Optimallastırıwdıń sanlı usılları. Lagranj ko`beytiwshileri usılı

Optimallastırıwdıń sanlı usılları.

Lagranj ko`beytiwshileri usılı

Meyli, to’mendegi sha’rtli minimum ma’selesi qaralıp atırg’an bolsın:

^f  ^X  ^{ min}

i
^g  ^X  ^{ 0, i  1, m, X  Rn.}
(1)
(2)

Lagranj ko`beytiwshileri dep atalatug’ın ja’rdemshi
<sup> </sup> <sup></sup><sub>0</sub> <sup>, </sup> <sup></sup> <sup></sup><sub>0</sub> <sup>, </sup><sub>1</sub> <sup>,..., </sup><sub>m</sub> <sup>, m 1- o`lshemli vektor ja’rdeminde du’zilgen usı</sup>
F _ X , _  ₀ f _ X _  ₁g_{1 } X _ ...  _mg_{m } X _
funksiya Lagranj funkciyası deb ataladı.
Teorema. Eger (1), (2) ma’selede X ⁰ bar bolg’an noqat shartli
salıstırmalı minimum noqat bolsa, sonday bazı birewi nolden o’zgeshe bolg’an ₀ , ₁,..., _m sanlar tabılıp, sol noqat Lagranj funkciyası ushın stacionar

noqat boladı, yag’nıy

 F _ X ⁰ , _

 x_j

 0.

(3)

 
Da’lilleniwi. Eger (3) ni jayıp jazsaq, ol to’mendegi ko`rinisti aladı:


 f X ⁰
 
 g₁
 ^X 0 


 ...  
 g_m
 ^X 0 

 0.

⁰  x
¹  x
^m  x

Bul bolsa usı
j j j

 f _ X ⁰ _
,
 g₁
 ^X 0 
 g_m
, ... ,
 ^X 0 
(10.5.4)

 x_j
 x_j
 x_j

m+1 ta vektordın’ sızıqlı baylanıalı ekenligin an’latadı. Meyli kerisinshe, yag’nıy (4) vektorlar sızıqlı erikli bolsın. To’mendegi ten’lemeler sistemasin qarayıq:

f _ X _  f _ X ⁰ _    0,
^g1  ^X  ^{ 0,}
............
^gm  ^X  ^{ 0.}
(5)

Bul ten’lemenin’ on’ ta’repinen ibarat vektor-funkciyanı
^G  ^{X ,} 
dep

belgilesek, (5) ni
^G  ^{X , }  ^{ 0}
ko`riniste an’latıw mu’mkin. Bul

ten’lemede ( X ⁰ ,0) noqat a’tirapında anıq emes funkciyanın’ bar bolıw sha’rtleri orınlanadı:
1) G _ X ⁰ , 0_  0,
^ f _ X ⁰ _  g _ X ⁰ _  g _ X ⁰ _^

2. 
   
   
   
   
    det ^ ,
   

 x
¹ , ... , ^m
 x  x
^  0.

_ j j j _
Demek,   0 a’tirapında m+1 o’lshemli (deyik, da’slepki m+1

o`zgariwshige qarata)
^{X  X} ^ 
funkciya bar boladı. Bunı

x _ _  _x⁰
_ _, ... , x⁰ _ _  X ⁰
lar menen n o`lshemli etip toltırsaq:

m2
m2
n _n
^{xi  xi} ^ ^,

i  1, n

funkciyag’a iye bolamız ha’m   0 a’tirapında funkciya (5) tenglikti qanaatlandıradı:
f _ X _ _  f _ X ⁰ _  
g_{1 } X _ _  0
......................
g_{m } X _ _  0.

Tiykarınan
  0
ushın,
^{X  X} ^ 
Bar bolg’an noqatta

f _ X _ _  f _ X ⁰ _
g’a iye bolamız. Bul bolsa X⁰ dı salıstırmalı minimum deyiliwine qarama-qarsı. Teorema da’lillendi.
Ta’riyp. Qaralıp atırg’an ma’selede belgisizler sanı n+m+1 de bolıp ( x₁, ... , x_n ; ₀ , ₁, ... , _m ), olardı anıqlaw ushın Lagranj ko`beytiwshiler usılı n+m ten’likten ibarat bolg’an qatnaslardı beredi:

^  F _ X , _{  0,}

j  1, n,
^g  ^X  ^{ 0,}

_i


i  1, m .




 _{ x j} 
Demek bul usıl ja’rdeminde ulıwma alg’anda, belgisizlerdi bir ma’nisli tawıp bolmaydı. Biraq Lagranj ko`beytiwshiler qag’ıydasının’ tiykarın an’latıwshı (3) ten’lik

₀ , ₁, ... , _m
^{ko`beytiwshilerge qarata bir tekli bolg’anı ushın, eger} ₀  0

bolsa, barlıq ten’liklerin ^₀ g’a bo’lıp,
1, ₁,..., _m
siyaqlı ko`beytiwshilerge iye bolıwg’a imkan beredi. Na’tiyjede, bunday ko`beytiwshiler ushın Lagranj funkciyası
^F  ^{X , } ^{ f}  ^X  ^{ }₁ ^g1  ^X  ^{ ...  }_m ^gm  ^X 
^{siyaqlı ko`riniske iye boladı, bul jerde  } ^₁ ^{,..., }_m  ^.

^{Solay etip, barlıq waqıtta da} ₀  0
Pikirimizdin’ da’lili sıpatında bir mısol keltireyik.

Misal.

dep alıwg’a bolmaydı.

^f  ^X  ^{ x  x2  min,}
1 2

1 2
^g  ^X  ^{ x3  x2  0}
bolsın. Bul ma’selenin’ sheshimi (0; 0) noqattan ibarat ekenligi belgili. Biraq, bul noqatta
F _ x , x ,  _  x  x²   _x³  x² _
1 2 1 2 1 2
funkciya ushın Lagranj ko’beytiwshiler qag’ıydası orınlı emes:

F
x₁
 1  3x ² ,

1

2
^F  2x
x₂
 2x₂ .

^{Bul bolsa qashan}
talap etedi.
deb olish mumkinligin u’yreniw za’ru’rligin