Основные арифметические операции в курсе математики начальной школы

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел. Например: 12 – 7 ≠ 7 – 12.

Если на множестве заданы две алгебраические операции, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности (распределительный закон).

Определение. Алгебраическая операция ○ называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов выполняются равенства:

1) (a * b)○c = (a ○ b)*(a ○ b) 2) c○(a * b) = (c ○ a)*(c ○ b).

Если выполняется только равенство 1), то операцию ○ называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: возведение в степень (она соответствует операции ○ в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Согласно равенству 1, имеем: (a ∙ b)^c = a^c ∙ b^c. Полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел, т. е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получаем

a^bc = a^b ∙ a^c. Но это равенство выполняется не всегда, т. е. операция возведения в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень – операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых натуральных чисел a, b и c выполняются равенства

(a + b) ∙ c = a ∙c + b ∙ c; c ∙ (a + b) = c ∙ a + c ∙ b.

Так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель c – справа от суммы (a + b) или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.