`zgarishlarda yangi to`g`ri chiziq bilan ko`pburchakning bitta ham umumiy nuqtasi bo`lmaydi. 1-rasmda to`g`ri chiziqning bunday holati punktr bilan ko`rsatilgan. ning tegishli qiymati funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymati bo`ladi. Haqiqatan ham, agar qiymatda to`g`ri chiziq ko`pburchak bilan ( ) umumiy nuqtaga ega bo`lsa, masalan, istalgan da endi umumiy nuqtaga ega bo`lmaydi, shu sababli qaralayotgan funksiyaning bu ko`pburchakdagi eng katta qiymati bo`ladi, buni funksiya shu ( ) umumiy nuqtada qabul qiladi.
funksiyaga ko`pburchak uchlarining koordinatalarini (1-rasmda ko`rsatilgan) qo`yib, quyidagilarni topamiz:


Bu qiymatlardan eng kichigi 2340 ni funksiya (200; 120) uchda qabul qiladi. Demak, da betonni tashish uchun qilinadigan sarf eng kam bo`ladi, va o`zgaruvchilarning bu qiymatlarida 2-jadval ushbu ko`rinishni oladi:

3-jadval
Qurilish maydoni Zavodlar	1	2	3
A	200	120	0
B	0	160	220

Bu sxemada tashish uchun ketadigan sarf eng kam bo`lib, 2340 ga teng. Boshqa har qanday tashish variantida sarf ko`p bo`ladi.
Ko`pgina masalalarning yechilishi shunday sxemaga bo`ysinadi. Bu sxema o`zgaruvchilarning

chiziqli funksiyasining

tengsizliklar sistemasi va

chiziqli tenglamalar sistemasi bilan berilgan biror sohasidagi eng katta va eng kichik qiymatlarni topish demakdir.

Masala 2. Fabrikada ikki xil mahsulot ishlab chiqarish uchun uch xil xom ashyo talab qilinadi. Bu xom ashyodan fabrikada quyidagicha miqdorda mavjud: A xilidan 13 birlik, B xilidan 9 birlik va C xilidan 8 birlik. Birinchi xil mahsulot ishlab chiqarish uchun mazkur xom ashyo turlaridan (2; 0; 2) birlik, ikkinchi xil mahsulot uchun bu ko`rsatkichlar (2; 3; 0) ga teng (nol berilgan mahsulot turini ishlab chqarish uchun berilgan xom ashyo xilidan kerak emasligini bildiradi). Birinchi xil mahsulotni realizasiya qilishdan fabrika 3 shartli birlikka teng foyda, ikkinchi xil mahsulot birligini realizsiya qilishdan esa 4 ta shunday birlik foyda ko`radi. Fabrika ishini eng ko`p foyda keladigan qilib planlashtirish talab qilinadi.

Optimallashtirishga oid masala qidirish kerak