O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Qism-fazo.
Ta’rif: chziqli fazoning bo’ch bo’lmagan qism-to’plami unda aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni tashkil etsa, u holda u fazoning qism-fazosi deyiladi. Boshqacha aytganda, bo’lib, dan ixtiyoriy sonlar uchun kelib chiqsa, u holda ning qism-fazosi deyiladi.
Misol. – oraliqda uzluksiz funksiyalar fazosida barcha algebraik ko’phadlar to’plami cheksiz o’lchovli qism-fazoni hosil qiladi (isbotlang). Qavariq funksionallar.
Ta’rif: Agar haqiqiy chziqli fazoda aniqlangan manfiymas funksional quyidagi
1)
2) shartlarni qanoatlantirsa, u holda u qavariq deyiladi.
II.BOB. Izomorfizm
2. 1. Normalashtirilgan fazoning chekli o’lchovli qism-fazosi.
Normalashtirilgan fazolar.
Ta’rif: Faraz qilaylik, chiziqli fazo bo’lsin. da aniqlangan chekli qavariq funksional quyidagi
1)
2)
qo’shimcha sartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Ta’rif: Biror norma berilgan chiziqli fazo normalashtirilgan fazo deb aytiladi.
Agar istalgan normalshtirilgan fazoda masofa kiritilsa, u holda u metric fazoga aylanadi.
Misollar:
1 Elementlari dan iborat haqiqiy -o’lchovli fazo uchun deb olsak, u normalashtirilgan fazoga aylanadi.
2. Uzluksiz funksiyalarning fazosida normani formula orqali aniqlaymiz.
Normalashtirilgan fazolarda yopiq qism-fazolar (ya’ni barcha limitik nuqtalarini o’zida saqlaydigan) asosiy qiziqish uyg’otadi. Chekli o’lchovli normalashtirilgan fazolarda har qanday qism-fazo avtomatik ravishda yopiqdir (buni isbotlang). Cheksiz o’lchovli holda bu unaqa emas.
Masalan, fazoda barcha algebraik ko’phadlar fazosi qism-fazoni tashkil etadi. Lekin u yopiq emas. Nima uchun? Shu sababli, normalashtirilgan fazoning qism-fazosi deb endi faqat yopiq qism-fazoni atashga kelishib olamiz.
Agar V vektor fazoda normal kiritish mumkin bo’lsa, u holda bu fazoni normallangan fazo deyiladi. Odatda, xV elementning normasi ko’rinishida belgilanadi. Agar (x+u) bilan chiziqli normallangan fazoda norma orqali aniqlangan sonni belgilasak, u holda (x+u) funksiya metrika shartlarini qanoatlantiradi. Chiziqli normallangan fazoda metrika kiritilishi bilan bu fazodagi elementlar ketma – ketligining yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin. Masalan, ketma – ketlikning x elementga yaqinlashish sonli ketma – ketlikning da 0 ga intilishi orqali ifodalanadi.
Agar chiziqli normallangan fazo bu yaqinlashishga nisbatan to’la bo’lsa, uni Banax fazosi deyiladi.
Misollar.

1. 
   Haqiqiy sonlar to’plamida  haqiqiy sonning normasini = tenglik bilan aniqlasak, bu to’plam chiziqli normallangan fazo bo’ladi. Bundan tashqari bu fazo kiritilgan normaga nisbatan to’la hamdir. Demak, R Banax fazosidir.
   
2. 
   R_n to’plamda element normasini quyidagicha kiritamiz: Bu to’plam kiritilgan normaga nisbatan normallangan fazo, shu bilan birga Banax fazosi ekanligini tekshirish mumkin. Xuddi shu to’plamda element normasini yana boshqa usullar bilan ham aniqlash mumkin. Masalan, ko’rinishidagi funkstionallar ham norma shartini qanoatlantiradi.
   
3. 
   S[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: bu norma uchun 1) va faqatgina f(x)=0 bo’lganda bajariladi. 2) 3) shartlar bajariladi. Demak bu fazo kiritilgan normaga nisbatan normallangan fazodir. Oldin isbotlaganimizdek, bu fazo kiritilgan normaga nisbatan to’la bo’ladi. Shuning uchun S[a,b] Banax fazosi bo’ladi.
   
4. 
   m – vektor fazoda element normasini ushbu son orqali aniqlasak, bu fazo ham Banax fazosi bo’lishini tekshirish mumkin.
   
