Отчет о выполнении лабораторной работы по дисциплине «Математическое и компьютерное моделирование»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН»)

Институт информационных технологий

Кафедра информационных технологий и вычислительных систем

ОТЧЕТ
О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математическое и компьютерное моделирование»

СТУДЕНТА	1	КУРСА	магистратуры	ГРУППЫ	ИДМ-22-05
		(уровень профессионального образования)

Демушкина Дмитрия Игоревича
НА ТЕМУ
Математическое и компьютерное моделирование на примере модели «Хищник-Жертва» (Лотки-Вольтерры)

Отчет сдан «_ » 20 г.
Оценка
Преподаватель
	(Ф.И.О.)	(подпись)

Студент	Кудратов Д,М
	(Ф.И.О.)	(подпись)

МОСКВА 2022

Задание

1. 
   Решить систему уравнений численно методом Рунге-Кутты 4 порядка точности.
   
2. 
   Построить графики изменения динамики численности хищников V(t), и жертв P(t).
   
3. 
   Построить фазовую диаграмму (по оси Х – жертвы, по оси У – хищники).
   
4. 
   Найти стационарную точку (равновесное состояние, в общем виде).
   
5. 
   В выводах написать влияние каждого из коэффициентов (a, b, c, d) на систему.
   

Блок-схема задания

Текст программы

Функция LVM

function vpot = LVM(~,x)
a = 1.1; %параметр - вероятность рождаемости жертв
b = 0.4; %параметр - вероятность смертности жертв при встрече с хищником
c = 0.4; %параметр - вероятность убыли хищников при нехватке еды
d = 0.1; %параметр - вероятность достаточности еды для размножения хищников

vpot = [a*x(1)-b*x(1)*x(2) %система уравнений

d*x(1)*x(2)-c*x(2)];
end

Функция RK4

function [x, t] = RK4(f, x0, t0, ft, dt) %фукнция решения по методу РК4

t = t0:dt:ft; %вектор врем. от нач. врем. до кон. врем. с шагом

nt = numel(t); %количество временных точек в векторе

nx = numel (x0); %колчество значений в векторе

x = nan(nx, nt); %пустой массив

x(:,1) = x0; %первое поле массива

for k = 1:nt-1 %решение методом РК4
k1 = dt*f(t(k), x(:,k));
k2 = dt*f(t(k) + dt/2, x(:,k) + k1/2);
k3 = dt*f(t(k) + dt/2, x(:,k) + k2/2);
k4 = dt*f(t(k) + dt, x(:,k) + k3); dx = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6; x(:, k+1) = x(:,k)+dx;
end
end

Основной код

%% Определение системы уравнений (ЗК)
f = @LVM; %определение системы уравнений
x0 = [20;5]; %начальное условие


%% Решение системы уравнений методом РК4
t0 = 0; %начальное время ft = 50; %конечное время dt = 0.01; %шаг времени
[x, t] = RK4(f, x0, t0, ft, dt); %решение системы уравнений методом РК4


%% Построение графиков

figure;

subplot(1,2,1);
plot(t, x);
title('Динамика изменения численности') legend('Жертвы', 'Хищники'); xlabel('Время (t)'); ylabel('Численность');
grid on;

subplot(1,2,2); plot(x(1,:), x(2,:)); hold on; plot(4,2.75,'r*'); title('Фазовая диаграмма') xlabel('Жертвы'); ylabel('Хищники');

grid on;

Графики

Равновесное состояние достигается тогда, когда оба уравнения Лотки- Вольтерры равняются нулю.

𝑉 ∗ ⁽𝑎 − 𝑏𝑃⁾ = 0

−𝑃⁽𝑐 − 𝑑𝑉⁾ = 0
Имеется два решения такой системы уравнений:
𝑉 = 0, 𝑃 = 0
и
𝑐 𝑎
^{𝑉 =} , 𝑃 =
𝑑 𝑏
В первом случае – все вымерли. Во втором случае – поддерживается текущая не нулевая численность. Коэффициенты, используемые в данной работе:
𝑎 = 1.1; 𝑏 = 0.4; 𝑐 = 0.4; 𝑑 = 0.1

На фазовой диаграмме стационарная точка отмечена красным цветом.

Выводы

При изменении установленных коэффициентов:

1. 
   Увеличение коэффициента a сжимает график во времени по оси абсцисс и растягивает по оси ординат.
   
2. 
   Увеличение коэффициента b сжимает график по оси ординат.
   
3. 
   Увеличение коэффициента с сжимает график во времени по оси абсцисс.
   
4. 
   Увеличение коэффициента d растягивает график во времени по оси абсцисс и растягивает по оси ординат.
   

Учитывая замкнутость системы и отсутствие миграции, популяция хищников и жертв всецело контролируется установленными коэффициентами.
В рамках проведенной лабораторной работы была решена система уравнений Лотки-Вольтерры, построены графики изменения динамики численности и фазовая диаграмма с отмеченной стационарной точкой.