Основные понятия

Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах:

и
.
Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.
Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме, при этом суммируются отдельно действительные части комплексных величин, отдельно - мнимые:

Умножение действительного числа а на комплексную величину можно выполнять, как в показательной, так и в алгебраической формах записи:

или
.
Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи, при этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Перемножение комплексных чисел также можно выполнять и при их записи в алгебраической форме. При этом необходимо помнить, что мнимое число j = , а :



Деление комплексных величин удобно выполнять в показательной форме записи. Для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Также деление можно выполнять и при записи в алгебраической форме. При этом необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю



Возведение в степень n выполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают на n:
.


Извлечение корня n-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:
.


Линейные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока



Резистивный элемент. Резистивный элемент как элемент схемы соответствует элементу цепи – резистору с сопротивлением R, если последний идеализирован, то есть этот элемент учитывает необратимые потери электрической энергии и пренебрегает энергиями электрического и магнитного полей.
При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i(t)= I_msin(ωt + ψ_i), напряжение на его зажимах и ток связаны законом Ома:
u_R (t) = R i(t)= R I_m sin(ωt + ψ_i) = U_Rm sin(ωt + ψ_u).
Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:
U_Rm = RI_m , U_R = RI.
Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. На рис. 2.6, а представлены их временные диаграммы. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной, ψ_i > 0.
Если синусоидальную функцию времени i(t)=I_m sin(ωt+ψ_i) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где , - комплексные амплитуды.
Или для действующих значений комплексных величин
.
Мгновенная мощность резистивного элемента
p(t) = u_R·i = U_Rm sin(ωt + ψ_u)·I_m sin(ωt + ψ_i) =
= U_Rm I_m sin²(ωt + ψ_i)= U_Rm I_m =
= .
Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Временная диаграмма мгновенной мощности представлена на рис. 3.5, а. Из
графика хорошо видно,