5. 
   x=(x₁, x₂, ... x_n, ...) ko’rinishidagi koordinatalari haqiqiy sonlardan iborat va shartni qanoatlantiruvchi ketma – ketliklar to’plami S₀ oddiy amallarga nisbatan vektor fazo tashkil etadi. Agar bu fazo normani tenglik bilan aniqlasak bu fazo Banax fazosiga aylanadi.
   
6. 
   S[a, b] fazoda element normasini tenglik bilan aniqlasak, bu fazo normallangan bo’ladi, lekin bu normaga nisbatan to’la emas.
   
7. 
   fazoda normani tenglik bilan aniqlasak, Banax fazosi bo’ladi.
   

Fazo normallangan bo’lib, Banax fazosi V fazoni o’z ichiga olsin. Agar V fazo fazoning hamma erida zich bo’lsa, u holda fazo V ning to’ldiruvchisi deyiladi.
1 – teorema. Har qanday normallangan fazo V to’ldiruvchi fazoga ega va V fazoning ixtiyoriy 2 ta to’ldiruvchisi V fazoning elementlarini qo’zg’atmaydigan darajada izometrik bo’ladi.
Bu teoremaning isboti huddi metrik fazoni to’ldirish haqidagi teoremaning isbotidagidek bajariladi. Faqatgina V ning to’ldiruvchisi bo’lgan fazoda ham huddi V dagidek amallar bajarilishini qo’shimcha ravishda ko’rsatish kerak.
2 – teorema. Bir hil o’lchamli bo’lgan barcha chiziqli normallangan fazolar o’zaro izomorf bo’ladi.
Isboti. V chiziqli normallangan fazoning o’lchami n ga teng bo’lsin. Bu fazoni R_n fazoga izomorfligini ko’rsatamiz. O’lchami n ga teng bo’lib x₁, x₂, ... x_n vektorlar uning bazisi bo’lsin. U holda V fazoning ixtiyoriy x elementini faqat bir hil usulda , ko’rinishida yozish mumkin. V ning bu x vektoriga R_n fazoning elementini mos qo’yamiz. Bu moslik o’zaro bir qiymatli bo’lib, uni bilan belgilasak, har qanday elementlar uchun , shartlar bajariladi, ya’ni  – izomorf akslantirish bo’ladi. R_n fazodagi normani tenglik bilan aniqlanishidan foydalanib,  akslantirishni va uning teskarisini ham uzluksizligini isbotlash mumkin. Demak, ixtiyoriy n o’lchamli fazo R_n ga izomorf bo’ladi. Bundan bir hil o’lchamli chiziqli normallangan fazolarning ham izomorfligi kelib chiqadi. Dastlab akslantirishning uzluksizligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun bu erda
Ixtiyoriy vektorlar uchun tengsizlikni hosil qilamiz. Agar va ekanini e’tiborga olsak, yuqoridagi tengsizlikdan kelib chiqadi. Bundan akslantirishning uzluksizligini hosil qilamiz. Endi R _n fazodagi birlik sferada ushbu funksiyani ko’ramiz. S sferada sonlarning hammasi bir vaqtda 0 ga teng bo’lmagan va vektorlar chiziqli erkli bo’lgani sababli har qanday uchun bajariladi. f funksiya uchun tengsizlik o’rinli. Oxirgi tengsizlikdan f funksiyaning uzluksizligini hosil qilamiz. Yopiq S to’plamda aniqlangan f funksiya o’zining eng kichik qiymati a ga erishadi va tengsizlik bajariladi. Demak, xS uchun o’rinli bo’ladi. U holda ixtiyoriy xR_n uchun Demak, o’rinli. Bundan tengsizlikni hosil qilamiz, ya’ni  uzluksizdir.

2.2 Vеktоrlаr sistеmаsining chiziqli qоbig’i. Chiziqli qоbiqning аsоsiy хоssаlаri, chiziqli ko’pxillik. Chiziqli ko’pxillikning аsоsiy хоssаlаri.Izomorfizm. Vektor fazolar izomorfizmi.
mаydоn ustidа qurilgаn аrifmеtik vеktоr fаzо vа shu fаzо vеktоrlаridаn tuzilgаn vеktоrlаrning chеkli sistеmаsi bеrilgаn bo’lsin.