Oshkormas sxema ko’chirish

Mavzu: Giperbolik tipdagi tenglama uchun to’rlar usuli. oshkor sxema.

oshkormas sxema. ko’chirish tenglamasini sonli yechish. to’lqin tenglamasini sonli yechish. Ko’p o’lchovli to’lqin tenglamasini sonli yechish.

1. 
   To’lqin tenglamasi uchun aralash masalaning qo’yilishi
   
2. 
   Ayirmali masala qo’yilishi
   
3. 
   Oshkor va oshkormas sxemalar
   
4. 
   Misol
   
5. 
   Topshiriqlarni bajarish tartibi
   
6. 
   Topshiriq variantlari
   

1. To’lqin tenglamasi uchun aralash masalaning qo’yilishi Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz [1]

 ²u _  ²u _
   

t ²
x²
f ( x,t ),
0 x 1,
^{0 t T} . (1)

bu yerda u – torning gorizontdan chetlanishi, t – vaqt, x - koordinata, f(x,t) – yashqi kuchlar, T- tebranish o’rganilayotgan vaqtning maksimal qiymati.
Boshlang`ich momentda

u(x,0)  u₀
(x),
u(x,0) _{ u}
t ⁰
(x)


(2)

shartlar berilgan, bu erda u₀(x) – boshlang`ich chetlashish va tezlik.
u₀ (x)
- boshlang`ich

Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin
^{u( 0,t )  }₁^{( t ), u( 1,t )  }₂ ^{( t )} . (3)
₁ (t), ₂ (t) - berilgan funksiyalar.

2. Ayirmali masala qo’yilishi

D={0 x 1, 0 t T} sohada ^ h
to’rni kiritamiz, bu yerda
^{ } h ^


 ih, j ,




i  0, I,


j  0, J 

^ k ^{ xi  ih , i  0, 1,}

^ ^{ t j }
j ,
j  0, 1,

h  ¹ ,
I
  ^T .
J

y

i
^j orqali y funksiyaning
^h to’rning (x_i, t_j) tugun nuqtasidagi qiymatini

belgilaymiz
Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz

y_tt  y^  (1 2 ) y  y^  ,
bu yerda
(4)

j
  f x, t ,


y  y ^j ,
y^  y ^j1 ,
y^  y ^j1 ,
_{y } y^  y _,
t _
 y  y^ _,

y
t _

y  y_xx ,


^ytt
_ y_t  y_{t }

y^  2 y  y^
_{ 2} ,

 - haqiqiy parametr.
Boshlang’ich va chegaraviy shartlarni quyidagicha approksimatsiya qilamiz:

y₀  ₁(t),
y_I  ₂ (t),
y(x,0)  u₀ (x),
y (x,0)  u^~ (x),

^{x } h <sup>,

t </sup>
(5)

t 0

0
bu yerda u^~ (x)
quyidagicha aniqlanadi.

Chegaraviy shartlar va birinchi u(x,0)=u₀(x) boshlang`ich shart
<sup></sup>h
to`rda

aniq bajariladi.
u^~ (x)
ni shunday tanlaymizki.
^{u~(x)  u(x,0)  u~(x)  u}0 ^(x)
t

0
approksimatsiya xatoligi
O( ² )
kattalik bo`lsin. Quyidagi

t
^{u (x,0)  u(x,0)  0,5u(x,0)  o( 2 )  u}0 ^{(x)  0,5 u (x,0)  f (x,0) o( 2 ) }

0
^{ u}0 ^{(x)  0,5 u (x)  f (x,0) o( 2 )}

formuladan ko`rinadiki u<sup>~</sup> (x)  u (x,0)  o( <sup>2</sup> )
belgilashni qo`ysak quyidagini hosil

0 t
qilamiz
^{u~ (x)  u}0 ^{(x)  0,5 u (x)  f (x,0).. (6)}
0 0
Shunday qilib, (4), ayirmali masala (5), (6) shartlarda yechiladi.
Approksimatsiya xatoligi O(²+h²).

3. Oshkor va oshkormas sxemalar

_y^ _{ y} j1
bo’lamiz
ni aniqlash uchun (4) dan quyidagiga chegaraviy masalaga ega

 ² y ^j1  y ^j1  1 2 ² y ^j1  F ,
0  i  I ,
(7)

i1 i1 i i
y₀=₁, y_I=, =/h ,
F  2y ^j  y ^j1   ² 1  2 y ^j   ²y ^j1   ² .
i i i i i
(7) progonka usuli bilan yechilishi mumkin.  > 0 bo’lganda progonka usuli turg’un
 parametrning qiymati bilan aniqlandigan turli xususiy hollarni qaraymiz. Faraz qilayliz  = 0 bo’lsin. U holda (4) dan quyidagiga ega bo’lamiz

^ytt
 y_xx  

b uni indeksli ko’rinishda yozsak:

_y j 1 _{ 2 y} j _{ y} j 1
y ^j  2 y ^j  y ^j

i i i _ i1 i i1 _{ } ^j
(8)

_ 2 _h2 ⁱ

i i j
bu yerda  ^j  f (x , t ) .

y
j 1
i
yechim (8) dan oshkor ko’rinishda topiladi

_y j1 _{  y} j1 _{ } 2 _y j

• 
  y ^j
  

 21  ² y ^j   ² ^j ,

i  1, I 1.
(9)

i i i1 i1 i i



i
Значение y ^j1 ning qiymati t = t_j+1 (yangi qatlam) qatlamdagi (9) formuladan

i
oshkor holda topiladi, uni topishda j - va j-1 –qatlamlardagi
y ^j ,
j 1

y
i
lardan

i

0
foydalaniladi. Shunday qilib, j=0 da y ⁰  u
x_i 
berilgan, j=1 da esa (5) dan

quyidagiga ega bo’lamiz
y ^j  y⁰  u^~ x   u x  u^~ x   u x ,
i i 0 i 0 i 0 i 0 i

9. 
   
   y
   
   i
   formuladan foydalanib esa ikkinchi qatlamdan boshlab
   

qiymatini toppish mumkin. Masalan
^j ixtiyoriy qatlamdagi

y ²   y ⁰   ² y¹  y¹
 21   ² y¹   ² ¹ 

i i i1
 u x    ² u x
i1 i i
 u x   21   ² u x    ² ¹ .

0 i 0
i 1
0 i 1
0 i i

9. 
   sxema oshkor sxema deyiladi. U nuqtalardan (x_i1, t_j), (x_i, t_j), (x_i, t_j1) iborat “xoch” shablonda aniqlangan.
   

=1/2 bo’lganda (4) dan quyidagiga ega bo’lamiz

y
 ¹ y^  y^ 
tt ₂
Indeksli ko’rinishda esa

_y j 1 _{ 2 y} j _{ y} j 1
_{1  y} j 1 _{ 2 y} j 1 _{ y} j 1 _y j 1 _{ 2 y} j 1 _{ y} j 1 _ j

i i i _{ } i 1 i i 1 _ i 1 i i 1 _{  }i _,
i  1, I  1,
j  1, J 1 .

2



h




²  _h^{2 2} 
Bu tenglamalardan to’r funksiyaning j+1 – qatlamdagi (j=1, 2, …) qiymatlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

 ² y ^{j 1}  21   ² y ^{j 1}   ² y ^{j 1}  F ,
i  1, I  1, j  1, J  1,
(10)

bu yerda
i1
i i1 i

F  4y ^j   ² y ^{j 1}  y ^{j 1}  21   ² y ^{j 1}   ² ^j
i i i1 i1 i i

9. 
   tenglamalar sistemasi progonka usulida yechiladi. U yeti nuqtali shablonda aniqlangan
   

(x_i1, t_j1), (x_i, t_j), (x_i, t_j1).
Umuman olganda (7) tenglama to’qqiz nuqtadan iborat shablonda aniqlangan
(x_i1, t_j1), (x_i1, t_j), (x_i, t_j), (x_i, t_j1).
(7) ayirmali sxema quyidagi shartda turg’un

  ¹ 
4
1 _.
4 ²


(11)

Xususan, =0 bo’lganda (11) dan (9) ning turg’unlik shartiga ega bo’lamiz
1, т.е. h. (12)
Bu shart Kurant sharti deb yuritiladi. Quyidagi tenglama uchun

 ²u _
t ²
₂  ²u ^a x ²
(13)

bu shart mana bunday ko’rinishga ega
  ^h .
a
(14)

6. Topshiriq variantlari

To’lqin tenglamasi uchun aralash masalani
 ²u _  ²u
(1)

va bir jinsli chegaraviy shartlarda yeching
u(0, t) = u(l, t) = 0 .
u ₀(x), u₀(x) funksiyalarning ko`rinishi va boshqa kerakli parametrlarning qiymatlari 2-jadvalda keltirilgan.

C++ dagi kurinishi quyidagicha
Dastur yordamida 9 qadamgacha yechimlar olingan
#include
#include
using namespace std;
int main()
{ float y[11][11],x[11],u[11],u_[11];
for(int i=0;i<=10;i++)
{ x[i]=i*0.1; }
for(int i=0;i<=2;i++)
{ u[i]=0; }
for(int i=3;i<=4;i++)
{ u[i]=32.5*x[i]-6.5; }

for(int i=4;i<=5;i++)

{ u[i]=-32.5*x[i]+19.5; }
for(int i=6;i<=10;i++)
{ u[i]=0; }
for(int i=0;i<=10;i++)
{ //cout<for(int i=0;i<=2;i++)
{ u_[i]=65*x[i]/2; }
for(int i=3;i<=7;i++)
{ u_[i]=6.5; }
for(int i=8;i<=10;i++)
{ u_[i]=(-65*x[i]+65)/3; }
for(int i=0;i<=10;i++)
{ //cout<for(int i=0;i<=10;i++)
{ int j=1;
y[i][j]=u[i]+0.0002*u_[i];
//cout<for(int i=1;i<=9;i++)
{ y[1][0]=0;
y[1][10]=0;
int j=2;
y[i][j]=-u[i]+0.64*(y[i-1][j-1]+y[i+1][j-1]+y[i][j-1]);
//cout<for(int j=3;j<=9;j++)
{ for(int i=1;i<=9;i++)
{ y[i][j]=-y[i][j-2]+0.64*(y[i-1][j-1]+y[i+1][j-1])+0.72*y[i][j-1];
// cout<//cout<//cout<for(int j=1;j<=9;j++)
{ for(int i=1;i<=9;i++)
{ cout<cout<return 0; }






Exeldagi qiymatlar bilan solishtirganda unchalik katta farq chiqmadi